Fall mit Auftrieb

Das umgebende Medium wirkt mit einer Kraft auf den Körper, die der Gewichtskraft der Masse des verdrängten Mediums entspricht und dieser entgegengesetzt gerichtet ist. Der Auftrieb ist vernachlässigbar, wenn das Verhältnis ${\displaystyle \rho _{\text{Körper}}/\rho _{\text{Medium}}\gg 1}$ gilt, wobei ${\displaystyle \rho }$ die Dichte ist.

Beispielsweise lässt sich der Auftrieb von Luftballons in der Luft oder von Menschen im Wasser nicht vernachlässigen.

Die Auftriebskraft ist:

${\displaystyle F_{\mathrm {A} }=\rho _{0}\cdot V\cdot g=\rho _{\mathrm {K} }\cdot V\cdot \left({\frac {\rho _{0}}{\rho _{\mathrm {K} }}}\cdot g\right)=m\cdot \left({\frac {\rho _{0}}{\rho _{\mathrm {K} }}}\cdot g\right)}$

wobei ${\displaystyle V}$ das Volumen des Körpers ist, ${\displaystyle \rho _{\mathrm {K} }}$ seine Dichte und ${\displaystyle \rho _{0}}$ die Dichte des verdrängten Mediums. Wir definieren

${\displaystyle g_{\mathrm {A} }:={\frac {\rho _{0}}{\rho _{\mathrm {K} }}}\cdot g}$

als Auftriebsbeschleunigung. Damit erhalten wir für die gesamte Kraft:

${\displaystyle F=F_{\mathrm {G} }+F_{\mathrm {A} }=-m\cdot g+m\cdot g_{\mathrm {A} }=-m\cdot (g-g_{\mathrm {A} })=-m\cdot {\tilde {g}}}$

wobei

${\displaystyle {\tilde {g}}:=g-g_{\mathrm {A} }=\left(1-{\frac {\rho _{0}}{\rho _{\mathrm {K} }}}\right)\cdot g}$

als angepasste Fallbeschleunigung bezeichnet wird. Die Lösung für diese Differentialgleichung ist dann analog zum freien Fall:

${\displaystyle z(t)=-{\frac {1}{2}}{\tilde {g}}t^{2}+v_{0}t+z_{0}}$

Zu beachten ist, dass ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ auch negativ sein kann, falls ${\displaystyle \rho _{\mathrm {K} }<\rho _{0}}$.

Fall mit Stokes-Reibung

Bei kleinen Geschwindigkeiten ist die Reibung proportional zur Fallgeschwindigkeit:

${\displaystyle F_{\mathrm {R} }=-\beta v}$

mit einem Reibungskoeffizienten ${\displaystyle \beta }$. Die Bewegungsgleichung in z-Richtung (vertikal) lautet daher

${\displaystyle m{\ddot {z}}=-mg-\beta {\dot {z}}}$

bzw.

${\displaystyle m{\dot {v}}=-mg-\beta v.}$

Diese Gleichung führt zu den Ausdrücken

${\displaystyle v(t)=-{\frac {mg}{\beta }}\left(1-e^{-\beta t/m}\right)+v_{0}e^{-\beta t/m}}$

für die Geschwindigkeit und

${\displaystyle z(t)=\left(v_{0}+{\frac {mg}{\beta }}\right)\left({\frac {m}{\beta }}\right)\left(1-e^{-\beta t/m}\right)-{\frac {mg}{\beta }}t+z_{0}}$

für die Höhe. Sowohl die Geschwindigkeit als auch die zurückgelegte Strecke des fallenden Gegenstands hängen von seiner Masse ab, was der Alltagserfahrung entspricht. Die Grenzgeschwindigkeit, welche sich für einen freien Fall mit Stokes-Reibung einstellen würde, beträgt

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }v(t)=v_{\infty }=-{\frac {mg}{\beta }}}$

Fall mit Luftwiderstand: Newton-Reibung

Ab einer gewissen kritischen Geschwindigkeit (siehe Reynolds-Zahl) geht die laminare Luftströmung am Körper vorbei in eine turbulente über. Dies führt dazu, dass der Luftwiderstand nun quadratisch von der Geschwindigkeit abhängt: ${\displaystyle F_{W}=kv^{2}}$

Aus der Bewegungsgleichung ${\displaystyle m{\ddot {z}}=-mg+kv^{2}}$ für eine Bewegung nach unten (d. h. ${\displaystyle v<0}$) folgt die Differentialgleichung

${\displaystyle m{\dot {v}}=-mg+kv^{2}}$.

Diese Differentialgleichung ist vom Riccatischen Typus und somit bei Kenntnis einer partikulären Lösung analytisch lösbar. Eine partikuläre Lösung entspricht dem stationären Zustand

${\displaystyle v(t\rightarrow \infty )=v_{\infty }=-{\sqrt {mg/k}}}$.

Daraus ergibt sich für die Geschwindigkeit

${\displaystyle v(t)=-v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}-\operatorname {artanh} \left({\frac {v_{0}}{v_{\infty }}}\right)\right)}$

wobei ${\displaystyle \tanh(x)}$ der Tangens hyperbolicus, ${\displaystyle \operatorname {artanh} (x)}$ der Areatangens hyperbolicus und ${\displaystyle v_{0}:=v(t=0)}$ ist und ${\displaystyle |v_{0}|<|v_{\infty }|}$ gelten muss.

Der Weg ergibt sich dann direkt als Integral der Geschwindigkeit über der Zeit zu

${\displaystyle z(t)=-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln {\Biggl (}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{v_{\infty }^{2}}}}}\cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}-\operatorname {artanh} \left({\frac {v_{0}}{v_{\infty }}}\right)\right){\Biggr )}+z_{0}}$

wobei ${\displaystyle \ln(x)}$ der Logarithmus naturalis, ${\displaystyle \cosh(x)}$ der Cosinus hyperbolicus und ${\displaystyle z_{0}:=z(t=0)}$ ist.

Da die Geschwindigkeit quadratisch in die Bewegungsgleichung eingeht, muss der Vorzeichenwechsel bei Bewegungsumkehr im Reibungsterm explizit durch Fallunterscheidung berücksichtigt werden. Die allgemeine Bewegungsgleichung lautet daher

${\displaystyle m{\ddot {z}}=-mg-\operatorname {sgn}(v)kv^{2}}$.

Die Lösungen für Zeiten mit ${\displaystyle v(t)>0}$ (momentane Bewegung nach oben) folgen aus obigen Lösungen durch die Substitution ${\displaystyle k\rightarrow -k}$. Die Konstante ${\displaystyle k}$ ist von der Form des Körpers und von der Dichte des strömenden Mediums (etwa der Luft) abhängig. Es gilt:

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}c_{\mathrm {w} }A\rho }$,

wobei ${\displaystyle c_{\mathrm {w} }}$ der Widerstandsbeiwert, ${\displaystyle A}$ die Körperquerschnittsfläche und ${\displaystyle \rho }$ die Dichte des umgebenden Mediums (Luft) ist.