Elementare Unschärfe von Objekten

Es wird von einer Unschärfe jedes Einzelobjektes ausgegangen, über die explizite Information im Allgemeinen nicht vorliegt und eine unsymmetrische Zugehörigkeitsfunktion nicht gerechtfertigt ist. Daher werden der Einfachheit halber die Parameter der elementaren Zugehörigkeitsfunktion für die rechte und linke Seite gleichgesetzt und nach Bocklisch die folgenden Parameterwerte angenommen: b= 0,5 d= 2 c_e wird als elementare Unschärfe bezeichnet. Sie kann durch Expertenschätzung vorgegeben oder aus einer Fehlerabschätzung von Messwerten gewonnen werden. Die elementare Zugehörigkeitsfunktion hat die Form:

${\displaystyle \mu _{e}(x1)={\frac {1}{1+\left({\frac {x1-x1_{0}}{c_{e}}}\right)^{2}}}}$.

Die elementare Unschärfe wird global für jede Merkmalsachse festgelegt und ist damit für alle Objekte definiert. Sie ist als steuernder Parameter für die Form und Ausdehnung der Klasse verantwortlich und hat einen großen Einfluss auf fast alle Parameter der unscharfen Beschreibung einer Klasse. Ihre Wirkung ist vergleichbar mit derjenigen der Bandbreite h bei der Kerndichteschätzung. Bei der Beschreibung von rotatorisch angepassten Klassen, ist auf eine merkmalsweise Anpassung der elementaren Unschärfe zu achten.

Eindimensionale Klassenbeschreibung

Für die Beschreibung von Klassenzugehörigkeitsfunktionen für die Klasse KL aus Objekten x1_i mit elementarer Unschärfe und einem Merkmal x1 im eindimensionalen Merkmalsraum ${\displaystyle \mathbb {R{\mathsf {^{1}}}} }$ benutzt die Fuzzy-Pattern-Klassifikation einen heuristischen Ansatz.

Der Parameter x1₀ kann aus den Schwerpunkten der Objekte x1_i berechnet werden:

${\displaystyle x1_{0}^{KL}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x1_{i}}$.

Der Parameter b^KL bestimmt den Zugehörigkeitswert an der scharfen Grenze der Klasse x₀^KL-c^KL. Um eine höhere Flexibilität bei der Anpassung der Klassenzugehörigkeitsfunktion an die Verteilung der Lernobjekte zu erreichen kann die Aizermansche Potentialfunktion in zwei Abschnitte geteilt werden, für die getrennt die Parameter b_l^KL und b_r^KL berechnet werden. Zur Berechnung werden jeweils links- und rechtsseitig die Flächen der elementaren Zugehörigkeitsfunktionen disjunktiv verknüpft (aggregiert) und anschließend normiert.

Die Parameter c_l^KL und c_r^KL können als Lage der Randobjekte aller Lernobjekte für die Klasse KL aufgefasst werden:

${\displaystyle c_{l}^{KL}=x1_{0}^{KL}-\min(x_{i}^{KL})-c_{e}}$

${\displaystyle c_{r}^{KL}=x1_{0}^{KL}+\max(x_{i}^{KL})+c_{e}}$.

Der Parameter d soll die Verteilung der zur Klasse gehörenden Objekte widerspiegeln. Er bestimmt die Form der Zugehörigkeitsfunktion. Es gilt für ${\displaystyle d}$:

${\displaystyle d_{l,r}^{KL}\geqq 2}$; vorzugsweise ganzzahlig.

Für eine scharfe Klasse (Menge) gilt theoretisch d=∞. Praktisch wird mit etwa d=20 eine scharfe Abgrenzung der Klasse erreicht.

Der Parameter d kann durch einen Experten (Lehrer) vorgegeben werden. Bocklisch beschreibt einen Algorithmus, um d aus den Stufensprüngen der Objekte zu berechnen:

${\displaystyle q_{1}={\frac {x1_{3}-x1_{2}}{x1_{2}-x1_{1}}};\dots ;q_{i-2}={\frac {x1_{i}-x1{}_{i-1}}{x1_{i-1}-x1_{i-2}}}}$.

${\displaystyle {\bar {q}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n-2}q_{i}}$.

${\displaystyle d={\begin{cases}20&{\bar {q}}\leqq 1\\18\exp(-3({\bar {q}}-1))+2&{\bar {q}}>1\end{cases}}}$.

Mehrdimensionale Klassenbeschreibung

Mehrdimensionale Zugehörigkeitsfunktionen im Merkmalsraum ${\displaystyle \mathbb {R{\mathsf {^{n}}}} }$ nach dem parametrischen Konzept der Fuzzy-Pattern-Klassifikation werden durch n eindimensionale Zugehörigkeitsfunktionen mit jeweils n Parametern und einer anschließenden logischen Verknüpfung beschrieben. Als logische Verknüpfung wird die Hamacher t-Norm angewendet.

Ausgegangen wird von n eindimensionalen Zugehörigkeitsfunktionen der Form<>:

${\displaystyle \mu _{i}^{KL}(x_{i})={\frac {1}{1+P_{i}}}}$, wobei ${\displaystyle P_{i}}$ der Parameterterm der Aizermanschen Potentialfunktion ist:

${\displaystyle P_{i}=\left({\frac {1}{b_{i}^{lr}}}-1\right)\left({\frac {|x_{i}-x_{0i}|}{c_{i}^{lr}}}\right)^{di_{i}^{lr}}}$. Nach der Anwendung der logischen Verknüpfung mit der Hamacher-t-Norm:

${\displaystyle T(a,b)={\frac {ab}{a+b-ab}}}$ erhält man für n Zugehörigkeitsfunktionen nach Vereinfachung der Ausdrücke die Darstellung:

${\displaystyle \mu ^{KL}(x,b^{lr},c^{lr},d^{lr})={\frac {1}{1+{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}}}(1+\operatorname {sgn}(x_{0i}-x_{i}))\left({\frac {1}{b_{i}^{l}}}-1\right)\left({\frac {|x_{0i}-x_{i}|}{c_{i}^{l}}}\right)^{d_{i}^{l}}+{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}}}(1+\operatorname {sgn}(x_{i}-x_{0i}))\left({\frac {1}{b_{i}^{r}}}-1\right)\left({\frac {|x_{0i}-x_{i}|}{c_{i}^{r}}}\right)^{d_{i}^{r}}}}}$.

Es ergibt sich aus der beschriebenen Verknüpfung der Nachteil, dass mit wachsender Dimension die Zugehörigkeiten < 1 gegen 0 konvergieren. Das kann vermieden werden, indem über die ${\displaystyle P_{i}}$ das arithmetische Mittel gebildet wird. Daraus ergibt sich für die n-dimensionale Zugehörigkeitsfunktion:

${\displaystyle \mu ^{KL}(x_{0},b^{lr},c^{lr},d^{lr})={\frac {1}{1+{\frac {1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}}\left({\frac {1}{b_{i}^{l,r}}}-1\right)\left({\frac {|x_{i}-x_{0i}|}{c_{i}^{l,r}}}\right)^{di_{i}^{l,r}}}}}$.

Eine ausführliche Diskussion der Parameterberechnung für die Klassenzugehörigkeitsfunktion findet man bei Päßler.

Klassenraum

Der Merkmalsraum wird durch die Merkmale (${\displaystyle x_{1}^{KL}\dots x_{n}^{KL}}$) aufgespannt. Es ist vorteilhaft, vor der unscharfen Beschreibung der Klassen eine Koordinatentransformation aller zu einer Klasse gehörenden Objekte durchzuführen, um eine bessere Anpassung der unscharfen Klasse an die vorliegende Datenstruktur zu erhalten. Es entstehen klassenspezifische Unterräume, die als Klassenräume bezeichnet werden. Jeder Klassenraum wird durch ein n-dimensionales klassenspezifisches Achsensystem (${\displaystyle u_{1}^{KL}\dots u_{n}^{KL}}$) aufgespannt, das gegenüber dem Ursprung des Merkmalsraumes verschoben und in den meisten Fällen im Merkmalsraum gedreht ist (${\displaystyle u_{1}^{'KL}\dots u_{n}^{'KL}}$). Der Ursprung des Klassenraumes KL liegt in seinem Repräsentanten ${\displaystyle u_{0}^{KL}}$ – dem Schwerpunkt der die Klasse konstituierenden Objekte. Für rotatorische Anpassung wird das orthogonale Klassensystem in Richtung der Hauptschwereachse gedreht. Als zusätzliche Parameter für die Klassenbeschreibung in n Dimensionen dienen ${\displaystyle n-1}$ Drehwinkel φ_i+1.