Schritt 1: Bestimmung einer vorläufigen RD-Wertzahl

Der vorläufige RD-Wert (${\displaystyle \mathrm {RD} ^{\ast }}$) wird, ausgehend vom alten RD-Wert (${\displaystyle \mathrm {RD} }$) wie folgt berechnet:

${\displaystyle \mathrm {RD} ^{\ast }=\min \left({\sqrt {\mathrm {RD} ^{2}+c^{2}t}},350\right)}$

Dabei ist ${\displaystyle t}$ die Zeit (in Wertungsperioden) seit dem letzten Wettkampf und 350 ist der Standardwert für einen unbewerteten Spieler. Sollten mehrere Spiele in einer Periode stattfinden, werden sie behandelt, als ob sie gleichzeitig stattgefunden haben. Die Wertungsperiode kann sehr lang (mehrere Monate) oder sehr kurz (einige Minuten) sein, abhängig davon, wie häufig Spiele ausgetragen werden. Die Konstante ${\displaystyle c}$ ist abhängig von der Unsicherheit über die Stärke eines Spielers nach Ablauf einer gewissen Zeit. Sie kann aus einer genauen Analyse der vorliegenden Daten abgeleitet werden. Alternativ kann sie auf Basis der Zeit, die vergehen würde, bis die RD eines Spielers gleich dem eines unbewerteten Spielers wäre, geschätzt werden: Angenommen es dauert 100 Wertungsperioden, bis die RD eines Spielers die eines unbewerteten Spielers (350) erreicht und ein typischer Spieler hat eine RD von 50, dann kann die Konstante ${\displaystyle c}$ durch Auflösen der Gleichung

${\displaystyle 350={\sqrt {50^{2}+100c^{2}}}}$ nach ${\displaystyle c}$ gefunden werden:

${\displaystyle c={\sqrt {(350^{2}-50^{2})/100}}\approx 34{,}64}$

Schritt 2: Bestimmung der neuen Werte für Spielstärke und Abweichung

${\displaystyle {\frac {1}{d^{2}}}=q^{2}\sum _{j}^{m}{g(\mathrm {RD} _{j})^{2}\cdot E(r,r_{j},\mathrm {RD} _{j})\cdot (1-E(r,r_{j},\mathrm {RD} _{j}))}=q^{2}\sum _{j}^{m}{g_{j}^{2}\cdot E_{j}\cdot (1-E_{j})}}$

mit

${\displaystyle q={\tfrac {\ln(10)}{400}}\approx 0{,}0057565}$.

Der Faktor ${\displaystyle q}$ kommt auch in den Formeln des klassischen Glicko-Systems, des Elo-Systems und der Deutschen Wertungszahl vor. Er führt zu einer vergleichbaren Skalierung der Systeme.

Der Zweck der Berechnung in Schritt 1 war die Anpassung (Erhöhung) der RD an die erhöhte Unsicherheit über die Spielstärke eines Spielers nach einer Zeit der Nicht-Anwendung des Modells. Nun wird die neue RD unter Berücksichtigung der aktuellen Spiele neu justiert (und typischerweise reduziert):

${\displaystyle \mathrm {RD} '={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{\mathrm {RD} ^{\ast 2}}}+{\frac {1}{d^{2}}}}}}\iff {\frac {1}{\mathrm {RD} '^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {RD} ^{\ast 2}}}+{\frac {1}{d^{2}}}}$

Die neue Wertung ${\displaystyle r'}$, nach einer Anzahl von ${\displaystyle m}$ Spielen, ergibt sich aus folgender Gleichung:

${\displaystyle r'=r+q\cdot \mathrm {RD} '^{2}\cdot \sum _{j}^{m}{g(\mathrm {RD} _{j})\cdot (s_{j}-E(r,r_{j},\mathrm {RD} _{j}))}}$

Hierbei sind

${\displaystyle E(r,r_{j},\mathrm {RD} _{j})={\frac {1}{1+e^{-g(\mathrm {RD} _{j})\cdot q\cdot (r-r_{j})}}}={\frac {1}{1+10^{-g(\mathrm {RD} _{j}){\frac {1}{400}}(r-r_{j})}}}=E_{j}}$ der Erwartungswert für einen Sieg im Spiel j.

${\displaystyle g(\mathrm {RD} _{j})={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {3}{\pi ^{2}}}q^{2}(RD_{j}^{2})}}}=g_{j}}$ ein konstanter Gewichtungsfaktor ist, der lediglich von der RD des Gegners im Spiel j abhängt und die Varianz der Verteilung, die ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3g_{i}^{2}q^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{3q^{2}}}+\mathrm {RD} ^{2}}$ beträgt, beeinflusst.

Schritt 1

Besitzt ein Spieler keine Glicko-Wertung, erhält er die Startwerte ${\displaystyle r=1500}$ und ${\displaystyle \mathrm {RD} =350}$. Zusätzlich wird für die Glicko-2-Wertung noch die Schwankung ${\displaystyle \sigma =0{,}06}$ gesetzt.

Allgemein muss ein ${\displaystyle \tau }$ festgelegt werden. Sinnvolle Werte liegen zwischen 0,3 und 1,2.

Schritt 2

Um eine Umrechnung vom klassischen Glicko-System ${\displaystyle (r,\mathrm {RD} )}$ in das Glicko-2-System ${\displaystyle (\mu ,\phi ,\sigma )}$ vorzunehmen, werden folgende Funktionen verwendet. Der Faktor ${\displaystyle q={\tfrac {\ln(10)}{400}}}$ führt zu einer Skalierung, die den bestehenden Systemen entspricht und einen für Menschen praktikableren und vertrauteren Wertebereich abdeckt. Dieser liegt im drei- bis vierstelligen Bereich und ist ausreichend aussagekräftig, wenn auf ganze Zahlen gerundet wird.

${\displaystyle \mu =(r-1500)\cdot q=(r-1500)\cdot {\tfrac {\ln(10)}{400}}={\frac {r-1500}{173{,}7178}}}$

${\displaystyle \phi =\mathrm {\mathrm {RD} } \cdot q=\mathrm {RD} \cdot {\tfrac {\ln(10)}{400}}={\frac {\mathrm {RD} }{173{,}7178}}}$

Dadurch werden viele willkürlich erscheinende Parameter in den Berechnungen vermieden.

Ziel ist es, nun die Werte eines Spielers ${\displaystyle (\mu ,\phi ,\sigma )}$ zu aktualisieren und durch die Werte ${\displaystyle (\mu ',\phi ',\sigma ')}$ zu ersetzen. Es wird angenommen, dass er gegen ${\displaystyle m}$ Gegner ${\displaystyle (\mu _{1},\phi _{1}),\dots ,(\mu _{m},\phi _{m})}$ spielt und hierbei die Ergebnisse ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{m}}$ erzielt, wobei ${\displaystyle s_{j}\in \{0,{\tfrac {1}{2}},1\}}$ für das Ergebnis des Spieles j (Niederlage, Unentschieden oder Sieg) steht.

Die Schwankung ${\displaystyle \sigma _{j}}$ der Gegner wird für die Ermittelung der neuen Werte nicht benötigt.

Schritt 3

${\displaystyle v=\left(\sum _{j}^{m}g(\phi _{j})^{2}\cdot E(\mu ,\mu _{j},\phi _{j})\cdot \left(1-E(\mu ,\mu _{j},\phi _{j})\right)\right)^{-1}=\left(\sum _{j}^{m}g_{j}^{2}\cdot E_{j}\cdot \left(1-E_{j}\right)\right)^{-1}}$

Hierbei sind

${\displaystyle E(\mu ,\mu _{j},\phi _{j})={\frac {1}{1+e^{-g(\phi _{j})(\mu -\mu _{i})}}}=E_{j}}$ die Gewinnwahrscheinlichkeit in Form eine Logistischen Verteilung (Erwartungswert) und

${\displaystyle g(\phi _{j})={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {3}{\pi ^{2}}}\phi _{j}^{2}}}}=g_{j}}$ ein Gewichtungsfaktor, der die Varianz der Verteilung, die ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3g_{i}^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{3}}+\phi _{j}^{2}}$ beträgt, beeinflusst.

Schritt 4

${\displaystyle \Delta =v\cdot \sum _{j}^{m}g(\phi _{j})\cdot \left(s_{j}-E(\mu ,\mu _{j},\phi _{j})\right)={\frac {\sum _{j}^{m}g(\phi _{j})\cdot \left(s_{j}-E(\mu ,\mu _{j},\phi _{j})\right)}{\sum _{j}^{m}g(\phi _{j})^{2}\cdot E(\mu ,\mu _{j},\phi _{j})\cdot \left(1-E(\mu ,\mu _{j},\phi _{j})\right)}}={\frac {\sum _{j}^{m}g_{j}\cdot \left(s_{j}-E_{j}\right)}{\sum _{j}^{m}g_{j}^{2}\cdot E_{j}\cdot \left(1-E_{j}\right)}}}$

Schritt 5

Für ${\displaystyle \sigma '}$ soll gelten:

${\displaystyle {\frac {\sigma '^{2}(\Delta ^{2}-\phi ^{2}-v-\sigma '^{2})}{2(\phi ^{2}+v+\sigma '^{2})^{2}}}={\frac {1}{\tau ^{2}}}\cdot \ln \left({\frac {\sigma '^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)}$

mit ${\displaystyle \sigma '^{2}=e^{x}}$ ergibt sich

${\displaystyle {\frac {e^{x}(\Delta ^{2}-\phi ^{2}-v-e^{x})}{2(\phi ^{2}+v+e^{x})^{2}}}={\frac {1}{\tau ^{2}}}\cdot \ln \left({\frac {e^{x}}{\sigma ^{2}}}\right)}$

Zur Bestimmung des neuen ${\displaystyle \sigma '}$ muss nun numerisch die Nullstelle folgender Funktion ermittelt werden.

${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}(\Delta ^{2}-\phi ^{2}-v-e^{x})}{2(\phi ^{2}+v+e^{x})^{2}}}-{\frac {x-\ln(\sigma ^{2})}{\tau ^{2}}}=0}$

Hierfür wird das Illinois-Verfahren eingesetzt. Dafür werden zu Beginn zwei Startwerte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ ermittelt, sowie eine Konvergenzradius ${\displaystyle \varepsilon =10^{-6}}$ festgelegt.

${\displaystyle A=a=\ln(\sigma ^{2})}$

Falls ${\displaystyle \Delta ^{2}>\phi ^{2}+v}$ ist, wird ${\displaystyle B=\ln(\Delta ^{2}-\phi ^{2}-v)}$ angenommen, andernfalls muss ein ${\displaystyle k>0,k\in \mathbb {N} }$ gefunden werden, so dass ${\displaystyle f(a-k\tau )>0}$ ist.

Mit ${\displaystyle B=a-k\tau }$ gilt jetzt ${\displaystyle A<\ln(\sigma '^{2})<B}$.

${\displaystyle \!\,{\begin{array}{l}{\mathsf {solange}}~|B-A|\geq \varepsilon$ :\\~~\left[{\begin{array}{l}C:=A-{\frac {A}{s}}~\mathrm {mit} ~s={\frac {f_{B}-f_{A}}{B-A}}\\f_{C}:=f(C)\\{\mathsf {falls}}~f_{C}\cdot f_{B}<0:\\~~\left[A:=B,~f_{A}:=f_{B},~B:=C,~f_{B}:=f_{C}\right.\\{\mathsf {falls}}~f_{C}\cdot f_{B}>0:\\~~\left[f_{A}:={\frac {1}{2}}\cdot f_{A},~B:=C,~f_{B}:=f_{C},~A~{\text{bleibt}}\right.\\{\mathsf {sonst}}:\\~~\left[A:=C,~f_{A}:=f_{C},~B:=C,~f_{B}:=f_{C}\right.\\\end{array}}\right.\\~\\{\text{nimm }}A{\text{ als Näherung für }}x^{*}\end{array}}}

So gilt für den Spieler jetzt ein aktualisierter Wert für die Schwankung ${\displaystyle \sigma }$.

${\displaystyle \sigma '={\sqrt {e^{A}}}\iff \sigma '^{2}=e^{A}}$

Schritt 6

Jetzt kann eine vorläufige Abweichung ${\displaystyle \phi ^{\ast }}$ bestimmt werden.

${\displaystyle \phi ^{\ast }={\sqrt {\phi ^{2}+\sigma '^{2}}}\iff \phi ^{\ast 2}=\phi ^{2}+\sigma '^{2}}$

Schritt 7

Jetzt lassen sich ${\displaystyle \phi '}$ und ${\displaystyle \mu '}$ ermitteln:

${\displaystyle \phi '={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{\phi ^{\ast 2}}}+{\frac {1}{v}}}}}\iff {\frac {1}{\phi '^{2}}}={\frac {1}{\phi ^{\ast 2}}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{\phi ^{2}+\sigma '^{2}}}+{\frac {1}{v}}}$

${\displaystyle \mu '=\mu +\phi '^{2}\cdot \sum _{j}^{m}g(\phi _{j})\cdot \left(s_{j}-E(\mu ,\mu _{j},\phi _{j})\right)=\mu +\phi '^{2}\cdot \sum _{j}^{m}g_{j}\cdot (s_{j}-E_{j})}$

Hat der Spieler im Wertungszeitraum nicht gespielt, ändern sich seine Werte für ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \sigma }$ nicht. Anders sein Wert für ${\displaystyle \phi }$. Diese entspricht dann dem errechneten ${\displaystyle \phi ^{\ast }}$

${\displaystyle \phi '=\phi ^{\ast }={\sqrt {\phi ^{2}+\sigma ^{2}}}}$

Schritt 8

Zum Schluss können die Glicko-2-Werte noch in die bekannten Glicko-Werte umgerechnet werden.

${\displaystyle r'=q^{-1}\cdot \mu '+1500={\tfrac {\ln(10)}{400}}\cdot \mu '+1500=173{,}7178\cdot \mu '+1500}$

${\displaystyle \mathrm {RD} '=q^{-1}\cdot \phi '={\tfrac {\ln(10)}{400}}\cdot \phi '=173{,}7178\cdot \phi '}$