In der mathematischen Theorie dynamischer Systeme besagt die Margulis-Ruelle-Ungleichung, dass die Entropie eines dynamischen Systems nach oben durch die Summe seiner positiven Lyapunov-Exponenten abgeschätzt werden kann.

Mathematische Formulierung

Sei ${\displaystyle f\colon M\to M}$ ein ${\displaystyle C^{1+\alpha }}$-Diffeomorphismus einer kompakten Mannigfaltigkeit mit einem invarianten Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \nu }$. Dann gilt für die Kolmogorow-Sinai-Entropie ${\displaystyle h_{\nu }(f)}$ die Ungleichung

${\displaystyle h_{\nu }(f)\leq \int _{M}\sum _{\lambda _{i}(x)>0}\lambda _{i}(x)d\nu (x)}$,

wobei ${\displaystyle \lambda _{1}(x),\ldots ,\lambda _{n}(x)}$ die Ljapunow-Exponenten im Punkt ${\displaystyle x\in M}$ sind und aber auf der rechten Seite jeweils nur über die in ${\displaystyle x}$ positiven Ljapunow-Exponenten summiert wird.

Für glatte invariante Wahrscheinlichkeitsmaße gilt die stärkere Entropieformel von Pesin:

${\displaystyle h_{\nu }(f)=\int _{M}\sum _{\lambda _{i}(x)>0}\lambda _{i}(x)d\nu (x)}$.

Für nicht-glatte invariante Wahrscheinlichkeitsmaße kann jedoch eine strikte Ungleichung gelten. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die nichtwandernde Menge endlich und hyperbolisch ist. Präzise Bedingungen, wann in der Margulis-Ruelle-Ungleichung Gleichheit gilt, gibt der Satz von Ledrappier-Young.

Literatur

• Min Quian, Jian-Sheng Xie, Shu Zhu: Smooth ergodic theory for endomorphisms, Lecture Notes in Mathematics 1978, Springer Verlag, 2009.

Weblinks

• Pesin entropy formula (Scholarpedia)