Allgemeine Eigenschaften

monoton, falls ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow f(A)\leq f(B)}$ für ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$

endlich, falls für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}\Rightarrow f(A)<\infty }$

σ-endlich, falls es eine Folge ${\displaystyle (A_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle \bigcup _{j\in \mathbb {N} }A_{j}=\Omega }$ und ${\displaystyle f(A_{j})<\infty }$ für alle ${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$ gibt.

beschränkt, falls für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$: ${\displaystyle \sup _{A\in {\mathcal {C}}}|f(A)|<\infty }$

vollständig, falls für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$ mit ${\displaystyle f(A)=0}$ und ${\displaystyle B\subseteq A}$: ${\displaystyle B\in {\mathcal {C}}}$ gilt.

Verträglichkeit von Addition und Vereinigung

additiv, falls ${\displaystyle f(A\cup B)=f(A)+f(B)}$ für disjunkte Mengen ${\displaystyle A,B}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {C}}}$

endlich additiv, falls ${\displaystyle f(\bigcup _{j=1}^{m}A_{j})=\sum _{j=1}^{m}f(A_{j})}$ für beliebige, paarweise disjunkte Mengen ${\displaystyle A_{1},...,A_{m}}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

σ-additiv (sigma-additiv), falls ${\displaystyle f(\bigcup _{j\in \mathbb {N} }A_{j})=\sum _{j\in \mathbb {N} }f(A_{j})}$ für jede Folge disjunkter Mengen ${\displaystyle (A_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit ${\displaystyle \bigcup _{\in \mathbb {N} }A_{j}\in {\mathcal {C}}}$

subadditiv, falls ${\displaystyle f(A\cup B)\leq f(A)+f(B)}$ für ${\displaystyle A,B}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit ${\displaystyle A\cup B\in C}$

endlich subadditiv, falls ${\displaystyle f(\bigcup _{j=1}^{m}A_{j})\leq \sum _{j=1}^{m}f(A_{j})}$ für alle Mengen ${\displaystyle A_{1},...,A_{m}}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit ${\displaystyle \bigcup _{j=1}^{m}A_{j}\in C}$

σ-subadditiv (sigma-subadditiv), falls ${\displaystyle f(\bigcup _{j\in \mathbb {N} }A_{j})\leq \sum _{j\in \mathbb {N} }f(A_{j})}$ für jede Folge von Mengen ${\displaystyle (A_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit ${\displaystyle \bigcup _{j\in \mathbb {N} }A_{j}\in {\mathcal {C}}}$

subtraktiv, falls für alle ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$ mit ${\displaystyle B\subseteq A}$, ${\displaystyle f(B)<\infty }$ und ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {C}}}$: ${\displaystyle f(A\setminus B)=f(A)-f(B)}$. Dabei fordert man ${\displaystyle f(B)<\infty }$, um nicht-definierte Differenzen ${\displaystyle \infty -\infty }$ zu vermeiden.

modular, falls für alle ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle A\cup B,A\cap B\in {\mathcal {C}}}$: ${\displaystyle f(A\cup B)+f(A\cap B)=f(A)+f(B)}$

Stetigkeit

stetig von unten, falls für jede monoton wachsende Folge ${\displaystyle (A_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle \bigcup _{j\in \mathbb {N} }A_{j}\in {\mathcal {C}}}$:

${\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\sup _{i\in \mathbb {N} }f(A_{i})}$

gilt.

stetig von oben, falls für jede monoton fallende Folge ${\displaystyle (A_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle f(A_{1})<\infty }$ und ${\displaystyle \bigcap _{j\in \mathbb {N} }A_{j}\in {\mathcal {C}}}$:

${\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\right)=\inf _{i\in \mathbb {N} }f(A_{i})}$

gilt.

${\displaystyle \emptyset }$-stetig von oben, falls für jede monoton fallende Folge ${\displaystyle (A_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle A_{j}\in {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle f(A_{1})<\infty }$ und ${\displaystyle \bigcap _{j\in \mathbb {N} }A_{j}=\emptyset }$:

${\displaystyle \inf _{i\in \mathbb {N} }f(A_{i})=0}$

gilt.