Euler-Klasse

In der Mathematik, genauer in der algebraischen Topologie und in der Differentialgeometrie und -topologie, ist die Euler-Klasse ein spezieller Typ von charakteristischen Klassen, die orientierbaren reellen Vektorbündeln zugeordnet wird. Sie wird nach Leonhard Euler benannt, weil sie im Fall des Tangentialbündels einer Mannigfaltigkeit deren Euler-Charakteristik bestimmt.

Sie kann auf unterschiedliche (äquivalente) Weisen definiert werden: als Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen, als Pull-Back der Orientierungsklasse unter einem Schnitt oder als Bild der Pfaffschen Determinante unter dem Chern-Weil-Isomorphismus. Im Fall flacher Bündel gibt es weitere äquivalente Definitionen.

Grundidee und Motivation

Die Euler-Klasse ist eine charakteristische Klasse, also eine topologische Invariante von orientierten Vektorbündeln: zwei isomorphe orientierte Vektorbündel haben dieselben Euler-Klassen. Im Falle differenzierbarer Mannigfaltigkeiten bestimmt die Euler-Klasse des Tangentialbündels die Euler-Charakteristik der Mannigfaltigkeit.

Die Euler-Klasse liefert ein Hindernis für die Existenz eines Schnittes ohne Nullstellen. Insbesondere liefert die Euler-Charakteristik einer geschlossenen, orientierbaren, differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein Hindernis für die Existenz eines Vektorfeldes ohne Singularitäten.

Für einen auf einer Teilmenge des Basis-Raumes definierten nullstellenfreien Schnitt kann man eine relative Euler-Klasse definieren, diese liefert ein Hindernis für die Fortsetzbarkeit des Schnittes ohne Nullstellen auf die gesamte Basis.

Axiome

Die (relative) Euler-Klasse wird durch folgende Axiome festgelegt.

Jedem orientierten, $n$ -dimensionalen reellen Vektorbündel $E\to X$ mit einem nirgendwo verschwindenden Schnitt $s\colon Y\to E$ auf einer (möglicherweise leeren) Teilmenge $Y\subset X$ wird ein Element

e(E,s)\in H^{n}(X,Y;\mathbb {Z} )

(bzw. $e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )$ falls $Y=\emptyset$ ) zugeordnet, so dass

für jede stetige Abbildung $f\colon (X^{\prime },Y^{\prime })\to (X,Y)$ gilt $e(f^{*}E,f^{*}s)=f^{*}(e(E,s))$
$e(E_{1}\oplus E_{2},s\oplus 0)=e(E_{1},s)\cup e(E_{2})$
für das tautologische komplexe Geradenbündel $\gamma ^{1}\to \mathbb {C} P^{1}$ , aufgefasst als 2-dimensionales reelles Vektorbündel, ist $e(\gamma ^{1})\in H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )$ ein Erzeuger von $H^{2}(\mathbb {C} P^{1};\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z}$ .

$e(E)\in H^{n}(X;\mathbb {Z} )$ heißt die Euler-Klasse des Bündels $E$ , $e(E,s)\in H^{n}(X,Y;\mathbb {Z} )$ heißt die relative Euler-Klasse relativ zum Schnitt $s$ .

Definition als Obstruktionsklasse

Für ein $n$ -dimensionales orientiertes Vektorbündel $E\to \vert K\vert$ über der geometrischen Realisierung $\vert K\vert$ eines Simplizialkomplexes $K$ erhält man mittels Obstruktionstheorie die Obstruktionsklasse

o_{n}(E)\in H^{n}(K;\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))

für die Fortsetzung eines Schnittes im assoziierten Vektorbündel auf das $n$ -Skelett von $K$ .

Die Koeffizientengruppe

\pi _{n-1}(V_{1}(\mathbb {R} ^{n}))\simeq \pi _{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0)\simeq H_{n-1}(\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )\simeq H_{n}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-0;\mathbb {Z} )

ist (durch die Orientierung) kanonisch isomorph zu $\mathbb {Z}$ und dieser Isomorphismus bildet $o_{n}(E)$ auf die Euler-Klasse $e(E)\in H^{n}(K;\mathbb {Z} )$ ab.

Definition mittels Orientierungsklasse

Für ein orientiertes $n$ -dimensionales Vektorbündel $p\colon E\to M$ und $E_{0}\subset E$ das Komplement des Null-Schnitts betrachten wir das Bild $u\mid _{E}$ der Orientierungsklasse (Thom-Klasse)

u\in H^{n}(E,E_{0};\mathbb {Z} )

in $H^{n}(E;\mathbb {Z} )$ . Weil $\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist, ist $p\colon E\to M$ eine Homotopieäquivalenz und

p^{*}\colon H^{*}(M;\mathbb {Z} )\to H^{*}(E;\mathbb {Z} )

ein Isomorphismus. Die Euler-Klasse ist definiert durch

e(E):=(p^{*})^{-1}u\mid _{E}\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )

.

Äquivalent kann man $e(E)$ durch

e(E):=s^{*}u\mid _{E}

für einen beliebigen Schnitt (zum Beispiel den Nullschnitt) $s\colon M\to E$ definieren.

Falls $E\to M$ einen Schnitt ohne Nullstellen hat, also $s(M)\subset E_{0}$ gilt, folgt daraus $e(E)=0$ .

Relative Euler-Klasse: Falls ein Schnitt ohne Nullstellen $s_{0}\colon Y\to E$ auf einer Teilmenge $Y\subset M$ gegeben ist, dann kann man ihn zu einem Schnitt (evtl. mit Nullstellen) $s\colon (M,Y)\to (E,E_{0})$ fortsetzen und definiert dann

e(E,s_{0}):=s^{*}u\in H^{n}(M,Y;\mathbb {Z} )

.

Definition über Chern-Weil-Theorie

Wir betrachten Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ . Die Konstruktion mittels Chern-Weil-Theorie liefert (nur) das Bild der Euler-Klasse in $H^{*}(M;\mathbb {R} )$ bzw. der relativen Euler-Klasse in $H^{*}(M,Y;\mathbb {R} )$ , insbesondere liefert sie die Nullklasse für Vektorbündel ungerader Dimension.

Für ein orientiertes Vektorbündel der Dimension $n=2k$ betrachtet man das assoziierte $SO(2k)$ -Prinzipalbündel (das Rahmenbündel) $P\to M$ .

Für ein $SO(2k)$ -Prinzipalbündel $P\to M$ mit einer Zusammenhangsform $\omega \in \Omega ^{1}(P,so(2k))$ ist die Euler-Klasse $e(P)\in H_{dR}^{2k}(M)\simeq H^{2k}(M;\mathbb {R} )$ das Bild der durch

Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{k}k!}}\sum _{\sigma \in S_{2k}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2k-1)\sigma (2k)}

definierten Pfaffschen Determinante $Pf\in I^{n}(so(2k))$ unter dem Chern-Weil-Homomorphismus

I^{k}(so(2k))\to H_{dR}^{2k}(M)

,

also die von der mit Hilfe der Krümmungsform $\Omega \in \Omega ^{2}(M)$ des Prinzipalbündels definierten Differentialform

{\frac {1}{2^{k}\pi ^{2k}}}Pf(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k}):={\frac {1}{(2\pi )^{2k}}}{\frac {1}{(k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\operatorname {sign} (\sigma )Pf(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))

repräsentierte De-Rham-Kohomologie-Klasse. Man kann zeigen, dass die Euler-Klasse nicht von der Wahl der Zusammenhangsform $\Omega$ abhängt und dass sie im Bild von $H^{2k}(M;\mathbb {Z} )$ liegt.

Die Übereinstimmung der so definierten Euler-Klasse mit der oben topologisch definierten ist der Inhalt des 1943 von Allendoerfer und Weil (und mit einem intrinsischen Beweis 1944 von Chern) bewiesenen verallgemeinerten Satzes von Gauß-Bonnet.

Relative Euler-Klasse: Es sei $s\colon Y\to E$ ein Schnitt ohne Nullstellen über einer Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ . (Wir nehmen an, dass sich der Schnitt auf eine offene Umgebung von $Y$ fortsetzen lässt.) Dann gibt es eine Zusammenhangsform $\omega$ , deren Krümmungsform $Pf(\Omega )\mid _{Y}\equiv 0$ erfüllt. Insbesondere definiert $Pf(\Omega )$ eine relative Kohomologieklasse $e(E,s)\in H^{2k}(M,Y;\mathbb {Z} )$ .

Euler-Klasse von SL(n,R)-Prinzipalbündeln

Unter den Isomorphismen

I^{k}(so(2k))\simeq H^{2k}(BSO(2k))\simeq H^{2k}(BSL(2k,\mathbb {R} ))

entspricht die Pfaffsche Determinante einer Kohomologieklasse $e(\gamma ^{2k})$ in der Kohomologie des klassifizierenden Raumes $BSL(2k,\mathbb {R} )$ , der Euler-Klasse des universellen Bündels $\gamma ^{2k}\to BSL(2k,\mathbb {R} )$ . Zu jedem $SL(2k,\mathbb {R} )$ -Bündel $P\to M$ kann man also mittels der klassifizierenden Abbildung $f\colon M\to BSL(2k,\mathbb {R} )$ die Euler-Klasse

e(P):=f^{*}(e(\gamma ^{2k}))\in H^{2k}(M)

definieren. Diese stimmt mit der Euler-Klasse des assoziierten Vektorbündels überein.

Euler-Klasse von Sphärenbündeln

Die Euler-Klasse kann für beliebige Sphärenbündel definiert werden.

Im Fall des Einheitssphärenbündels eines Riemannschen Vektorbündels erhält man die oben definierte Euler-Klasse des Vektorbündels.

Eigenschaften

Der kanonische Homomorphismus $H^{n}(X;\mathbb {Z} )\to H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ bildet die Euler-Klasse auf die n-te Stiefel-Whitney-Klasse $w_{n}\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ ab.
Das Cup-Produkt $e(E)\cup e(E)$ ist die höchste Pontrjagin-Klasse $p_{n}\in H^{2n}(X;\mathbb {Z} )$ .
Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten $M$ mit Tangentialbündel $TM$ und Fundamentalklasse $\left[M\right]$ ist $\langle e(TM),\left[M\right]\rangle =\chi (M)$ die Euler-Charakteristik von $M$ .
Es sei ${\overline {E}}$ das Vektorbündel $E$ mit der umgekehrten Orientierung, dann ist $e({\overline {E}})=-e(E)$ .
Insbesondere gilt für Vektorbūndel ungerader Dimension $2e(E)=0$ . Für geschlossene, orientierbare, differenzierbare Mannigfaltigkeiten ungerader Dimension verschwindet die Euler-Charakteristik.
Für die Whitney-Summe und das kartesische Produkt von Vektorbündeln gilt
$e(E_{1}\oplus E_{2})=e(E_{1})\cup e(E_{2}),e(E_{1}\times E_{2})=e(E_{1})\times e(E_{2}),$
wobei $\cup$ das Cup-Produkt und $\times$ das Kreuzprodukt bezeichnet.
Für einen generischen Schnitt $s\colon M\to E$ eines $n$ -dimensionalen orientierten Vektorbündels über einer $m$ -dimensionalen geschlossenen orientierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist das Bild der Fundamentalklasse $\left[Z\right]$ der Nullstellenmenge $Z=\left\{x\in X:s(x)=0\right\}$ in $H_{m-n}(M;\mathbb {Z} )$ das Poincaré-Dual von $e(E)\in H^{n}(M;\mathbb {Z} )$ . Im Fall des Tangentialbündels $E=TM$ ergibt sich daraus der Satz von Poincaré-Hopf.
Wenn $N_{Y}$ das Normalenbündel einer geschlossenen orientierbaren Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ ist, dann ist $<e(N_{Y}),\left[Y\right]>$ die Selbstschnittzahl von $Y$ .
Wenn $s\colon X\to E$ ein Schnitt ohne Nullstellen ist, dann ist $e(E,s\vert _{Y})=0\in H^{n}(X,Y;\mathbb {Z} )$ für alle $Y\subset X$ .
Gysin-Sequenz: Für ein $n$ -dimensionales orientiertes Vektorbündel $E\to B$ (mit $E_{0}\subset E$ die Menge der von Null verschiedenen Vektoren) vermittelt das Cup-Produkt mit der Euler-Klasse eine exakte Sequenz
$\ldots \to H^{i}(B;\mathbb {Z} )\to H^{i+n}(B)\to H^{i+n}(E_{0})\to H^{i+1}(B)\to \ldots$ ,
wobei die anderen beiden Abbildungen $\pi \vert _{E_{0}}^{*}$ und die Integration entlang der Faser sind.

Euler-Klasse flacher Bündel

Simpliziale Definition

Es sei $p\colon E\to \vert K\vert$ ein flaches Vektorbündel über der geometrischen Realisierung $\vert K\vert$ eines Simplizialkomplexes $K$ mit $0$ -Simplizes $v_{1},\ldots ,v_{n}$ .. Weil Simplizes kontrahierbar sind, ist das Bündel trivial über jedem Simplex. Zu beliebig gewählten $s(v_{i})\in p^{-1}(v_{i})$ kann man also durch affine Fortsetzung einen Schnitt $s\colon \vert K\vert \to E$ konstruieren. Für generische $s(v_{i})$ hat dieser Schnitt keine Nullstellen auf dem $(n-1)$ -Skelett, höchstens eine Nullstelle pro $n$ -Simplex und ist transversal zum Nullschnitt. Dann definieren wir einen simplizialen $n$ -Kozykel ${\mathcal {E}}$ durch

{\mathcal {E}}(\sigma )=0

falls

s\vert _{\sigma }

keine Nullstelle hat

{\mathcal {E}}(\sigma )=1

falls

s(p)=0

für ein

p\in \sigma

und falls für eine positive Basis

t_{1},\ldots ,t_{n}

von

T_{p}K

auch

t_{1},\ldots ,t_{n},d_{p}s(t_{1}),\ldots ,d_{p}s(t_{n})

eine positive Basis von

T_{s(p)}E

ist

{\mathcal {E}}(\sigma )=-1

andernfalls.

Man kann zeigen, dass ${\mathcal {E}}$ ein Kozykel ist und sein Wert auf Zykeln nicht vom gewählten Schnitt abhängt. Die von ${\mathcal {E}}$ repräsentierte Kohomologieklasse ist die Euler-Klasse $e\in H^{n}(K;\mathbb {Z} )$ des flachen Bündels.

Flache SL(2,R)-Bündel

Wegen $\pi _{1}SL(2,\mathbb {R} )\simeq \mathbb {Z}$ hat man die universelle Überlagerung

\mathbb {Z} \to {\widetilde {SL(2,\mathbb {R} )}}\to SL(2,\mathbb {R} )

,

diese ist eine zentrale Erweiterung und wird deshalb durch eine Kohomologieklasse $E\in H^{2}(BSL(2,\mathbb {R} )^{\delta };\mathbb {Z} )$ repräsentiert. Diese ist die universelle Euler-Klasse für flache $SL(2,\mathbb {R} )$ -Bündel, d. h. für ein flaches Bündel $P\to M$ mit Holonomie-Darstellung $\rho \colon \pi _{1}M\to SL(2,\mathbb {R} )$ erhält man

e(P)=f^{*}(B\rho )^{*}(E)\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )

,

wobei $f\colon M\to B\pi _{1}M$ die klassifizierende Abbildung der universellen Überlagerung ist.

Flache Kreisbündel

Es bezeichne $Homeo^{+}(S^{1})$ die Gruppe der orientierungserhaltenden Homöomorphismen des Kreises. Ihre universelle Überlagerung ist ${\widetilde {Homeo^{+}(S^{1})}}=\left\{f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x+1)=f(x)+1\ \forall x\in \mathbb {R} \right\}$ . Die ganzen Zahlen wirken durch Translationen auf $\mathbb {R}$ und man erhält eine exakte Sequenz

\mathbb {Z} \to {\widetilde {Homeo^{+}(S^{1})}}\to Homeo^{+}(S^{1})

.

Die zugehörige Gruppenkohomologie-Klasse $E\in H^{2}(Homeo^{+}(S^{1});\mathbb {Z} )$ ist die universelle Euler-Klasse für flache $Homeo^{+}(S^{1})$ -Bündel.

Eine explizite Formel wurde von Jekel angegeben: die universelle Euler-Klasse $E_{\mathbb {R} }\in H^{2}(Homeo^{+}(S^{1});\mathbb {R} )$ wird durch den sogenannten Orientierungs-Kozykel $o\in C^{2}(Homeo^{+}(S^{1};\mathbb {R} )$ repräsentiert:

o(g_{0},g_{1},g_{2})={\frac {1}{2}}

falls

g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)

im Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind

o(g_{0},g_{1},g_{2})=0

falls mindestens zwei der Werte

g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)

übereinstimmen

o(g_{0},g_{1},g_{2})=-{\frac {1}{2}}

falls

g_{0}(1),g_{1}(1),g_{2}(1)

entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Kreis angeordnet sind.

Der Orientierungs-Kozykel repräsentiert dann auch für alle Untergruppen $G\subset Homeo^{+}(S^{1})$ die universelle Euler-Klasse für flache $G$ -Bündel. Dies gilt insbesondere für flache $PSL(2,\mathbb {R} )$ -Bündel: man verwende die Wirkung von $PSL(2,\mathbb {R} )$ auf $S^{1}=P^{1}\mathbb {R}$ durch gebrochen-lineare Transformationen.

Literatur

John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic classes. In: Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton NJ; University of Tokyo Press, Tokyo 1974. (Kapitel 9)
Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. In: Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin / New York 1978, ISBN 3-540-08663-3
Raoul Bott, Loring W. Tu: Differential forms in algebraic topology. In: Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4 (Kapitel 11)
Riccardo Benedetti, Carlo Petronio: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-55534-X (Kapitel F.4)
Tammo tom Dieck: Algebraic topology. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-048-7 (Kapitel XI)
Alberto Candel, Lawrence Conlon: Foliations. II. In: Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence RI 2003, ISBN 0-8218-0881-8 (Kapitel 4)

Weblinks

Vladimir Sharafutdinov: Relative Euler class and the Gauß-Bonnet theorem (PDF)
Michelle Bucher-Karlsson: Characteristic classes and bounded cohomology. (PDF; Kapitel 3.1)
Yin Li: The Gauss-Bonnet-Chern Theorem on Riemannian Manifolds. arxiv:1111.4972

Einzelnachweise

↑ Milnor-Stasheff (op.cit.), Theorem 12.5
↑ Shiing-Shen Chern: On the curvatura integra in a Riemannian manifold. In: Annals of Mathematics, 46 (4), 1945, S. 674–684.
↑ Sharafutdinov (op.cit.), Kapitel 2
↑ Bott-Tu (op.cit.), Kapitel 11
↑ Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.1
↑ Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.2
↑ Benedetti-Petronio (op.cit.), Proposition F.4.4 und F.4.3
↑ Bucher-Karlsson (op.cit.), Abschnitt 3.1.4
↑ Solomon M. Jekel: A simplicial formula and bound for the Euler class. In: Israel J. Math., 66, 1989, no. 1-3, S. 247–259.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Milnor-Stasheff (op.cit.), Theorem 12.5

[2] Shiing-Shen Chern: On the curvatura integra in a Riemannian manifold. In: Annals of Mathematics, 46 (4), 1945, S. 674–684.

[3] Sharafutdinov (op.cit.), Kapitel 2

[4] Bott-Tu (op.cit.), Kapitel 11

[5] Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.1

[6] Benedetti-Petronio (op.cit.), Lemma F.4.2

[7] Benedetti-Petronio (op.cit.), Proposition F.4.4 und F.4.3

[8] Bucher-Karlsson (op.cit.), Abschnitt 3.1.4

[9] Solomon M. Jekel: A simplicial formula and bound for the Euler class. In: Israel J. Math., 66, 1989, no. 1-3, S. 247–259.