Wahrscheinlichkeitsverteilung der Richtungen von Gleitspuren bei festgehaltenem Orientierungswinkel Φ der Gleitebenennormale

Das Problem wird in einem probenfesten Koordinatensystem X, Y, Z untersucht (Bild 6). Dabei sei X senkrecht zur Probenoberfläche und Z parallel zur Lastrichtung (Einheitsvektor ${\displaystyle {\vec {k}}}$) orientiert. In einem beliebig herausgegriffenen Korn der polykristallinen Probe mit isotroper Kornorientierungsverteilung möge eine plastische Deformation in einem Gleitsystem mit der Gleitebene ${\displaystyle (hkl)_{\rm {g}}}$ (der Normaleneinheitsvektor der Gleitebene sei ${\displaystyle {\vec {n}}}$) und der Gleitrichtung ${\displaystyle (uvw]_{\rm {g}}}$ (Einheitsvektor ${\displaystyle {\vec {g}}}$) stattgefunden haben. Dann finden sich in der Oberfläche (Y-Z-Ebene) der Probe Gleitspuren parallel zur Spur ${\displaystyle Sp}$ der Gleitebene und damit senkrecht zur Projektion des Normalenvektors ${\displaystyle {\vec {n}}}$ in die Y-Z-Ebene. Wenn man mit ${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}}$ und ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}}$ die Azimute von ${\displaystyle {\vec {n}}}$ bezüglich Drehung um die Z- bzw. X-Achse bezeichnet, dann ergibt sich zugleich ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}=\angle (Sp,\mathrm {Y} )}$. Es sei ${\displaystyle \Phi =\angle ({\vec {n}},{\vec {k}})}$ der Orientierungswinkel der Gleitebenennormale. Den Zusammenhang von ${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}}$ und ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}}$ findet man mit Hilfe der Angaben in Bild 6 leicht, wenn man berücksichtigt, dass ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}}$ zugleich der Winkel zwischen der Projektion von ${\displaystyle {\vec {n}}}$ in die Y-Z-Ebene und der Z-Achse ist. Es gilt:

${\displaystyle \sin \varphi _{\rm {z}}=\tan \varphi _{\rm {x}}/\tan \Phi }$ oder ${\displaystyle \tan \varphi _{\rm {x}}=\sin \varphi _{\rm {z}}\tan \Phi }$		(1)

Der Betrag von ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}}$ kann nicht größer sein als der Orientierungswinkel ${\displaystyle \Phi }$. Dieser Grenzwert wird erreicht, wenn der Normalenvektor der Gleitebene ${\displaystyle {\vec {n}}}$ in der Probenoberfläche liegt mit ${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}=\pm \pi /2}$. Wenn es im Zusammenhang mit der Belastungsgeometrie einen oberen Grenzwert für ${\displaystyle \Phi }$ gibt, existiert eine Verteilungslücke für ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}}$ symmetrisch um die Belastungsrichtung ${\displaystyle {\vec {k}}}$. Diese Verteilungslücke ermöglicht eine unabhängige Bestimmung der Haupbelastungsrichtung aus der Richtungsverteilung der Gleitspuren.

Die zufällige Verteilung der Orientierung der einzelnen Kristallite in dem polykristallinen Material kann simuliert werden, indem alle möglichen Orientierungen von ${\displaystyle {\vec {n}}}$ im dreidimensionalen Raum zugelassen werden, die nicht zu Dopplungen der Orientierungsverteilung der Gleitstufen führen. Die Spiegelung von ${\displaystyle {\vec {n}}}$ an der zur Probenoberfläche parallelen Y-Z-Ebene führt zu identischen Lagen der Gleitspuren. Das bedeutet, dass nur der nach der positiven X-Achse weisende Halbraum zu berücksichtigen ist. Die Probenoberfläche ist Symmetrieebene für das Problem. Spiegelung von ${\displaystyle {\vec {n}}}$ an der X-Z-Ebene führt zum Vorzeichenwechsel von ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}}$ und damit nicht zu einer Dopplung. Spiegelung von ${\displaystyle {\vec {n}}}$ an der X-Y-Ebene führt zur Spiegelung der Richtungsverteilung und damit zur Dopplung. Damit beschränkt sich die Variationsmöglichkeit für die Orientierung von ${\displaystyle {\vec {n}}}$ auf das vordere obere Raumviertel.

Bei festgehaltenem Orientierungswinkel ${\displaystyle \Phi }$ liegt Winkel ${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}}$ mit Sicherheit zwischen ${\displaystyle -\pi /2}$ und ${\displaystyle +\pi /2}$. Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(\varphi _{\rm {z}})}$ dafür ist gleich 1. Die Größe des Variationsintervalls ist ${\displaystyle \pi }$. Bei isotroper Kornorientierungsverteilung (aber auch bei Fasertextur mit Z als Faserachse) sind alle Werte von ${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}}$ gleich wahrscheinlich, und die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ist auf das Variationsintervall von ${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}}$ mit der Breite ${\displaystyle \pi }$ gleichmäßig aufgeteilt, so dass man für die auf ${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}}$ bezogene Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle p(\varphi _{\rm {x}})}$ erhält:

${\displaystyle p(\varphi _{\rm {z}})={\mathrm {d} P}(\varphi _{\rm {z}})/{\mathrm {d} \varphi _{\rm {z}}}={\rm {const.}}=1/\pi =1/180^{\circ }}$		(2)

Für die Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle p(\varphi _{\rm {x}})}$ ergibt sich mit Benutzung von (1):

${\displaystyle p(\varphi _{\rm {x}})={\mathrm {d} P}(\varphi _{\rm {x}})/{\mathrm {d} \varphi _{\rm {x}}}={\mathrm {d} P}(\varphi _{\rm {z}})/{\mathrm {d} \varphi _{\rm {x}}}=[{\mathrm {d} P}(\varphi _{\rm {z}})/{\mathrm {d} \varphi _{\rm {z}}}]\cdot ({\mathrm {d} \varphi _{\rm {z}}}/{\mathrm {d} \varphi _{\rm {x}}})=(1/\pi )\cdot \arcsin(\tan \varphi _{\rm {x}}/\tan \Phi )}$		(3)

Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(\varphi _{\rm {x}})_{\rm {i}}}$ dafür, dass der Winkel ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}}$ in einem bestimmten Intervall ${\displaystyle [\varphi _{\rm {xi}},\varphi _{\rm {xi+1}}]}$ angetroffen wird ist gleich der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(\varphi _{\rm {z}})_{\rm {i}}}$, dass sich ${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}}$ in dem nach Beziehung (1) zugeordneten Intervall befindet. Es gilt:

${\displaystyle P([\varphi _{\rm {xi}},\varphi _{\rm {xi+1}}])=[p(\varphi _{\rm {xi+1}})-p(\varphi _{\rm {xi}})](\varphi _{\rm {xi+1}}-\varphi _{\rm {xi}})}$		(4)

Beanspruchungsgeometrie und Orientierungswinkel Φ

Zur Herleitung der Grenzbedingungen für den Orientierungswinkel ${\displaystyle \Phi }$ der Normalen aktivierter Gleitebenen wird die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P({\vec {g}})}$ eingeführt, dass bei einer äußeren Beanspruchung durch die Zug- oder Druckspannung ${\displaystyle \sigma _{\rm {z}}}$ ein beliebig herausgegriffenes Korn in der polykristallinen Probe mit isotroper Kornorientierungsverteilung sich in einer gleitgünstigen Orientierung befindet, so dass in diesem Korn wenigstens ein Gleitsystem aktiviert wird. Ein Gleitsystem wird aktiviert, sobald die darauf einwirkende Schubspannung ${\displaystyle \tau }$ einen bestimmten, mit der Fließgrenze des Werkstoffes zusammenhängenden Grenzwert ${\displaystyle \tau _{\rm {g}}}$ erreicht oder überschreitet. Den geometrischen Verhältnissen gemäß Bild 7 ist ${\displaystyle \sigma _{\rm {z}}=F_{\rm {z}}/A_{\rm {o}}}$ und ${\displaystyle \tau =F_{\rm {g}}/A}$. Mit ${\displaystyle A=A_{\rm {o}}/\cos \Phi }$ und ${\displaystyle F_{\rm {g}}=\Phi _{\rm {z}}\cdot \cos \lambda }$ ergibt sich:

${\displaystyle \tau =s_{\rm {z}}\cos \Phi \cos \lambda =\sigma _{\rm {z}}\cdot s\geq \tau _{\rm {g}}}$		(5)

als Gleitbedingung. Dabei ist ${\displaystyle s=\cos \Phi \cos \lambda }$ der von Schmid und Boas eingeführte Orientierungsfaktor. Die Gleitbedingung (5) kann in eine rein geometrische Bedingung für den Orientierungsfaktor umgeformt werden:

${\displaystyle s\geq \tau _{\rm {g}}/\sigma _{\rm {z}}=s_{\rm {min}}}$		(6)

Die geometrische Bedeutung der Gleitbedingung in der Gestalt von Beziehung (6) lässt sich in einem mit dem Gleitsystem fest verbundenen Koordinatensystem X', Y', Z' auf der darin dargestellten Einheitskugel mit den Polarkoordinaten ${\displaystyle \vartheta ^{\prime }}$ und ${\displaystyle \varphi ^{\prime }}$ in der stereographischen Projektion von Bild 8 veranschaulichen. Für ${\displaystyle {\mathrm {X} }^{\prime }\parallel {\vec {g}}}$, ${\displaystyle {\mathrm {Z} }^{\prime }\parallel {\vec {n}}}$, ${\displaystyle \vartheta ^{\prime }=\Phi }$ und ${\displaystyle \varphi ^{\prime }=\varphi _{\rm {n}}}$ (Azimut von ${\displaystyle k}$ bezüglich Drehung um ${\displaystyle n}$) erhält man: ${\displaystyle \cos l=\sin \Phi \cos \varphi _{\rm {n}}}$, so dass mit Berücksichtigung der Beziehung ${\displaystyle \sin \Phi \cos \Phi =(1/2)\sin 2\Phi }$ die Gleitbedingung (6) eine neue Gestalt (7) erhält:

${\displaystyle s=(1/2)\cos \varphi _{\rm {n}}\sin 2\Phi >s_{\rm {min}}}$		(7)

Mit dem Gleichheitszeichen vor ${\displaystyle s_{\rm {min}}}$ erhält man die implizite Darstellung einer geschlossenen Kurve auf der Einheitskugel ${\displaystyle F(\varphi _{\rm {n}},F)=s_{\rm {min}}}$. Die Gleitbedingung ist für alle Punkte in dem von dieser geschlossenen Kurve berandeten Gebiet ${\displaystyle W_{\rm {g}}}$ erfüllt. Fällt für ein bestimmtes Korn die Lastrichtung ${\displaystyle {\vec {k}}}$ in das Gebiet ${\displaystyle \Omega _{\rm {g}}}$, so ist für dieses Korn die Gleitbedingung (5) erfüllt, das betreffende Gleitsystem wird aktiviert. In expliziter Form lautet die die Randkurve von ${\displaystyle \Omega _{\rm {g}}}$ beschreibende Funktion nach Auflösung der Gleichung (7) nach ${\displaystyle \varphi _{\rm {n}}}$ folgendermaßen:

${\displaystyle \cos \varphi _{\rm {n}}=2s_{\rm {min}}/\sin 2\Phi }$ oder ${\displaystyle \varphi _{\rm {n}}=\arccos(2s_{\rm {min}}/\sin 2\Phi )}$		(8)

Wegen der symmetrischen Gleichberechtigung von ${\displaystyle {\vec {n}}}$ mit ${\displaystyle -{\vec {n}}}$ und ${\displaystyle {\vec {g}}}$ mit ${\displaystyle -{\vec {g}}}$ ist es sicher, die Richtung von ${\displaystyle {\vec {k}}}$ in der in Bild 8 dargestellten Viertelkugel mit dem Raumwinkel ${\displaystyle \Pi }$ anzutreffen; die Wahrscheinlichkeit dafür ist gleich 1. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei isotroper Kornorientierung, d. h. bei fehlender Textur, die Lastrichtung ${\displaystyle {\vec {k}}}$ in das Gebiet ${\displaystyle \Omega _{\rm {g}}}$ fällt und damit Gleitung erfolgt, ist ${\displaystyle P({\vec {g}})=\Omega _{\rm {g}}/\Pi }$.

In Bild 8 sind die Randkurven von ${\displaystyle \Pi }$ für verschiedene Werte von ${\displaystyle s_{\rm {min}}}$ dargestellt.

Extremwerte von ${\displaystyle \Phi }$ ergeben sich für die Orientierung der Lastrichtung ${\displaystyle {\vec {k}}}$ in der X’-Z’-Ebene mit ${\displaystyle \varphi _{\rm {n}}=0}$ aus Gleichung (8) zu:

${\displaystyle \Phi _{\rm {min}}=\arcsin 2s_{\rm {min}}/2}$ und ${\displaystyle \Phi _{\rm {max}}=\pi /2-\Phi _{\rm {min}}}$		(9)

Die Verteilungslücke der Gleitspuren um die Lastrichtung hat die Breite ${\displaystyle 2\Phi _{\rm {min}}}$. Aus deren Vorhandensein lässt sich die Lastrichtung aus der Richtungsverteilung der Gleitspuren unabhängig bestimmen.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte für das Auftreten eines bestimmten Orientierungswinkels ${\displaystyle \Phi }$ bei gleitgünstiger Kornorientierung innerhalb von ${\displaystyle \Omega _{\rm {g}}}$ ist längs des Meridians mit ${\displaystyle \varphi _{\rm {n}}=0}$ proportional zur Bogenlänge ${\displaystyle 2\varphi _{\rm {n}}\sin \Phi }$ auf dem betreffenden Breitenkreis. Damit ergibt sich:

${\displaystyle p(\Phi _{\rm {g}})_{\rm {s}}=2\arccos(2s_{\rm {min}}/\sin \Phi )/\pi }$		(10)

Der Index s kennzeichnet das vorgegebene Beanspruchungsniveau.

Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Orientierung der Gleitspuren bei vorgegebener Beanspruchung

Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Richtungen von Gleitspuren bei vorgegebener Beanspruchung handelt es sich um die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten zweier voneinander abhängiger Ereignisse, dass das betreffende Gleitsystem aktiviert wird und die Gleitspuren in ein bestimmtes Azimutintervall fallen. Die Einzelwahrscheinlichkeiten (bzw. ihre Dichten) nach den Gleichungen (4) und (10) werden nach der „sowohl als auch“-Regel miteinander multipliziert und anschließend nach dem Orientierungswinkel ${\displaystyle \Phi }$ integriert. Das rechnerische Ergebnis wird für eine Verteilung auf ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}}$-Intervalle mit der Breite ${\displaystyle 5^{\circ }}$ in Bild 9 dargestellt. Wegen der Symmetrie hinsichtlich des Vorzeichens beschränkt sich die Darstellung auf positive Werte von ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}}$. Die einzelnen Kurven wurden für die angezeigten Werte von ${\displaystyle s_{\rm {min}}}$ berechnet.

• Die für Intervallbreiten D${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}=5^{\circ }}$ berechneten Wahrscheinlichkeiten haben ein flaches Minimum bei ${\displaystyle \varphi _{\rm {x}}=0}$ mit einer vom Beanspruchungsparameter ${\displaystyle s_{\rm {min}}}$ unabhängigen Höhe (2,78 %).
• Es existiert eine Lücke für ${\displaystyle \varphi _{\rm {z}}>F_{\rm {max}}(s_{\rm {min}})}$, deren Lage zur unabhängigen Bestimmung der Richtung einer äußeren Beanspruchung benutzt werden kann.
• Mit wachsender Beanspruchung (abnehmendem Parameter ${\displaystyle s_{\rm {min}}}$) wird das Maximum flacher und verschiebt sich nach kleineren Azimutwerten.