Aussage

Es sei ${\displaystyle u\colon M\times \left[0,T\right]\rightarrow [0,\infty )}$ eine nichtnegative Lösung der Wärmeleitungsgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}$,

wobei ${\displaystyle \Delta }$ den Laplace-Operator auf der kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ bezeichnet.

Dann gibt es eine nur von ${\displaystyle M}$ abhängende Konstante ${\displaystyle C}$, so dass

${\displaystyle \sup _{x\in M}u(x,t)\leq C\inf _{x\in M}u(x,t)}$

für alle ${\displaystyle 0\leq t\leq T}$ gilt.

Die Bestimmung der optimalen Konstante ${\displaystyle C}$ in Abhängigkeit von der Geometrie von ${\displaystyle M}$ ist ein schwieriges Problem.

Harmonische Funktionen

Insbesondere gilt ${\displaystyle \sup _{x\in M}u(x)\leq C\inf _{x\in M}u(x)}$ für alle nichtnegativen harmonischen Funktionen ${\displaystyle u\colon M\rightarrow [0,\infty )}$.

Beispiel

Sei ${\displaystyle M=B(x_{0},R)\subset \mathbb {R} ^{n}}$ der Ball mit Radius ${\displaystyle R}$ und Mittelpunkt ${\displaystyle x_{0}}$ im euklidischen Raum. Dann gilt für jede nichtnegative harmonische Funktion (mit stetigen Randwerten)

${\displaystyle u\colon B(x_{0},R)\rightarrow [0,\infty )}$

die Ungleichung

${\displaystyle \displaystyle {{1-(r/R) \over [1+(r/R)]^{n-1}}u(x_{0})\leq u(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}u(x_{0})}}$

mit ${\displaystyle r=\parallel x-x_{0}\parallel }$ für alle ${\displaystyle x\in B(x_{0},R)}$.

Daraus ergibt sich die Harnack-Ungleichung für ${\displaystyle M=B(x_{0},R)}$ mit ${\displaystyle C={\frac {1+(r/R)}{[1-(r/R)]^{n-1}}}{\frac {[1+(r/R)]^{n-1}}{1-(r/R)}}}$.