Ellipsoidische Höhen

Geometrisch definierte Höhen werden heute als ellipsoidische Höhe h bezeichnet. Sie geben den Abstand eines Punktes von einem geodynamisch definierten Referenzellipsoid entlang der Ellipsoidnormalen an. Zwei Punkte gleicher ellipsoidischer Höhe liegen jedoch nicht auf derselben Äquipotentialfläche, so dass zwischen ihnen Wasser fließen kann.

Ellipsoidische Höhen können direkt mittels GPS bestimmt werden. Eine einfache Umrechnung von nivellierten in ellipsoidische Höhen ohne Kenntnis der Schwerestörungen ist nicht möglich. Alternativ können ellipsoidische Höhen durch Anlegen eines Raumpolygonzuges bestimmt werden.

Geopotentielle Koten

Eine Geopotentielle Kote C ist die negative Schwerepotentialdifferenz eines Oberflächenpunktes der Erde zum Geoid. Punkte mit einer gleichen geopotentiellen Kote bilden eine Äquipotentialfläche.

${\displaystyle C=W_{0}-W_{P}=-\int _{P_{0}}^{P}{\vec {g}}\ \mathrm {d} {\vec {s}}}$

Da es sich um eine Schwerepotentialdifferenz handelt, ist die SI-Einheit Joule pro Kilogramm (J/kg) bzw. (m²/s²). Zum Teil werden auch geopotential units (gpu) als Einheit verwendet (1 gpu = 10 J/kg). Früher wurden geopotentielle Koten auch in der Einheit geopotentieller Meter (gpm) und davon abgeleitet geopotentieller Dekameter (gpdm) angegeben. 1 gpm = 10 gpdm entspricht 9,80665 J/kg. Der Betrag entspricht dem der dynamischen Höhe. Geopotentielle Koten können aus nivellierten Höhenunterschieden ${\displaystyle \Delta n}$ und Schweremessungen ${\displaystyle g}$ bestimmt werden.

${\displaystyle \Delta C=\int _{1}^{2}g\ \mathrm {d} n}$

bzw.

${\displaystyle \Delta C=\sum _{i}g_{i}\cdot \Delta n_{i}}$

Dynamische Höhen

Dynamische Höhen H_Dyn werden aus den Geopotentiellen Koten in der Regel mit der Normalschwere auf Meeresniveau bei 45° Breite ${\displaystyle \gamma _{0}^{45}}$ in die Dimension Meter umgerechnet. Sie drücken den Abstand aus, den die Äquipotentialflächen bei ${\displaystyle \gamma _{0}^{45}}$ hätten. Der tatsächliche (metrische) Abstand variiert allerdings aufgrund der geringeren Schwerebeschleunigung am Äquator gegenüber den Polen um etwa ${\displaystyle 5/1000}$.

${\displaystyle H_{\text{Dyn}}={\frac {C}{\gamma _{0}^{45}}}}$ mit ${\displaystyle \gamma _{0}^{45}=9{,}80665\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$

Dynamische Höhen sind wegen der großen dynamischen Korrektionen für die geodätische Praxis unbrauchbar. Sie ergeben sich aber direkt durch eine Umskalierung der geopotentiellen Kote. Bedeutung haben sie in der synoptischen Meteorologie und Atmosphärenforschung (Hauptdruckflächen).

Orthometrische Höhen

Die orthometrische Höhe H resultiert aus dem Abstand entlang der gekrümmten Lotlinie zwischen einem Punkt auf der Erdoberfläche und dem Geoid. Die geopotentiellen Koten werden mit der mittleren Schwerebeschleunigung ${\displaystyle {\bar {g}}}$ entlang der Lotlinie umgerechnet. Die Schwere kann im Erdinneren nicht gemessen werden, so dass sie nur durch Aufstellen einer Hypothese über die Masseverteilung berechnet werden kann. Orthometrische Höhen sind somit hypothesenbehaftet. Punkte gleicher orthometrischer Höhe liegen in der Regel nicht auf der gleichen Niveaufläche.

${\displaystyle H={\frac {C}{\bar {g}}}}$ mit ${\displaystyle {\bar {g}}={\frac {1}{H}}\int _{0}^{H}g\ \mathrm {d} H}$

Die Abweichung zwischen der ellipsoidischen und der orthometrischen Höhe wird Geoidundulation ${\displaystyle N}$ genannt. Sie beträgt global bis zu 100 m, innerhalb der Schweiz z. B. maximal 5 m.

${\displaystyle N=h-H}$

Normalhöhen

Normalhöhen ${\displaystyle H_{N}}$ beschreiben den Abstand eines Punktes entlang der leicht gekrümmten normalen Lotlinie (vgl. oberste Abb.) vom Quasigeoid. Sie wurden von dem sowjetischen Geophysiker Michail Sergejewitsch Molodenski entwickelt und sind – anders als orthometrische Höhen – hypothesenfrei bestimmbar:

${\displaystyle H_{N}={\frac {C}{\bar {\gamma }}}}$

Dabei wird für die Umrechnung der geopotentiellen Koten die mittlere Normalschwere ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$ benutzt:

${\displaystyle {\bar {\gamma }}={\frac {1}{H_{N}}}\int _{0}^{H_{N}}\gamma \,\mathrm {d} {H_{N}}}$

Die Abweichung zwischen der ellipsoidischen Höhe und der Normalhöhe wird Höhenanomalie oder Quasigeoidhöhe ${\displaystyle \zeta }$ genannt und beträgt in Deutschland zwischen 36 und 50 m:

${\displaystyle \zeta =h_{e}-H_{N}}$

Orthometrische und Normalhöhen unterscheiden sich wegen der Abweichung der tatsächlichen Schwere ${\displaystyle {\bar {g}}}$ von der Normalschwere ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$. Die Unterschiede können im Hochgebirge bis zu einem Meter oder mehr betragen, im Flachland liegen sie oft nur im Millimeterbereich; in den alten Bundesländern betragen sie −5 bis +4 cm.

Normal-orthometrische Höhen

Liegen keine Schweremessungen vor, kann die Schwerekorrektur der beobachteten Höhenunterschiede nur mit der Normalschwere durchgeführt werden. Die abgeleiteten Höhen nennt man dann normal-orthometrische Höhen oder sphäroidisch-orthometrische Höhen H_Sph. Die Abweichungen zu Normalhöhen fallen gering aus, da sich die Korrekturen nur wegen des kleinen Anteils des Oberflächenfreiluftgradienten unterscheiden.

${\displaystyle H_{\text{Sph}}={\frac {C^{*}}{\bar {\gamma }}}}$ mit ${\displaystyle C^{*}=\int _{0}^{1}\gamma \ \mathrm {d} n}$

Dynamische Korrektion

Durch dynamische Korrektion lassen sich die nivellierten Höhenunterschiede in dynamische Höhenunterschiede umrechnen.

${\displaystyle E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {g-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}\ \mathrm {d} n}$

Orthometrische Korrektion

Bei der orthometrischen Korrektion kommen zum streng bestimmbaren dynamischen Anteil zwei hypothesenbehaftete ortsabhänge Anteile.

${\displaystyle E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {g-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}\ \mathrm {d} n+{\frac {{\bar {g}}_{1}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{1}-{\frac {{\bar {g}}_{2}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{2}}$

Unter der Annahme der mittleren Erdkrustendichte von 2,67 g/cm³ gilt für die mittlere Schwere ${\displaystyle {\bar {g}}}$:

${\displaystyle {\bar {g}}=g+0{,}424\cdot 10^{-6}\,\mathrm {s} ^{-2}\,H}$

Normale Korrektion

Analog dazu können mit der normalen Korrektion Normalhöhenunterschiede berechnet werden. Hier werden anstelle der mittleren Schweren ${\displaystyle {\bar {g}}}$ die hypothesefreien mittleren Normalschweren ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$ verwendet.

${\displaystyle E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {g-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}\ \mathrm {d} n+{\frac {{\bar {\gamma }}_{1}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{1}-{\frac {{\bar {\gamma }}_{2}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{2}}$

Normal-orthometrische Korrektion

Bei der normal-orthometrischen Korrektion wird anstelle der gemessenen Schwere ${\displaystyle g}$ die Normalschwere ${\displaystyle \gamma }$ zur dynamischen Korrektion benutzt.

${\displaystyle E_{12}=\int _{1}^{2}{\frac {\gamma -\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}\ \mathrm {d} n+{\frac {{\bar {\gamma }}_{1}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{1}-{\frac {{\bar {\gamma }}_{2}-\gamma _{0}^{45}}{\gamma _{0}^{45}}}H_{2}}$