In der algebraischen Geometrie, insbesondere der Theorie der Schemata, ist ein flacher Morphismus ein Morphismus ${\displaystyle f:X\to Y}$ von Schemata, sodass für jeden Punkt ${\displaystyle x\in X}$ der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$ flach ist.

Flache Morphismen werden häufig verwendet, um geometrische Objekte in Familien zu setzen. Beispiele hierfür sind Hilbert-Schemata, reduktive Gruppenschemata und abelsche Schemata.

Formale Definition

Ein Morphismus von Schemata ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ heißt flach, falls für jeden Punkt ${\displaystyle x\in X}$ der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$ flach ist. Das heißt, dass ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ein flacher ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$-Modul ist.

Für einen Morphismus von Schemata ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

• ${\displaystyle f}$ ist flach im Sinne der in diesem Abschnitt gegebenen Definition.
• Für jede affine offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ und jede affine offene Teilmenge ${\displaystyle V\subseteq Y}$ mit ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$ ist der ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$-Modul ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ flach.
• Es gibt eine offene Überdeckung ${\displaystyle Y=\bigcup \nolimits _{j\in J}V_{j}}$ und offene Überdeckungen ${\displaystyle V_{j}=\bigcup \nolimits _{i\in I_{j}}U_{i}}$, sodass jede Einschränkung ${\displaystyle f|_{U_{i}}:U_{i}\to V_{j}}$ für ${\displaystyle j\in J,i\in I_{j}}$ flach im Sinne obiger Definition ist.
• Es gibt eine affine offene Überdeckung ${\displaystyle Y=\bigcup \nolimits _{j\in J}V_{j}}$ und affine offene Überdeckungen ${\displaystyle V_{j}=\bigcup \nolimits _{i\in I_{j}}U_{i}}$, sodass jeder Ringhomomorphismus ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V_{j})\to {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}$ für ${\displaystyle j\in J,i\in I_{j}}$ flach ist.

Eigenschaften

• Die Komposition zweier flacher Morphismen von Schemata ist flach.
• Ist ${\displaystyle f:X\to Y}$ ein flacher Morphismus von Schemata und ${\displaystyle g:Z\to Y}$ ein beliebiger Morphismus, so ist der Basiswechsel ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ flach.

Beispiele

• Ist ${\displaystyle B\to A}$ ein flacher Ringhomomorphismus, so ist der induzierte Homomorphismus affiner Schemata ${\displaystyle X:=\mathrm {Spec} (A)\to Y:=\mathrm {Spec} (B)}$ flach.
• Der Strukturmorphismus des affinen Raums ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}$ und des projektiven Raums ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}$ ist flach.
• ${\displaystyle \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}$ für ${\displaystyle n\geq 2}$ ist nicht flach, da ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ kein torsionsfreier ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul ist.

Einzelnachweise

1. ↑ 01U5
2. ↑ 01U7
3. ↑ 01U9