Filter in Verbänden

Während diese Definition von Filter die allgemeinste für beliebige quasi- oder halbgeordnete Mengen ist, wurden Filter ursprünglich für Verbände definiert. In diesem Spezialfall ist ein Filter eine nichtleere Teilmenge ${\displaystyle F}$ des Verbandes ${\displaystyle (P,\leq )}$, die eine Oberhalb-Menge ist und abgeschlossen unter endlichen Infima, d. h. für alle ${\displaystyle x,y\in F}$ ist auch ${\displaystyle x\wedge y\in F}$.

Hauptfilter

Der kleinste Filter, der ein vorgegebenes Element ${\displaystyle p}$ enthält, ist ${\displaystyle \{x\in P\mid p\leq x\}}$. Filter dieser Form heißen Hauptfilter, und ${\displaystyle p}$ ein Hauptelement des Filters. Der zu ${\displaystyle p}$ gehörende Hauptfilter wird als ${\displaystyle \operatorname {\uparrow } p}$ geschrieben.

Primfilter

Ein echter Filter ${\displaystyle F}$ in einem Verband ${\displaystyle P}$ mit der Zusatzeigenschaft

${\displaystyle a\vee b\in F\iff (a\in F\;\mathrm {oder} \;b\in F)}$

heißt Primfilter.

Ideale

Der zum Filter duale Begriff ist der des Ideals: Ein Ideal (auch Ordnungsideal) ist eine gerichtete Unter-Halbmenge in einer Quasi- oder Halbordnung.

Betrachtet man in einer halbgeordneten Menge ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=(P,\leq )}$ die Umkehrrelation ${\displaystyle \leq ^{-1}={\geq }}$, so ist auch ${\displaystyle (P,\geq )}$ wieder eine halbgeordnete Menge. Die so durch Dualisierung entstehende Struktur als ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{\text{opp}}=(P,\geq )}$ notiert.

Ein Filter in ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{\text{opp}}}$ ist ein Ideal in ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ und umgekehrt.

Ebenso erhält man aus einem (distributiven) Verband ${\displaystyle (P,\vee ,\wedge )}$ durch Vertauschen der beiden Verbandsverknüpfungen Supremum ${\displaystyle \vee }$ und Infimum ${\displaystyle \wedge }$ wieder einen (distributiven) Verband. Sind in ${\displaystyle P}$ ein kleinstes Element 0 und ein größtes Element 1 vorhanden, so werden sie ebenfalls vertauscht.

Teilbarkeit

In ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid )}$, dem beschränkten Verband der natürlichen Zahlen unter Teilbarkeit, ist für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ die Teilermenge ${\displaystyle T_{n}}$ von ${\displaystyle n}$ ein Ideal. ${\displaystyle T_{n}\!\!\setminus \!\{n\}}$ ist genau dann ein Ideal, wenn ${\displaystyle n=0}$.

Nullstrahlen

Wir betrachten in der sogenannten punktierten komplexen Ebene ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }:=\mathbb {C} {\setminus }\{0\}}$ die Teilmengen ${\displaystyle s_{\alpha }=\{z\in \mathbb {C} ^{\times }\mid \operatorname {Arg} (z)=\alpha \},}$ für ${\displaystyle 0\leq \alpha <2\pi ,}$ der (offenen) Strahlen aus der Null (kurz: Nullstrahlen). Auf ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ definieren wir nun eine Halbordnung ${\displaystyle \trianglelefteq }$, indem wir ${\displaystyle z_{1}\in \mathbb {C} ^{\times }}$ als kleiner-gleich ${\displaystyle z_{2}\in \mathbb {C} ^{\times }}$ betrachten, falls ${\displaystyle z_{1}}$ und ${\displaystyle z_{2}}$ auf demselben Strahl liegen und ${\displaystyle z_{1}}$ betraglich kleiner-gleich ${\displaystyle z_{2}}$ ist. D. h.

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}\trianglelefteq z_{2}&:\Leftrightarrow &\operatorname {Arg} (z_{1})=\operatorname {Arg} (z_{2})&\ \ \mathrm {und} &\left|z_{1}\right|\leq \left|z_{2}\right|\end{aligned}}}$

für ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} ^{\times }}$.

In der halbgeordneten Menge ${\displaystyle \left(\mathbb {C} ^{\times },\trianglelefteq \right)}$ sind nun alle Filter gegeben durch die Nullstrahlen und deren offene und abgeschlossene Teilstrahlen

${\displaystyle s(z):=\{z'\in \mathbb {C} ^{\times }\mid z\trianglelefteq z',z\neq z'\}\subset {\bar {s}}(z):=\{z'\in \mathbb {C} ^{\times }\mid z\trianglelefteq z'\}\subset s_{\alpha }}$

für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{\times }}$ mit ${\displaystyle \alpha =\operatorname {Arg} (z).}$ Jeder dieser Filter ist echt. Außerdem folgt aus ${\displaystyle z_{1}\trianglelefteq z_{2}}$, dass ${\displaystyle {\bar {s}}(z_{1})}$ feiner ${\displaystyle s(z_{1})}$ feiner ${\displaystyle {\bar {s}}(z_{2})}$ feiner ${\displaystyle s(z_{2})}$; insbesondere ist ${\displaystyle s_{\alpha }\ (0\leq \alpha <2\pi )}$ ein maximal-feiner echter Filter und damit ein Ultrafilter. Für jede komplexe Zahl ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{\times }}$ ist der abgeschlossene Strahl ${\displaystyle {\bar {s}}(z)}$ ihr Hauptfilter ${\displaystyle \operatorname {\uparrow } z}$ mit ${\displaystyle z}$ als (einzigem) Hauptelement.

Die Ordnungsideale in ${\displaystyle \left(\mathbb {C} ^{\times },\trianglelefteq \right)}$ entsprechen den fehlenden Strahlenabschnitten zwischen der Null und dem Beginn jedes Teilstrahls. Ist der Teilstrahl offen, enthält er also nicht seinen Aufpunkt, so fehlt auch im entsprechenden Ordnungsideal der Aufpunkt – analog ist er im abgeschlossenen Fall in Teilstrahl und Ideal jeweils enthalten. (Filter und Ordnungsideal sind also nicht disjunkt!) Aus dem Nullstrahl ergibt sich kein entsprechendes Ordnungsideal, da der „fehlende“ Strahlenabschnitt durch die leere Menge gegeben wäre (die kein Filter sein kann). Die Ideale haben also die Form:

${\displaystyle s^{{-}1}(z)=(s_{\alpha }{\setminus }s(z))\setminus \{z\}=\{z'\in \mathbb {C} ^{\times }\mid z\trianglerighteq z',z\neq z'\}}$ und

${\displaystyle {\bar {s}}^{{-}1}(z)=(s_{\alpha }{\setminus }{\bar {s}}(z))\cup \{z\}=\{z'\in \mathbb {C} ^{\times }\mid z\trianglerighteq z'\}}$

für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{\times }}$ und ${\displaystyle \alpha =\operatorname {Arg} (z)}$.

Definition

Ein wichtiger Spezialfall eines Filters – vor allem in der Topologie – sind Mengenfilter. Man geht in diesem Fall von der durch die Mengeninklusion halbgeordneten Potenzmenge ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(X),\subseteq \right)}$ einer beliebigen nichtleeren Menge ${\displaystyle X}$ aus. Eine echte Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$ ist genau dann ein Mengenfilter oder Filter, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. ${\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$,
2. ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {F}}\ \Rightarrow \ F\cap G\in {\mathcal {F}}}$,
3. ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}},\;G\supset F\ \Rightarrow \ G\in {\mathcal {F}}}$.

Ein Mengenfilter, für den gilt

${\displaystyle F\subseteq X\Rightarrow F\in {\mathcal {F}}\lor X\!\setminus \!{F}\in {\mathcal {F}}}$,

der also zu jeder Teilmenge diese selber oder ihr Komplement enthält, heißt Ultrafilter auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Diese Definitionen stimmen mit den oben gegebenen für echte Filter in Verbänden überein, da die Potenzmenge von ${\displaystyle X}$ einen Verband bildet.

Beispiele für Mengenfilter

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{C}:=\{M\subseteq X\mid C\subseteq M\}}$ heißt der von ${\displaystyle C\subseteq X}$ erzeugte Hauptfilter.
• Ist ${\displaystyle (X,\tau )}$ ein topologischer Raum mit Topologie ${\displaystyle \tau }$, dann heißt ${\displaystyle {\mathcal {U}}(x):=\left\{U\subseteq X\mid \exists O\in \tau \colon O\subseteq U\land x\in O\right\}}$ Umgebungsfilter von ${\displaystyle x}$.
• Ist ${\displaystyle S}$ eine unendliche Menge, dann heißt ${\displaystyle \{M\subseteq S\mid S\setminus M{\text{ endlich}}\}}$ Fréchet-Filter der Menge ${\displaystyle S}$.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ein nichtleeres Mengensystem von ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ mit folgenden Eigenschaften
  1. ${\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {B}}}$ und
  2. ${\displaystyle \forall B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}\ \exists B_{3}\in {\mathcal {B}}\colon B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$,

so heißt ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ Filterbasis in ${\displaystyle X}$. Ein solches Mengensystem erzeugt auf natürliche Weise einen Filter

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}:=\langle {\mathcal {B}}\rangle$ :=\left\{M\subseteq X\mid \exists B\in {\mathcal {B}}\colon B\subseteq M\right\}}

Dieser heißt der von ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ erzeugte Filter.

• Ist ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ eine Abbildung zwischen zwei nichtleeren Mengen und ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ein Filter auf ${\displaystyle X}$, so bezeichnet ${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$ den von der Filterbasis ${\displaystyle \{B\subseteq Y\mid \exists F\in {\mathcal {F}}\colon f(F)=B\}}$ erzeugten Filter. Dieser heißt Bildfilter von ${\displaystyle f}$.

Anwendungen in der Topologie

In der Topologie ersetzen Filter und Netze die dort für eine befriedigende Konvergenztheorie unzureichenden Folgen. Insbesondere die Filter als sich verengende Mengensysteme haben sich hier als gut geeignet zur Konvergenzmessung erwiesen. Man erhält auf diesem Wege oft analoge Sätze zu Sätzen über Folgen in metrischen Räumen.

Ist ${\displaystyle (X,\tau )}$ ein topologischer Raum, heißt ein Filter ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ genau dann konvergent gegen ein ${\displaystyle x\in X}$, wenn ${\displaystyle {\mathcal {U}}(x)\subseteq {\mathcal {F}}}$, d. h., wenn ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ feiner ist als der Umgebungsfilter ${\displaystyle {\mathcal {U}}(x)}$ von ${\displaystyle x}$, d. h. alle (es genügen offene) Umgebungen von ${\displaystyle x}$ enthält. Schreibweise: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\rightarrow x.}$ Von der Verfeinerung von Zerlegungen spricht man besonders im Zusammenhang mit Integrationstheorien.

So ist zum Beispiel eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn für jeden Filter ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {F}}\rightarrow x}$ gilt, dass ${\displaystyle f({\mathcal {F}})\rightarrow f(x)}$.

In einem nicht-hausdorffschen Raum kann ein Filter gegen mehrere Punkte konvergieren. Hausdorff-Räume lassen sich sogar gerade dadurch charakterisieren, dass in ihnen kein Filter existiert, welcher gegen zwei verschiedene Punkte konvergiert.