In der Mathematik organisiert die Gruppen-Von-Neumann-Algebra einer Gruppe ${\displaystyle G}$ die Morphismen von Hilbert-${\displaystyle G}$-Moduln.

Definitionen

Für eine abzählbare Gruppe ${\displaystyle G}$ sei ${\displaystyle B(l^{2}G)}$ die ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Algebra der beschränkten linearen Operatoren des Hilbert-Moduls ${\displaystyle l^{2}G}$.

Die ${\displaystyle G}$-Wirkung auf ${\displaystyle l^{2}G}$ setzt sich fort zu einer Wirkung des Gruppenrings ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ und damit zu einer Inklusion ${\displaystyle \mathbb {C} G\to B(l^{2}G)}$.

Die Gruppen-Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle NG}$ wird definiert durch eine der folgenden äquivalenten Definitionen.

• ${\displaystyle NG}$ ist der schwache Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ in ${\displaystyle B(l^{2}G)}$.
• ${\displaystyle NG}$ ist der starke Abschluss von ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ in ${\displaystyle B(l^{2}G)}$.
• ${\displaystyle NG}$ ist der Bikommutant von ${\displaystyle \mathbb {C} G}$ in ${\displaystyle B(l^{2}G)}$.
• ${\displaystyle NG}$ ist die Unteralgebra der links-${\displaystyle \mathbb {C} G}$-äquivarianten beschränkten Operatoren in ${\displaystyle B(l^{2}G)}$.

Die Gruppen-Von-Neumann-Algebra ist eine Von-Neumann-Algebra.

Siehe auch

• Gruppen-C*-Algebra

Literatur

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).