Die Gelfand-Transformation (nach Israel Gelfand) ist das wichtigste Instrument in der Theorie der kommutativen Banach-Algebren. Sie bildet eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra A in eine Algebra stetiger Funktionen ab. Jedem ${\displaystyle a}$ aus ${\displaystyle A}$ wird eine stetige Funktion ${\displaystyle {\hat {a}}\colon X\to {\mathbb {C} }}$ zugeordnet, wobei ${\displaystyle X}$ ein geeigneter lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Die Zuordnung ${\displaystyle a\mapsto {\hat {a}}}$ ist dabei ein stetiger Algebren-Homomorphismus.

Motivation, Gelfand-Raum

Betrachtet man eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra ${\displaystyle A}$ nur als normierten Raum mit Dualraum ${\displaystyle A'}$ und Bidualraum ${\displaystyle A''=(A')'}$, so lassen sich die Elemente von ${\displaystyle A}$ folgendermaßen auf stetige Funktionen abbilden: Man ordne jedem ${\displaystyle a}$ die Funktion ${\displaystyle {\hat {a}}\colon A'\rightarrow {\mathbb {C} },{\hat {a}}(\varphi ):=\varphi (a)}$ zu. Dabei handelt es sich um die bekannte isometrische Einbettung von ${\displaystyle A}$ in den Bidualraum, denn jedes ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ist ein Element aus ${\displaystyle A''}$. Jedes ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ist auch stetig. Dabei erweist sich die Normtopologie als unnötig stark. Aus diesem Grunde betrachtet man auf ${\displaystyle A'}$ die schwach-*-Topologie, diese ist gerade definiert als die gröbste Topologie, die alle Abbildungen ${\displaystyle {\hat {a}}}$ stetig macht.

Wenden wir uns wieder der Algebra ${\displaystyle A}$ zu, so müssen wir feststellen, dass die Zuordnung ${\displaystyle a\mapsto {\hat {a}}}$ kein Homomorphismus ist; sie ist nicht multiplikativ, d. h. es gilt nicht ${\displaystyle {\widehat {ab}}={\hat {a}}{\hat {b}}}$. Dazu müsste nämlich ${\displaystyle {\widehat {ab}}(\varphi )={\hat {a}}(\varphi ){\hat {b}}(\varphi )}$ und damit ${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}$ für alle ${\displaystyle \varphi \in A'}$ gelten, aber ein lineares Funktional ist in der Regel nicht multiplikativ. Diese Beobachtung gibt aber einen Hinweis, wie man einen Homomorphismus der gewünschten Art konstruieren kann. Man verwendet statt ganz ${\displaystyle A'}$ nur die multiplikativen Funktionale in ${\displaystyle A'}$, und genau das ist die Gelfand-Transformation.

Wir setzen daher ${\displaystyle X_{A}:=\{\varphi \in A';\varphi \,{\text{multiplikativ}},\varphi \not =0\}}$. Diese Menge nennt man das Spektrum (Gelfand-Spektrum) von ${\displaystyle A}$ oder auch den Gelfand-Raum von ${\displaystyle A}$. Man beachte, dass der Nullhomomorphismus herausgenommen wurde. Es gibt Banach-Algebren mit leerem Spektrum, z. B. eine Banachalgebra ${\displaystyle A}$ mit der Nullmultiplikation, d. h. ${\displaystyle a\cdot b=0}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A}$. Ist aber ${\displaystyle X_{A}\not =\emptyset }$, so kann man zeigen, dass ${\displaystyle X_{A}}$ mit der relativen schwach-*-Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Nach obigen Ausführungen ist

${\displaystyle {\mathcal {G}}:A\rightarrow C_{0}(X_{A}),\,a\mapsto {\hat {a}},\,{\hat {a}}(\varphi )=\varphi (a)}$

ein stetiger Homomorphismus mit Norm ${\displaystyle \leq 1}$. ${\displaystyle C_{0}(X_{A})}$ ist dabei die Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf ${\displaystyle X_{A}}$, die im Unendlichen verschwinden. Dieser Homomorphismus heißt Gelfand-Transformation, ${\displaystyle {\hat {a}}}$ nennt man die Gelfand-Transformierte von ${\displaystyle a}$.

Beispiel C₀(Z)

Sei Z ein lokalkompakter Hausdorffraum und ${\displaystyle A=C_{0}(Z)}$, so ist A bereits eine Algebra von der Art, auf die die Gelfand-Transformation abbildet. Um die Gelfand-Transformation für diesen Fall zu bestimmen, müssen wir uns einen Überblick über die multiplikativen Funktionale auf ${\displaystyle A}$ verschaffen. Ist ${\displaystyle z\in Z}$, so ist die Punktauswertung ${\displaystyle \delta _{z}:A\rightarrow {\mathbb {C} },\,\delta _{z}(f):=f(z)}$ offenbar ein multiplikatives Funktional, und man kann zeigen, dass dies bereits alle sind, d. h., dass ${\displaystyle X_{A}=\{\delta _{z};z\in Z\}}$ gilt. Z kann also mittels der Abbildung ${\displaystyle z\mapsto \delta _{z}}$ mit ${\displaystyle X_{A}}$ identifiziert werden, zumindest als Menge. Man kann zeigen, dass diese Abbildung sogar ein Homöomorphismus ist, so dass man Z und ${\displaystyle X_{A}}$ auch als topologische Räume identifizieren kann. In diesem Fall ist also ${\displaystyle {\mathcal {G}}:A\rightarrow C_{0}(X_{A})=C_{0}(Z)}$ nichts weiter als die Identität. Für ${\displaystyle A=C_{0}(Z)}$ bietet die Gelfand-Transformation nichts Neues.

Beispiel L¹(ℝ)

Der Banachraum ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} )}$ ist mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra. Für ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ gilt dabei

${\displaystyle f*g(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(s)g(t-s)\mathrm {d} s}$

${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(s)|\mathrm {d} s}$

Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf ${\displaystyle A}$ aus? Die Punktauswertungen des ${\displaystyle C_{0}(Z)}$-Beispiels kommen nicht in Frage, denn für ${\displaystyle L^{1}}$-Funktionen ist der Funktionswert an einer Stelle gar nicht definiert. Man kann zeigen, dass für ${\displaystyle z\in {\mathbb {R} }}$ durch

${\displaystyle \varphi _{z}(f):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-itz}\mathrm {d} t}$

ein multiplikatives Funktional auf ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} )}$ erklärt ist, und dass umgekehrt jedes multiplikative Funktional von dieser Form ist. Es gilt also ${\displaystyle X_{A}=\{\varphi _{z};z\in \mathbb {R} \}}$ und man kann weiter zeigen, dass die Abbildung ${\displaystyle z\mapsto \varphi _{z}}$ ein Homöomorphismus von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ auf ${\displaystyle X_{A}}$ ist. Identifiziert man daher ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$ und ${\displaystyle X_{A}}$ mittels dieser Abbildung, so hat die Gelfand-Transformation die Gestalt:

${\displaystyle {\mathcal {G}}:L^{1}(\mathbb {R} )\rightarrow C_{0}(\mathbb {R} ),\,f\mapsto {\hat {f}},\,{\hat {f}}(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-itz}\mathrm {d} t}$.

Die Gelfand-Transformation erweist sich damit als eine Abstraktion der Fourier-Transformation.

Beispiel 'holomorphe Fortsetzung'

Es sei ${\displaystyle Z}$ die Kreislinie ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ ;|z|=1\}} . Dann ist ${\displaystyle C_{0}(Z)}$ eine kommutative Banachalgebra mit 1. Sei ${\displaystyle A}$ die Diskalgebra, das heißt die Unteralgebra aller Funktionen, die eine holomorphe Fortsetzung ins Innere ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ ;|z|<1\}} besitzen. Mit ein wenig Funktionentheorie (Maximumprinzip) zeigt man, dass ${\displaystyle A}$ eine Unter-Banachalgebra von ${\displaystyle C_{0}(Z)}$ ist. Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf ${\displaystyle A}$ aus? Zunächst sind die Punktauswertungen ${\displaystyle \delta _{z},|z|=1}$, die ja schon multiplikative Funktionale auf ${\displaystyle C_{0}(Z)}$ sind, natürlich auch multiplikative Funktionale auf ${\displaystyle A}$. Es gibt aber weitere. Da die holomorphe Fortsetzung einer Funktion ins Innere eindeutig ist, sind auch alle Punktauswertungen ${\displaystyle \delta _{z},|z|<1}$, multiplikative Funktionale auf ${\displaystyle A}$. Man zeigt, dass ${\displaystyle X_{A}=\{\delta _{z};|z|\leq 1\}}$ und dass man ${\displaystyle X_{A}}$ mittels ${\displaystyle z\mapsto \delta _{z}}$ auch topologisch mit der Kreisfläche ${\displaystyle K=\{z\in \mathbb {C}$ ;|z|\leq 1\}} identifizieren kann. In diesem Beispiel ist daher

${\displaystyle {\mathcal {G}}\colon A\rightarrow C_{0}(K),\,f\mapsto {\hat {f}},\,{\hat {f}}=}$ holomorphe Fortsetzung von ${\displaystyle f}$,

d. h. die Gelfand-Transformation spielt hier die Rolle eines Fortsetzungsoperators.

Bedeutung

Ist ${\displaystyle A}$ eine kommutative C*-Algebra, so ist die Gelfand-Transformation der isometrische Isomorphismus aus dem Satz von Gelfand-Neumark für kommutative C*-Algebren. Das ist der Ausgangspunkt der Spektraltheorie.

Das ${\displaystyle L^{1}({\mathbb {R} })}$-Beispiel verallgemeinert sich auf lokalkompakte, abelsche Gruppen ${\displaystyle G}$. Der Gelfand-Raum von ${\displaystyle L^{1}(G)}$ wird mit ${\displaystyle {\hat {G}}}$ bezeichnet und kann wieder mit einer Gruppenstruktur versehen werden. Man nennt ${\displaystyle {\hat {G}}}$ dann die Dualgruppe von ${\displaystyle G}$. Das ist ein Ausgangspunkt der abstrakten harmonischen Analyse.

Die Stone-Čech-Kompaktifizierung eines vollständig regulären Hausdorffraums ${\displaystyle X}$ kann als Anwendung der Gelfand-Transformation auf die kommutative C*-Algebra ${\displaystyle C_{b}(X)}$ der stetigen und beschränkten Funktionen auf ${\displaystyle X}$ erhalten werden.

Der Kern der Gelfand-Transformation ist im Falle einer kommutativen Banachalgebra das Jacobson-Radikal, insbesondere ist das Jacobson-Radikal stets abgeschlossen. Hier zeigt sich wieder, wie algebraische und topologische Begriffe in der Theorie der Banachalgebren ineinandergreifen.

Literatur

• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
• M. Takesaki: Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)