Langsame Reaktion im Vergleich zum Stofftransport

Für den Fall einer langsamen Reaktion, im Vergleich zu dem Stofftransport von ${\displaystyle {\ce {A}}}$ durch die Grenzschicht in der flüssigen Phase (${\displaystyle Ha<0{,}3}$), findet die Reaktion quasi nur im Kern der flüssigen Phase statt. Der auf das gesamte Flüssigkeitsvolumen bezogene Stoffmengenstrom an ${\displaystyle {\ce {A}}}$, wird demnach durch das Erste Ficksche Gesetz beschrieben:

${\displaystyle J_{A}\cdot a=k_{L}\cdot a\cdot (c_{A}^{*}-c_{A,\infty })}$

Wobei ${\displaystyle J_{A}}$ für den Stoffmengenfluss an A, ${\displaystyle a={\frac {A}{V}}}$ für die spezifische Austauschfläche mit der Einheit ${\displaystyle m^{-1}}$, ${\displaystyle c_{A}^{*}}$ für die Konzentration von ${\displaystyle {\ce {A}}}$ an der Phasengrenzfläche und ${\displaystyle c_{A,\infty }}$ für die Konzentration von A im Kern der Flüssigkeit steht. Die linke Seite der Gleichung hat demnach die Einheit einer Reaktionsgeschwindigkeit. Werden der letzte Ausdruck und der Ausdruck für die Reaktionsgeschwindigkeit gleichgesetzt, kann ein Ausdruck für die unbekannte Konzentration ${\displaystyle c_{A,\infty }}$ gefunden werden:

${\displaystyle k\cdot c_{A,\infty }=k_{L}\cdot a\cdot (c_{A}^{*}-c_{A,\infty })}$

${\displaystyle c_{A,\infty }={\frac {k_{L}\cdot a\cdot c_{A}^{*}}{k+k_{L}\cdot a}}}$

Mithilfe dieses Ausdrucks kann in der Gleichung für die Reaktionsgeschwindigkeit die unbekannte Konzentration ${\displaystyle c_{A,\infty }}$ ersetzt werden und damit ein Ausdruck für die effektive Reaktionsgeschwindigkeit erhalten werden.

${\displaystyle r_{\text{eff}}=k\cdot {\frac {k_{L}\cdot a\cdot c_{A}^{*}}{k+k_{L}\cdot a}}={\frac {1}{{\frac {1}{k_{L}\cdot a}}+{\frac {1}{k}}}}\cdot c_{A}^{*}}$

Reaktion mittlerer Geschwindigkeit im Vergleich zum Stofftransport

Für den Fall einer mittleren Geschwindigkeit der Reaktion, im Vergleich zum Stofftransport von ${\displaystyle {\ce {A}}}$ durch die Grenzschicht der flüssigen Phase (${\displaystyle 0{,}3<Ha<3}$), findet die Reaktion bereits in der Grenzschicht statt. Um einen Ausdruck für die Konzentration von ${\displaystyle {\ce {A}}}$ in der Grenzschicht zu erhalten muss die Gleichung des Massenerhalts für das vorliegende Problem angepasst werden:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=-u\cdot {\frac {\partial c}{\partial x}}+D_{A}\cdot {\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}+\nu \cdot r\quad \Rightarrow \quad 0=D_{A}\cdot {\frac {\partial ^{2}c_{A}}{\partial x^{2}}}-k\cdot c_{A}}$

Dabei wird ein stationärer Zustand angenommen, bei dem es keine Konvektion, sondern ausschließlich Diffusion gibt. Diese Differentialgleichung kann dahingehend umgeformt werden, dass die Ortskoordinate ${\displaystyle x}$ relativ zur Dicke der Grenzschicht ${\displaystyle \delta }$ verwendet wird, wodurch die Hatta-Zahl erhalten wird.

${\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}c_{A}}{\partial \left({\frac {x}{\delta }}\right)^{2}}}-{\frac {k}{D}}\cdot \delta ^{2}\cdot c_{A}\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial ^{2}c_{A}}{\partial \left({\frac {x}{\delta }}\right)^{2}}}-Ha^{2}\cdot c_{A}}$

Wird diese Differentialgleichung mit den Randbedingungen ${\displaystyle c_{A}\left({\frac {x}{\delta }}=0\right)=c_{A}^{*}}$ und ${\displaystyle c_{A}\left({\frac {x}{\delta }}=1\right)=c_{A,\infty }}$ gelöst, kann folgende Gleichung für die Konzentration von ${\displaystyle {\ce {A}}}$ in Abhängigkeit der relativen Position in der Grenzschicht erhalten werden:

${\displaystyle c_{A}={\frac {c_{A}^{*}\cdot \sinh \left(Ha\cdot (1-{\frac {x}{\delta }})\right)+c_{A,\infty }\cdot \sinh \left(Ha\cdot {\frac {x}{\delta }}\right)}{\sinh(Ha)}}}$

Um auch hier wieder einen Ausdruck für die effektive Reaktionsgeschwindigkeit zu erhalten, wird erneut der, auf das gesamte Flüssigkeitsvolumen bezogene, Stoffmengenstrom an ${\displaystyle {\ce {A}}}$ betrachtet. Da dieser Stoffmengenstrom durch die Grenzschicht hindurch geringer wird (${\displaystyle {\ce {A}}}$ reagiert ab) muss der Stoffmengenstrom genau an der Phasengrenzfläche betrachtet werden. Dafür wird das mit ${\displaystyle a}$ erweiterte Erste Ficksche Gesetz verwendet.

${\displaystyle r_{\text{eff}}=(J_{A}\cdot a)_{x=0}=-a\cdot D_{A}\left.{\frac {\mathrm {d} c_{A}}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=0}}$

Wird der erhaltene Ausdruck für ${\displaystyle c_{A}}$ abgeleitet und an der Stelle ${\displaystyle x=0}$ in die vorheriger Gleichung eingesetzt, wird die effektive Reaktionsgeschwindigkeit erhalten:

${\displaystyle r_{\text{eff}}={\frac {Ha}{\tanh(Ha)}}\cdot k_{L}\cdot a\cdot c_{A}^{*}\cdot \left(1-{\frac {c_{A,\infty }}{c_{A}^{*}}}\cdot {\frac {1}{\cosh(Ha)}}\right)}$

Dabei wurde die Definition des Stoffübergangskoeffizienten ${\displaystyle k_{L}}$ verwendet.

Reaktion hoher Geschwindigkeit im Vergleich zum Stofftransport

Für den Fall hoher Geschwindigkeit der Reaktion, im Vergleich zum Stofftransport von ${\displaystyle {\ce {A}}}$ durch die Grenzschicht der flüssigen Phase (${\displaystyle Ha>3}$), gelten die gleichen Gesetzmäßigkeiten wie in der Herleitung der Reaktion mittlerer Geschwindigkeit. Da der Cosinus hyperbolicus für Hatta-Zahlen größer als ${\displaystyle 3}$ schnell sehr groß und mit steigender Reaktionsgeschwindigkeit ${\displaystyle c_{A,\infty }}$ sehr klein wird, kann der rechte Term in der Klammer von ${\displaystyle r_{\text{eff}}}$ vernachlässigt werden. Die effektive Reaktionsgeschwindigkeit ergibt sich demnach zu:

${\displaystyle r_{\text{eff}}={\frac {Ha}{\tanh(Ha)}}\cdot k_{L}\cdot a\cdot c_{A}^{*}}$

Mit

${\displaystyle E={\frac {Ha}{\tanh(Ha)}}}$

Wobei ${\displaystyle E}$ Verstärkungsfaktor genannt wird. Um zu verstehen, weshalb dieser Name für den vorherigen Ausdruck gewählt wurde, kann der Stoffmengenfluss von ${\displaystyle {\ce {A}}}$ betrachtet werden (${\displaystyle r=J\cdot a}$).

${\displaystyle J_{A}=E\cdot k_{L}\cdot c_{A}^{*}}$

Dieser Ausdruck entspricht der Lösung des Ersten Fickschen Gesetzes für ${\displaystyle c_{A,\infty }=0}$. Der Stoffmengenfluss von ${\displaystyle {\ce {A}}}$ wird durch die ablaufende Reaktion um den Faktor ${\displaystyle E}$ verstärkt (Verstärkungsfaktor).