Reine Eichtheorie

Für die Diskretisierung der Yang-Mills-Wirkung, die die Dynamik der Eichbosonen beschreibt, definiert man Linkvariablen ${\displaystyle U_{\mu }}$, welche benachbarte Gitterpunkte verbinden (Englisch link):

${\displaystyle U_{\mu }=\exp \left(iaA_{\mu }\left(n+{\frac {\hat {\mu }}{2}}\right)\right).}$

Hierbei sind

• die Eichfelder ${\displaystyle A_{\mu }}$ Elemente der adjungierten Darstellung der Algebra der Eichgruppe der QCD, SU(3)
• die Linkvariablen ${\displaystyle U_{\mu }}$ Elemente der Eichgruppe, also SU(3)-Matrizen, die jeweils zwei benachbarte Gitterpunkte verbinden; im Sinne der Differentialgeometrie können sie als endlicher Paralleltransport aufgefasst werden.

Der Eichfeldanteil der Wirkung ${\displaystyle S}$ lässt sich nun als die Spur über geschlossene Schleifen von Linkvariablen darstellen. Jede Spur über solche Wilson-Loops ist eichinvariant. Eine einfache Eichwirkung kann daher geschrieben werden als:

${\displaystyle S_{G}[U]={\frac {2}{g^{2}}}\sum _{n\in \Lambda }\sum _{\mu <\nu }\operatorname {Re} \;\operatorname {tr} \left(1-U_{\mu \nu }^{(4)}(n)\right).}$

Hierbei sind die ${\displaystyle U_{\mu \nu }^{(4)}}$ (die Plaketten-Variablen) definiert als die zu kleinsten geschlossenen Rechteck-Schleifen gehörigen Größen:

${\displaystyle U_{\mu \nu }^{(4)}(n)=U_{+\mu }(n)U_{+\nu }(n+{\hat {\mu }})U_{-\mu }(n+{\hat {\mu }}+{\hat {\nu }})U_{-\nu }(n+{\hat {\nu }})\,,}$

analog zur Geometrie eines Quadrats, das z. B. bei positivem Umlaufsinn durch die vier Zahlen 1, 2, 3 und 4 indiziert wird.

Statt der Kopplungskonstante ${\displaystyle g}$ benutzt man häufig die inverse Eichkopplung ${\displaystyle \beta ={\frac {6}{g^{2}}}\,.}$

Da die Form der Wirkung nur durch den Kontinuumslimes ${\displaystyle a\rightarrow 0}$ festgelegt ist, ist die oben angegebene Eichwirkung, die Wilson- oder Plakett-Wirkung, nicht eindeutig, sondern kann modifiziert werden durch Terme, die im Kontinuumslimes verschwinden. Diese Beobachtung wird verwendet, um verbesserte Wirkungen mit einer schnelleren Kontinuumsannäherung zu konstruieren.

Fermionen auf dem Gitter

Während die Linkvariablen jeweils zwei Gitterpunkte verbinden, sind die Fermionfelder auf diesen Punkten definiert. Dadurch lassen sich eichinvariante Kombinationen der Form ${\displaystyle \psi (x)U_{\mu }(x)\psi (x+{\hat {\mu }})}$ mit ${\displaystyle x/a\in \Lambda }$ bilden, die als Bausteine der diskretisierten kovarianten Ableitung verwendet werden können.

Ersetzt man nun die Ableitungen in der Dirac-Wirkung durch endliche Differenzen, so erhält man eine naive Diskretisierung der Theorie, die nicht nur ein einzelnes Fermion beschreibt, sondern sechzehn (${\displaystyle 2^{d}}$ mit ${\displaystyle d=4}$ für die Anzahl der Dimensionen). Dieses Phänomen ist als Dopplerproblem bekannt und hängt zusammen mit der Realisierung der chiralen Symmetrie auf dem Gitter. In der Tat besagt das Nielsen-Ninomiya-Theorem, dass auf dem Gitter kein Dirac-Operator mit korrektem Kontinuumslimes gleichzeitig dopplerfrei, lokal, translationsinvariant und chiral-symmetrisch sein kann.

Um das Dopplerproblem physikalisch korrekt zu berücksichtigen, werden verschiedene Arten der Fermiondiskretisierung verwendet, die im Folgenden beschrieben werden.

Zusammenhang von physikalischen Größen mit Simulationsparametern

In einer Gitter-QCD-Simulation kann man eine Reihe von Parametern einstellen: die Anzahl der Gitterpunkte in räumlicher und zeitlicher Richtung, die Gitterkopplung ${\displaystyle \beta }$ sowie ggfs. Quarkmassenparameter und Parameter, die zur theoretischen Verbesserung des Kontinuumsverhaltens führen. Um ein solches „Setup“ aus dimensionslosen Zahlenangaben in physikalische Einheiten zu übersetzen, d. h. um dimensionsbehaftete Größen wie den Gitterabstand (in fm) oder Hadronmassen (in MeV/c²) zu erhalten, müssen ausgewählte physikalische Objekte (wie die Masse oder Zerfallskonstante des Pions) zur Setzung der Skala fixiert werden. Alle weiteren berechneten Größen sind dann Vorhersagen der Gitter-QCD zu den gegebenen Parametern.

Dabei wächst die benötigte Computerleistung mit sinkender Masse, so dass das Erreichen physikalischer Quarkmassen ohne weitere Extrapolation nach wie vor einen enormen Aufwand bedeutet und nicht mit allen Fermiondiskretisierungen erreicht worden ist. Darüber hinaus gilt es, die systematischen Effekte unter Kontrolle zu halten, die durch die Extrapolation zu verschwindendem Gitterabstand und unendlichem Volumen bedingt sind.

Die asymptotische Freiheit der QCD stellt mit ihrem Fixpunkt im Fluss der Kopplungskonstante sicher, dass der Kontinuumslimes ${\displaystyle a\rightarrow 0}$ für verschwindende Kopplung (${\displaystyle g\rightarrow 0}$ bzw. ${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$) erreicht wird.