Eine euklidische Relation ist in der Mathematik eine binäre Relation, für die Euklids Axiom „Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich“ gilt.

Definition

Eine binäre Relation R auf einer Menge X heißt euklidisch (oder auch rechts-euklidisch), wenn für beliebige Elemente a, b, c in X die folgende Bedingung erfüllt ist: steht a zu b und a zu c in gleicher Beziehung, so steht auch b zu c in dieser Beziehung. Dies lässt sich auch prädikatenlogisch ausdrücken mit .

Dual dazu heißt eine Relation R auf X links-euklidisch, wenn für beliebige a, b, c in X gilt: stehen sowohl b als auch c in Beziehung zu a, dann steht auch b in Beziehung zu c, formal .

Eigenschaften

  • Die Eigenschaft euklidisch zu sein unterscheidet sich von der Transitivität. Zum Beispiel ist die Relation ≤ auf den natürlichen Zahlen transitiv, doch nicht rechts-euklidisch, während die durch definierte Relation auf den natürlichen Zahlen nicht transitiv, jedoch rechts-euklidisch ist.
  • Für eine symmetrische Relation sind die Eigenschaften Transitivität, rechts- und links-euklidisch koinzident. Doch kann auch eine nicht-symmetrische Relation sowohl transitiv als auch rechts-euklidisch sein, z. B. xRy definiert durch y=0.
  • Eine Relation, die sowohl rechts-euklidisch als auch reflexiv ist, ist notwendig auch symmetrisch und damit eine Äquivalenzrelation. Ebenso ist jede links-euklidische und reflexive Relation notwendig eine Äquivalenz.
  • Der Bildbereich einer rechts-euklidischen Relation ist stets eine Teilmenge ihres Urbildbereichs. Die Einschränkung einer rechts-euklidischen Relation auf ihren Bildbereich ist stets reflexiv und somit eine Äquivalenzrelation. Ebenso ist der Urbildbereich einer links-euklidischen Relation stets eine Teilmenge ihres Bildbereichs, und die Beschränkung einer links-euklidischen Relation auf ihren Urbildbereich eine Äquivalenz.
  • Eine Relation R ist links- und rechts-euklidisch genau dann, wenn ihr Urbild- und ihr Bildbereich übereinstimmen und R auf dieser Menge eine Äquivalenzrelation ist.
  • Eine rechts-euklidische Relation ist stets quasitransitiv, ebenso eine links-euklidische Relation.
  • Eine konnexe rechts-euklidische Relation ist stets auch transitiv, ebenso eine konnexe links-euklidische Relation.
  • Wenn X mindestens 3 Elemente hat, kann eine konnexe rechts-euklidische Relation R auf X nicht antisymmetrisch sein, gleiches gilt für eine konnexe links-euklidische Relation auf X. Auf der zweielementigen Menge X = { 0, 1 } ist z. B. die durch definierte Relation konnex, rechts-euklidisch und antisymmetrisch; ist auf dieser Menge konnex, links-euklidisch und antisymmetrisch.

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. ↑ Das Buch I der Elemente von Euklid enthält einleitend eine axiomatische Grundlegung, in der dieser Grundsatz als 1. Axiom allgemeiner Regeln der Gleichheit aufgeführt ist („Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα“); siehe hierzu W.-D. Geyer: Euklid: Die Elemente – eine Übersicht. Vorlesung über antike Mathematik, SS 2001, S. 3 (PDF; 275 kB).
  2. 1 2 Ronald Fagin: Reasoning About Knowledge. MIT Press, 2003, ISBN 978-0-262-56200-3, S. 60 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. ↑ Da z. B. 0≤2 und 0≤1 gilt, aber nicht 2≤1.
  4. ↑ Da z. B. 2R1 und 1R0 gilt, aber nicht 2R0.
  5. ↑ Denn aus xRy und xRx folgt yRx.
  6. ↑ Gleichheit von Urbild- und Bildbereich ist nicht notwendig: die Relation xRy definiert durch y=min{x,2} ist rechts-euklidisch auf den natürlichen Zahlen und ihr Bildbereich {0,1,2} ist eine echte Teilmenge ihres Urbildbereichs ℕ.
  7. ↑ Wenn y im Bildbereich von R liegt, dann folgt aus xRy ∧ xRy für geeignetes x, dass yRy. Dies zeigt auch, dass y im Urbildbereich von R liegt.
  8. ↑ Die ""-Richtung folgt aus dem vorherigen Absatz. — Für die ""-Richtung nimm an, dass aRb und aRc gelten, dann liegen a,b,c im Urbild- und im Bildbereich von R; also folgt bRc wegen Symmetrie und Transitivität. Die links-euklidische Eigenschaft von R folgt analog.
  9. ↑ Wenn xRy ∧ ¬yRx ∧ yRz ∧ ¬zRy gilt, dann liegen sowohl y als auch z im Bildbereich von R. Da R auf dieser Menge eine Äquivalenz ist, folgt aus yRz schon der Widerspruch zRy.
  10. 1 2 3 Mit einem analogen Argument, das die Lage von x und y im Urbildbereich von R verwendet.
  11. ↑ Wenn xRy ∧ yRz gilt, dann liegen y und z im Bildbereich von R. Da R konnex ist, gilt xRz oder zRx oder x=z.
  12. ↑ Da R konnex ist, liegen in ihrem Bildbereich mindestens zwei verschiedene Elemente x und y, für die gilt xRy ∨ yRx. Es gilt sogar xRy ∧ yRx. Dies widerspricht der Antisymmetrie.
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