Ein endliches Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit abstrahierten Volumenbegriffen beschäftigt. Anschaulich ist ein endliches Maß ein Volumenbegriff, bei dem die betrachtete Grundmenge nur ein endliches Volumen besitzt. Bekanntestes Beispiel von endlichen Maßen sind die Wahrscheinlichkeitsmaße in der Stochastik. Dies sind genau die endlichen Maße, bei denen die Grundmenge das Volumen 1 besitzt. Das Volumen wird dann in diesem Fall als Wahrscheinlichkeit interpretiert.

Trotz der Einfachheit der Definition besitzen endliche Maße eine Vielfalt an Eigenschaften, die abhängig davon sind, auf welchen Strukturen (Grundmenge und σ-Algebra) man sie definiert.

Definition

Für den gesamten Artikel seien folgende Notationen vereinbart:

• ${\displaystyle X}$ sei eine beliebige Menge, die Grundmenge
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sei eine beliebige σ-Algebra auf der Grundmenge
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ oder ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ bezeichnet die Borelsche σ-Algebra auf ${\displaystyle X}$, wenn ${\displaystyle X}$ mindestens ein topologischer Raum ist.

Ein Maß ${\displaystyle \mu }$ auf dem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ heißt ein endliches Maß, wenn ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ ist.

Voll ausgeschrieben bedeutet das: Ein endliches Maß ist eine Mengenfunktion

${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {A}}\to [0,\infty )}

von einer σ-Algebra über der Grundmenge ${\displaystyle X}$ in die nicht-negativen reellen Zahlen mit den folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$
• ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$
• σ-Additivität: Für jede Folge ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ paarweise disjunkter Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ gilt ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$.

Wir bezeichnen mit ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{+}(X,{\mathcal {A}})}$ die Menge der endlichen Maße auf dem Grundraum ${\displaystyle X}$ und der σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. In der Literatur finden sich unterschiedliche Schreibweisen: Teils wird auf die Angabe der σ-Algebra verzichtet (${\displaystyle {\mathcal {M}}(X)}$ o. ä.), wenn diese aus dem Kontext ersichtlich ist, teils auf die Angabe der Grundmenge wie beispielsweise ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{+}({\mathcal {B}})}$. Oder es finden sich andere Indizes wie beispielsweise ein niedriggestelltes f, also ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}}$ für das englische „finite“ (endlich). Das hochgestellte Plus findet sich oft, wenn auch Räume signierter Maße verwendet werden, die „gewöhnlichen“ Maße entsprechen dann den positiven Elementen in diesem Raum.

Eigenschaften als Maß

Die folgenden Eigenschaften folgern direkt daraus, dass jedes endliche Maß ein Maß ist.

• Subtraktivität: Für ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ mit ${\displaystyle B\subseteq A}$ und ${\displaystyle \mu (A)<\infty }$ gilt:

${\displaystyle \mu (A\setminus B)=\mu (A)-\mu (B)}$.

• Monotonie: Ein endliches Maß ist eine monotone Abbildung von ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\subset )}$ nach ${\displaystyle ([0,\infty ),\leq )}$, das heißt für ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ gilt

${\displaystyle B\subset A\implies \mu (B)\leq \mu (A)}$.

• Endliche Additivität: Aus der σ-Additivität folgt direkt, dass für paarweise disjunkte Mengen ${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{m}\in {\mathcal {A}}}$ gilt

${\displaystyle \mu (\bigcup _{n=1}^{m}A_{n})=\sum _{n=1}^{m}\mu (A_{n})}$.

• σ-Subadditivität: Für eine beliebige Folge ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ gilt

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$.

• σ-Stetigkeit von unten: Ist ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine monoton gegen ${\displaystyle A}$ wachsende Mengenfolge in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, also ${\displaystyle A_{n}\uparrow A}$, so ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)}$.
• σ-Stetigkeit von oben: Ist ${\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine monoton gegen ${\displaystyle A}$ fallende Mengenfolge in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, also ${\displaystyle A_{n}\downarrow A}$, so ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)}$.
• Prinzip von Inklusion und Exklusion: Es gilt

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k+1}\!\!\sum _{I\subseteq \{1,\dots ,n\}, \atop |I|=k}\!\!\!\!\mu \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\right)}$

sowie

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k+1}\!\!\sum _{I\subseteq \{1,\dots ,n\}, \atop |I|=k}\!\!\!\!\mu \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\right)}$.

Im einfachsten Fall entspricht dies

${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)}$

Eigenschaften auf verschiedenen Grundmengen

Für einen beliebigen, aber fest gewählten Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ sind die endlichen Maße eine Teilmenge des reellen Vektorraumes der endlichen signierten Maße auf diesem Messraum. Sie bilden in diesem Vektorraum einen konvexen Kegel.

Wichtige konvexe Teilmengen der endlichen Maße sind die Wahrscheinlichkeitsmaße (diejenigen Elemente mit ${\displaystyle \mu (X)=1}$) und die Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße (diejenigen Elemente mit ${\displaystyle \mu (X)\leq 1}$).

Als Teilmenge der endlichen signierten Maße ist für endliche Maße die Totalvariationsnorm definiert als

${\displaystyle \|\mu \|_{\operatorname {TV} }=\mu (X)}$

und ermöglicht einen Konvergenzbegriff.

Verallgemeinerungen

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.