Herleitung aus der hydrostatischen Grundgleichung

Die Integration der hydrostatischen Grundgleichung liefert bei konstantem ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{p(h_{0})}^{p(h_{1})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}&=-{\frac {Mg}{RT}}\,\int _{h_{0}}^{h_{1}}\mathrm {d} h\\\iff &&\ln \left({\frac {p(h_{1})}{p(h_{0})}}\right)&=-{\frac {Mg}{RT}}(h_{1}-h_{0})=-{\frac {Mg}{RT}}\Delta h\\\iff &&{\frac {p(h_{1})}{p(h_{0})}}&=\mathrm {e} ^{-{\frac {Mg}{RT}}\Delta h}\\\iff &&p(h_{1})&=p(h_{0})\mathrm {e} ^{-{\frac {Mg}{RT}}\Delta h}\end{aligned}}}$

Durch Einführung der Skalenhöhe ${\displaystyle h_{s}={\tfrac {RT}{Mg}}}$ vereinfacht sich die Höhenformel zu

${\displaystyle p(h_{1})=p(h_{0})\mathrm {e} ^{-{\frac {\Delta h}{h_{s}}}}}$

Mit jeder Höhenzunahme um ${\displaystyle h_{s}}$ nimmt der Luftdruck um den Faktor ${\displaystyle \mathrm {e} \approx 2{,}7}$ ab. Die Skalenhöhe ist daher ein natürliches Maß für die Höhe der Atmosphäre und den Druckverlauf in ihr. Sie beträgt in der hier angenommenen Modellatmosphäre bei einer Temperatur von 288 K (~15 °C) etwa 8,4 km.

Für die Dichte gilt entsprechend:

${\displaystyle \rho (h_{1})=\rho (h_{0})\mathrm {e} ^{-{\frac {\Delta h}{h_{s}}}}}$

Für einen bergab wandernden Beobachter nimmt der Luftdruck ständig zu, da eine immer schwerere Luftsäule auf ihm lastet. Die Zunahme verläuft exponentiell, da die Luft kompressibel ist: für jeden Meter Höhenunterschied nimmt die Gewichtskraft der auf einer Messfläche lastenden Luftsäule um das Gewicht des auf dieser Strecke hinzukommenden Säulenvolumens zu. Dieses Gewicht hängt aber von der Dichte der Luft und diese wiederum vom Luftdruck ab. Der Luftdruck wächst also umso schneller, je höher der Luftdruck bereits ist (je weiter der Beobachter also herabgestiegen ist). Ändert sich eine Größe stets um einen Betrag, der der Größe selbst proportional ist, so geschieht die Änderung exponentiell.

Obwohl der Druck nicht konstant ist, befindet sich die Luftsäule im mechanischen Gleichgewicht: Der negative Druckgradient ist gleich der Schwerkraft pro Volumenelement ${\displaystyle -\partial _{z}p(z)=g\rho (z)}$

Herleitung aus der statistischen Mechanik

In einem Teilchensystem, das sich bei der Temperatur ${\displaystyle T}$ im thermischen Gleichgewicht befindet (das also insbesondere überall dieselbe Temperatur aufweist) und dessen Teilchen die kontinuierlich oder diskret verteilten Energieniveaus ${\displaystyle E_{j}}$ einnehmen können, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen gerade auf dem Energieniveau ${\displaystyle E_{j}}$ befindet, gegeben durch die Boltzmann-Verteilung

${\displaystyle P_{j}={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}}}{Z}}}$.

Dabei ist ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ die Boltzmann-Konstante und ${\displaystyle Z}$ ein Normierungsfaktor (die so genannte Zustandssumme), der sicherstellt, dass die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist. Besteht das System aus ${\displaystyle N}$ Teilchen, so ist die Anzahl der Teilchen auf dem Energieniveau ${\displaystyle E_{j}}$ im Mittel ${\displaystyle n_{j}=NP_{j}}$.

Ein Gasteilchen der Masse ${\displaystyle m}$ hat im Schwerefeld der Erde die potentielle Energie ${\displaystyle E_{\mathrm {pot} }=mgh}$ und wegen seiner Temperatur im Mittel die thermische Energie ${\displaystyle E_{\mathrm {th} }}$, insgesamt also die Energie ${\displaystyle E(h)=mgh+E_{\mathrm {th} }}$. Betrachtet man zwei gleich große Volumenelemente auf den Höhen ${\displaystyle h_{0}}$ beziehungsweise ${\displaystyle h_{1}}$, so haben die Teilchen auf der Höhe ${\displaystyle h_{1}}$ eine um den Betrag ${\displaystyle mg\Delta h}$ höhere Energie. Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im höheren Volumenelement anzutreffen, verhält sich daher zur Wahrscheinlichkeit, es im tieferen Volumenelement anzutreffen wie

${\displaystyle {\frac {P(h_{1})}{P(h_{0})}}={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {E(h_{1})}{k_{\mathrm {B} }T}}}}{\mathrm {e} ^{-{\frac {E(h_{0})}{k_{\mathrm {B} }T}}}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {\Delta E}{k_{\mathrm {B} }T}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {\Delta E_{\mathrm {pot} }}{k_{\mathrm {B} }T}}}}$.

Für eine hinreichend große Anzahl ${\displaystyle N}$ von Teilchen verhalten sich die Teilchendichten ${\displaystyle n(h)}$ wie die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

${\displaystyle {\frac {n(h_{1})}{n(h_{0})}}={\frac {NP(h_{1})}{NP(h_{0})}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {\Delta E_{\mathrm {pot} }}{k_{\mathrm {B} }T}}}}$,

und wegen des idealen Gasgesetzes folgt für den Druck ${\displaystyle p(h)=n(h)\,k_{\mathrm {B} }T}$ dasselbe Verhältnis

${\displaystyle {\frac {p(h_{1})}{p(h_{0})}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {\Delta E_{\mathrm {pot} }}{k_{\mathrm {B} }T}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {mg\Delta h}{k_{\mathrm {B} }T}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {Mg}{RT}}\Delta h}}$,

wobei man die molare Masse ${\displaystyle M}$ und die Gaskonstante ${\displaystyle R}$ erhält, indem man die Teilchenmasse ${\displaystyle m}$ beziehungsweise die Boltzmann-Konstante ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ mit der Avogadro-Konstante multipliziert.

Allerdings wird hier bei der Energie-Betrachtung der Gleichverteilungssatz vorausgesetzt. Diese Voraussetzung ist aber allgemein nur in dichter Atmosphäre erfüllt, weil nur dort durch Stöße zwischen den Gasmolekülen die Energien zwischen den verschiedenen Freiheitsgraden ausgetauscht werden. Der Grund dafür, dass der Gleichverteilungssatz generell nicht für die Höhenenergie gilt, ist, dass der Gleichverteilungssatz direkt nur auf Potentiale angewendet werden kann, die quadratisch in die Hamilton-Funktion eingehen. Weil die Höhenenergie nur linear in die Hamilton-Funktion eingeht, kann man den Gleichverteilungssatz in sehr dünnen Gasen nicht einfach voraussetzen.

Temperaturverteilung (Adiabatische Atmosphäre)

Aus der Gleichung für die Druckänderung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-{\frac {Mg}{RT}}\,\mathrm {d} h}$

und der mit Hilfe logarithmischer Ableitungen geschriebenen Gleichung für die adiabatische Zustandsänderung

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{p}}={\frac {\kappa }{\kappa -1}}\ {\frac {\mathrm {d} T}{T}}}$

folgt sofort die lineare Temperaturabnahme gemäß

${\displaystyle \mathrm {d} T=-{\frac {Mg}{R\ \kappa /(\kappa -1)}}\ \mathrm {d} h}$

Mit der mittleren molaren Masse des Atmosphärengases M = 0,02896 kg mol⁻¹, der Schwerebeschleunigung g = 9,807 m s⁻², der universellen Gaskonstante R = 8,314 J K⁻¹ mol⁻¹ und dem Adiabatenexponenten von (trockener) Luft ${\displaystyle \kappa }$ = 1,402 erhält man den Temperaturgradienten

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} h}}=-\,{\frac {0{,}979\,\mathrm {K} }{100\,\mathrm {m} }}}$

Dies ist näherungsweise der unten angegebene Temperaturgradient. Jener wird allerdings im Wesentlichen durch die feuchtadiabatische Expansion bestimmt: der feuchtadiabatische Adiabatenexponent ist kleiner als der trockenadiabatische Adiabatenexponent. Bei einer reinen Wasserdampfatmosphäre wäre der Temperaturgradient

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} h}}\right|_{\mathrm {H_{2}O} }=-{\frac {0{,}562\,\mathrm {K} }{100\,\mathrm {m} }}}$

Weitere Grenzen des adiabatischen Ansatzes: Wird die Luft sehr kalt, ändert sich auch bei trockener Luft der Adiabatenexponent. Bei sehr großen Höhen (geringe Dichte) wird auch die mittlere freie Weglänge sehr groß, so dass die Gasgleichungen kaum noch gelten. Dazu kommt noch, dass durch den Treibhauseffekt auch der adiabatische Ansatz (kein Energieaustausch mit der Umgebung) verletzt wird.

Dichte- und Druckverteilung

Im Allgemeinen ist die Temperatur nicht konstant, sondern variiert mit der Höhe. Der einfachste Ansatz zur Berücksichtigung einer solchen Veränderlichkeit geht von einer linearen Abnahme mit der Höhe aus. Aus der adiabatischen Beziehung folgt wie oben beschrieben ein konstanter Temperaturgradient

${\displaystyle a=-{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} h}}={\frac {\kappa -1}{\kappa }}{\frac {Mg}{R}}}$

sodass für die Temperatur ${\displaystyle T(h)}$ gilt:

${\displaystyle T(h)=T(h_{0})-a\cdot (h-h_{0})\qquad \Rightarrow \qquad T(h)=T(h_{0})\cdot \left(1-{\frac {a(h-h_{0})}{T(h_{0})}}\right)=T(h_{0})\cdot \left(1-{\frac {a\Delta h}{T(h_{0})}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle a}$ der (positiv zu nehmende) Betrag des vertikalen atmosphärischen Temperaturgradienten ist, der angibt, um wie viele Kelvin die Lufttemperatur pro Meter Höhenunterschied abnimmt. Das Integral über die rechte Seite der Grundgleichung lautet damit

${\displaystyle -\int _{h_{0}}^{h_{1}}{\frac {Mg}{RT}}\,\mathrm {d} h=-\int _{h_{0}}^{h_{1}}{\frac {Mg}{R\,(T(h_{0})-a\cdot (h-h_{0}))}}\,\mathrm {d} h=-{\frac {Mg}{R}}\int _{h_{0}}^{h_{1}}{\frac {1}{(T(h_{0})+ah_{0})-ah}}\,\mathrm {d} h}$.

Wegen

${\displaystyle \int {\frac {1}{b-ax}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\,\ln(b-ax)}$

ist die Lösung des Integrals

${\displaystyle -{\frac {1}{a}}\ln(\,(T(h_{0})+ah_{0})-ah)\vert _{h_{0}}^{h_{1}}=-{\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {T(h_{0})-a(h_{1}-h_{0})}{T(h_{0})}}\right)}$,

so dass insgesamt aus dem Integral über die Grundgleichung

${\displaystyle \ln \left({\frac {p(h_{1})}{p(h_{0})}}\right)=+{\frac {Mg}{R}}\,{\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {T(h_{0})-a(h_{1}-h_{0})}{T(h_{0})}}\right)=+{\frac {Mg}{R}}\,{\frac {1}{a}}\ln \left(1-{\frac {a\Delta h}{T(h_{0})}}\right)}$

die barometrische Höhenformel für linearen Temperaturverlauf folgt:

${\displaystyle p(h_{1})=p(h_{0})\mathrm {e} ^{+{\frac {Mg}{R}}{\frac {1}{a}}\ln \left(1-{\frac {a\Delta h}{T(h_{0})}}\right)}}$,

oder wegen ${\displaystyle \mathrm {e} ^{y\cdot \ln(x)}=x^{y}}$

${\displaystyle p(h_{1})=p(h_{0})\left(1-{\frac {a\Delta h}{T(h_{0})}}\right)^{\frac {Mg}{Ra}}=p(h_{0})\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa }}{\frac {Mg\Delta h}{RT(h_{0})}}\right)^{\frac {\kappa }{\kappa -1}}}$

Für die Dichte gilt entsprechend

${\displaystyle \rho (h_{1})=\rho (h_{0})\left(1-{\frac {a\Delta h}{T(h_{0})}}\right)^{\frac {Mg}{Ra\kappa }}=\rho (h_{0})\left(1-{\frac {\kappa -1}{\kappa }}{\frac {Mg\Delta h}{RT(h_{0})}}\right)^{\frac {1}{\kappa -1}}}$

Der Exponent ist hier durch ${\displaystyle \kappa }$ geteilt, da der Dichte/Druck-Zusammenhang aus der adiabatischen Beziehung der beiden Größen resultiert.

Diese erweiterte barometrische Höhenformel bildet die Grundlage für die barometrische Höhenfunktion der Standardatmosphäre in der Luftfahrt. Dabei wird zunächst die Atmosphäre in Teilschichten mit jeweils linear interpoliertem Temperaturverlauf unterteilt. Dann werden, mit der untersten Schicht beginnend, Temperatur und Druck an der Obergrenze der jeweiligen Teilschicht berechnet und für die Untergrenze der darüber liegenden Schicht eingesetzt. Auf diese Weise entsteht induktiv das Modell für die gesamte Atmosphäre.

Typische Temperaturgradienten

Wie Messungen der Temperaturprofile in der Atmosphäre zeigen, ist die Annahme einer linearen Temperaturabnahme im Mittel eine gute Näherung, wenn auch im Einzelfall deutliche Abweichungen auftreten können, zum Beispiel bei Inversionswetterlagen. Die Hauptursache für die Temperaturabnahme mit der Höhe ist die Erwärmung der unteren Luftschichten durch die von der Sonne aufgeheizte Erdoberfläche, während die oberen Luftschichten Wärme in den Weltraum abstrahlen. Dazu kommen trockenadiabatische oder feuchtadiabatische Temperaturänderungen einzelner aufsteigender oder absinkender Luftpakete und zusätzliche Modifikationen durch Vermischungsvorgänge zwischen Luftmassen unterschiedlicher Herkunft.

In Warmluftmassen und bei Aufgleitvorgängen nimmt der Temperaturgradient Werte um 0,3 bis 0,5 K pro 100 m an, in einbrechender Kaltluft meist um 0,6 bis 0,8 K pro 100 m, im Mittel über alle Wetterlagen 0,65 K pro 100 m. In Tallagen können häufige Bodeninversionen den mittleren Temperaturgradienten auf 0,5 K pro 100 m senken, in den Wintermonaten sogar auf 0,4 K pro 100 m.

Die beschriebenen Verhältnisse sind auf die Troposphäre beschränkt. In der Stratosphäre nimmt die Temperatur deutlich langsamer ab, meist nimmt sie sogar wieder zu, vor allem wegen der Absorption von UV-Strahlung in der Ozonschicht.

Für einen Temperaturgradienten von 0,65 K pro 100 m nimmt der Exponent ${\displaystyle \mathrm {\tfrac {Mg}{Ra}} }$ den Wert 5,255 an:

${\displaystyle p(h_{1})=p(h_{0})\left(1-{\frac {0{,}0065\cdot \Delta h}{T(h_{0})}}\right)^{5{,}255}}$

Wird der Exponent durch den Isentropenkoeffizienten ${\displaystyle \kappa }$ ausgedrückt, so wird:

${\displaystyle 5{,}255={\frac {\kappa }{\kappa -1}}\quad \Rightarrow \quad \kappa =1{,}235}$

Das bedeutet 8,5 Freiheitsgrade.

Aus dem Temperaturgradienten ergibt sich auch die mittlere Wärmekapazität der Luft über alle Wetterlagen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} h}}={\frac {0{,}65\,\mathrm {K} }{100\,\mathrm {m} }}={\frac {g}{C_{p}}}={\frac {9{,}81\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}{C_{p}}}\quad \Rightarrow \quad C_{p}=1509\,{\frac {\mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {K} ~\mathrm {s} ^{2}}}=1509\,{\frac {\mathrm {Ws} }{\mathrm {kg~K} }}}$

Dieser Wert liegt zwischen dem Wert von trockener Luft (1005 Ws/(kg K)) und Wasserdampf (2034 Ws/(kg K)).

Die nachfolgende Tabelle zeigt den Zusammenhang zwischen Höhe und Druck (im Mittel):

In dieser Form bietet sich die Höhenformel für den häufigen Fall an, dass Temperatur und Luftdruck auf einer der beiden Höhen bekannt sind, nicht aber der zurzeit bestehende Temperaturgradient.

Internationale Höhenformel

Setzt man die Referenzhöhe ${\displaystyle h_{0}}$ auf Meereshöhe und nimmt für die dortige Atmosphäre einen mittleren Zustand an, wie er durch die Internationale Standardatmosphäre beschrieben wird (Temperatur 15 °C = 288,15 K, Luftdruck 1013,25 hPa, Temperaturgradient 0,65 K pro 100 m), so erhält man die Internationale Höhenformel für die Troposphäre (gültig bis 11 km Höhe):

${\displaystyle p(h)=1013{,}25\cdot \left(1-{\frac {0{,}0065{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {m} }}\cdot h}{288{,}15\ \mathrm {K} }}\right)^{5{,}255}\mathrm {hPa} }$

${\displaystyle {\color {White}p(h)}=p_{0}\cdot \left(1-{\frac {0{,}0065{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {m} }}\cdot h}{T_{0}\ }}\right)^{5{,}255}}$

Diese Formel erlaubt die Berechnung des Luftdrucks (in Gestalt des sog. Normaldrucks) auf einer gegebenen Höhe, ohne dass Temperatur und Temperaturgradient bekannt sind. Die Genauigkeit im konkreten Anwendungsfall ist allerdings begrenzt, da der Berechnung statt des aktuellen Atmosphärenzustands lediglich eine mittlere Atmosphäre zugrunde gelegt wird.

Internationale Höhenformel im Rahmen der Internationalen Standardatmosphäre nach der Höhe aufgelöst, zur Umrechnung des Luftdrucks p(h) (Normaldruck) in die damit korrespondierende Höhe in Metern (m):

${\displaystyle h={\frac {288{,}15\ \mathrm {K} }{0{,}0065{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {m} }}}}\cdot \left(1-\left({\frac {p(h)}{1013{,}25\,\mathrm {hPa} }}\right)^{\frac {1}{5{,}255}}\right)}$

Virtuelle Temperatur

Die Gaskonstante ${\displaystyle R}$ ist eine Naturkonstante und kann vor das Integral gezogen werden. Die mittlere molare Masse der Atmosphärengase ${\displaystyle M}$ ist, sofern vom stark variablen Wasserdampfgehalt abgesehen wird, innerhalb der Troposphäre ebenfalls praktisch konstant und kann auch vor das Integral gezogen werden. Die unterschiedlichen Skalenhöhen der verschieden schweren Atmosphärengase würden in einer ruhenden Atmosphäre zwar zu einer teilweisen Entmischung führen, so dass sich schwerere Komponenten in den unteren Schichten und leichtere Komponenten in den höheren Schichten anreichern würden; die durch das Wettergeschehen bedingte intensive Durchmischung der Troposphäre verhindert dies jedoch. Der veränderliche Wasserdampfgehalt sowie verallgemeinert auch sonstige geringfügige Änderungen von M (vor allem in den höheren Atmosphärenschichten) kann durch Verwendung der entsprechenden virtuellen Temperatur ${\displaystyle T_{v}}$ anstelle der tatsächlichen Temperatur ${\displaystyle T}$ berücksichtigt werden. Für M kann daher der Wert für trockene Luft in Meereshöhe eingesetzt werden.

Geopotentielle Höhen

Die Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g}$ nimmt mit der Höhe ab, was bei großen Höhendifferenzen oder hohen Genauigkeitsanforderungen berücksichtigt werden muss. Eine variable Schwerebeschleunigung im Integranden würde die Integration allerdings erheblich erschweren. Dies lässt sich umgehen durch Verwendung geopotentieller statt geometrischer Höhen. Man denke sich dazu eine Testmasse ${\displaystyle m}$ bei variablem ${\displaystyle g}$ von Meereshöhe auf die Höhe ${\displaystyle h}$ gehoben. Weil ${\displaystyle g}$ mit der Höhe abnimmt, ist die dabei gewonnene potentielle Energie ${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {pot} }}$ kleiner als wenn ${\displaystyle g}$ stets den Meereshöhenwert ${\displaystyle g_{0}}$ hätte. Die geopotentielle Höhe ${\displaystyle h_{p}}$ ist die Höhe, gemessen in geopotentiellen Metern, die rechnerisch zu überwinden ist, um der Masse bei stets konstanter Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g_{0}}$ dieselbe potentielle Energie ${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {pot} }}$ zuzuführen (mit anderen Worten: ${\displaystyle h_{p}}$ ist das durch ${\displaystyle g_{0}}$ dividierte Schwerepotential. Flächen gleicher geopotentieller Höhe sind Äquipotentialflächen im Schwerefeld).

Für die zu einer geometrischen Höhe ${\displaystyle h}$ gehörige geopotentielle Höhe ${\displaystyle h_{p}}$ soll also gelten:

${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {pot} }=\int _{0}^{h}mg(h)\,\mathrm {d} h=mg_{0}\cdot h_{p}}$,

woraus folgt:

${\displaystyle g(h)\,\mathrm {d} h=g_{0}\,\mathrm {d} h_{p}}$.

Für das Verhältnis der Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g}$ in der Höhe ${\displaystyle h}$ zur Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g_{0}}$ auf Meereshöhe gilt, da das Gravitationsfeld quadratisch mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt abnimmt:

${\displaystyle {\frac {g(h)}{g_{0}}}=\left({\frac {R_{\mathrm {E} }}{R_{\mathrm {E} }+h}}\right)^{2}}$,

mit dem Erdradius ${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$. Integration von

${\displaystyle \mathrm {d} h_{p}={\frac {g(h)}{g_{0}}}\,\mathrm {d} h=\left({\frac {R_{\mathrm {E} }}{R_{\mathrm {E} }+h}}\right)^{2}\mathrm {d} h}$

liefert

${\displaystyle \int _{0}^{h_{p}}\mathrm {d} h_{p}=\int _{0}^{h}\left({\frac {R_{\mathrm {E} }}{R_{\mathrm {E} }+h}}\right)^{2}\mathrm {d} h}$

${\displaystyle \iff \ h_{p}={\frac {R_{\mathrm {E} }\cdot h}{R_{\mathrm {E} }+h}}}$.

${\displaystyle R_{\mathrm {E} }}$ ist dabei auf den Wert 6356 km zu setzen. Gegebenenfalls muss außerdem noch berücksichtigt werden, dass die Schwerebeschleunigung auf Meereshöhe ${\displaystyle g_{0}}$ von der geographischen Breite abhängt.

Auf diese Weise müssen nur einmal vor der Rechnung die gewünschten geometrischen Höhen in geopotentielle Höhen umgerechnet werden; in der Höhenformel kann dann statt der veränderlichen Schwerebeschleunigung einfach der konstante Meereshöhenwert verwendet werden. Für nicht zu große Höhen ist der Unterschied zwischen geometrischen und geopotentiellen Höhen gering und oft vernachlässigbar:

Mit der Schwerebeschleunigung auf Meereshöhe ${\displaystyle g_{0}}$, den geopotentiellen Höhen ${\displaystyle h_{p0}}$ und ${\displaystyle h_{p1}}$ und der virtuellen Temperatur ${\displaystyle T_{v}}$ vereinfacht sich die allgemeine Höhenformel zu

${\displaystyle p(h_{1})=p(h_{0})\cdot \exp \left(-{\frac {Mg_{0}}{R}}\int _{h_{p0}}^{h_{p1}}{\frac {1}{T_{v}(h_{p})}}\,\mathrm {d} h_{p}\right)}$.

Es bleibt das Integral über ${\displaystyle 1/T_{v}}$ zu lösen, wozu nur noch das Temperaturprofil ${\displaystyle T_{v}(h_{p})}$ bekannt sein muss. Es kann in der realen Atmosphäre zum Beispiel durch Radiosonden-Aufstiege bestimmt werden. Für vereinfachte Modellatmosphären mit konstanter oder linear veränderlicher Temperatur ergeben sich wieder Höhenformeln des eingangs behandelten Typs.

Reduktion auf Meereshöhe

Theorie

Der von einem Barometer gemessene Luftdruck (QFE) hängt vom meteorologischen Zustand der Atmosphäre und der Standorthöhe ab. Sollen die Angaben verschiedener Barometer für meteorologische Zwecke untereinander verglichen werden (zum Beispiel um die Lage eines Tiefdruckgebiets oder einer Front zu bestimmen), muss der Einfluss der Standorthöhen aus den Messdaten entfernt werden. Zu diesem Zweck werden die gemessenen Druckwerte auf eine gemeinsame Bezugshöhe, üblicherweise Meereshöhe, umgerechnet. Diese Umrechnung geschieht mittels einer Höhenformel. Das Umrechnen wird auch als Reduktion bezeichnet (auch wenn der Zahlenwert größer wird), da der Messwert dabei von unerwünschten Störeffekten befreit wird. Das Ergebnis ist der auf Meereshöhe reduzierte Luftdruck (QNH).

Je nach Genauigkeitsanforderungen muss eine geeignete Höhenformel benutzt werden. Bei geringeren Ansprüchen kann aus der Höhenformel für konstante Temperatur ein fester Umrechnungsfaktor abgeleitet werden, wozu eine repräsentative Temperatur zu wählen ist:

${\displaystyle p_{0}=p(h)\,\mathrm {e} ^{{\frac {Mg}{RT}}h}}$

Für eine Standorthöhe von 500 m und bei Verwendung einer Jahresmitteltemperatur von 6 °C ergibt sich z. B. ein Reduktionsfaktor von 1,063, mit dem die gemessenen Werte zu multiplizieren sind.

Bei etwas höheren Ansprüchen kann die aktuelle Lufttemperatur berücksichtigt werden. Deren Einfluss zeigt folgendes Beispiel, in dem ein auf 500 m Höhe gemessener Luftdruck von 954,3 hPa mit der Höhenformel für linearen Temperaturverlauf (a = 0,0065 K/m) unter Annahme verschiedener Stationstemperaturen ${\displaystyle T(h)}$ auf Meereshöhe reduziert wird:

${\displaystyle p_{0}=p(h)\,\left({\frac {T(h)}{T(h)+0{,}0065\mathrm {\frac {K}{m}} \,h}}\right)^{-5{,}255}=p(h)\,\left({\frac {T(h)}{T_{0}}}\right)^{-5{,}255}}$

${\displaystyle t(h)}$	−10 °C	0 °C	10 °C	20 °C	30 °C
${\displaystyle p_{0}}$	1017,9	1015,5	1013,3	1011,2	1009,3

${\displaystyle T(h)=t(h)+273{,}15\,\mathrm {K} }$

Falls eine höhere Genauigkeit gewünscht ist, aktuelle Lufttemperaturen zur Verfügung stehen und Genauigkeit sowie Kalibrierung des verwendeten Barometers den Aufwand rechtfertigen, sollte die Reduktion stets unter Verwendung der aktuellen Lufttemperatur erfolgen. Als Höhenformel bietet sich die Variante für linearen Temperaturverlauf an. Es kann auch die Variante für konstanten Temperaturverlauf verwendet werden, sofern die auf halber Stationshöhe herrschende aktuelle Temperatur eingesetzt wird:

${\displaystyle p_{0}=p(h)\,\mathrm {e} ^{{\frac {Mg}{R\,\left(T(h)+a{\frac {h}{2}}\right)}}h}}$

Diese Variante ist zwar theoretisch weniger genau, da sie die Veränderlichkeit der Temperatur mit der Höhe ignoriert, während die lineare Variante diese näherungsweise berücksichtigt. Bei den für Wetterstationen vorkommenden Höhen und Temperaturen sind die Unterschiede jedoch unbedeutend.

Die vom Deutschen Wetterdienst empfohlene Reduktionsformel entspricht der Variante mit konstantem Temperaturverlauf. Aus der auf Standorthöhe gemessenen Temperatur wird mit Hilfe des Standard-Temperaturgradienten die Temperatur auf halber Standorthöhe geschätzt. Die Luftfeuchte findet Berücksichtigung durch Übergang zur entsprechenden virtuellen Temperatur.

${\displaystyle p_{0}=p(h)\,\mathrm {e} ^{x},\quad x={\frac {g_{0}}{R^{*}\,(T(h)+C_{h}\cdot E+a{\frac {h}{2}})}}\,h}$

mit

${\displaystyle p_{0}}$		Luftdruck auf Meeresniveau reduziert
${\displaystyle p(h)}$		Luftdruck in Barometerhöhe (in hPa, auf 0,1 hPa genau)
${\displaystyle g_{0}}$	= 9,80665 m/s²	Normfallbeschleunigung
${\displaystyle R^{*}}$	= 287,05 m2/(s²K)	Gaskonstante trockener Luft (= R/M)
${\displaystyle h}$		Barometerhöhe (in m, auf dm genau; bis 750 m Höhe kann mit der geometrischen Höhe gerechnet werden, darüber sind geopotenzielle Höhen zu verwenden)
${\displaystyle T(h)}$		Hüttentemperatur (in K, wobei ${\displaystyle T(h)=t(h)+273{,}15\,\mathrm {K} }$)
${\displaystyle t(h)}$		Hüttentemperatur (in °C)
${\displaystyle a}$	= 0,0065 K/m	vertikaler Temperaturgradient
${\displaystyle E}$		Dampfdruck des Wasserdampfanteils (in hPa)
${\displaystyle C_{h}}$	= 0,12 K/hPa	Beiwert zu ${\displaystyle E}$ zur Berücksichtigung der mittleren Dampfdruckänderung mit der Höhe (eigentlich stationsabhängig, hier als fester Mittelwert)

Falls keine gemessene Luftfeuchte zur Verfügung steht, kann ${\displaystyle E}$ auch gemäß folgender Approximation geschätzt werden, welche auf langjährigen Mittelwerten von Temperatur und Feuchte beruht:

${\displaystyle t(h)<9{,}1\,^{\circ }\mathrm {C}$ :{\tilde {E}}=5{,}6402\cdot (-0{,}0916+\mathrm {e} ^{0{,}06\cdot t(h)})}

${\displaystyle t(h)\geq 9{,}1\,^{\circ }\mathrm {C}$ :{\tilde {E}}=18{,}2194\cdot (1{,}0463-\mathrm {e} ^{-0{,}0666\cdot t(h)})}

Barometrische Höhenmessung

Die Höhenabhängigkeit des Luftdrucks kann auch zur Höhenmessung verwendet werden. Barometrische Höhenmessungen sind schnell und relativ einfach durchzuführen, in ihrer Genauigkeit jedoch begrenzt. Ein für die Höhenbestimmung ausgelegtes Barometer bezeichnet man als Höhenmesser oder Altimeter. Die Vorgehensweise richtet sich nach Verwendungszweck und Genauigkeitsansprüchen. Anwendung findet das Verfahren unter anderem beim Wandern und mit etwas höheren Genauigkeitsansprüchen in der Landvermessung.