Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen. Das henselsche Lemma ist (im Wesentlichen) das Newtonverfahren angewendet auf ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.

Formulierung

Es sei ${\displaystyle K}$ ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring ${\displaystyle A}$ und Restklassenkörper ${\displaystyle k}$. Ist nun ${\displaystyle f\in A[X]}$ ein Polynom, dessen Reduktion ${\displaystyle {\bar {f}}\in k[X]}$ das Produkt zweier teilerfremder Polynome ${\displaystyle {\bar {g}},{\bar {h}}\in k[X]}$ ist, so gibt es Polynome ${\displaystyle g,h\in A[X]}$, so dass ${\displaystyle f=gh}$ gilt und ${\displaystyle {\bar {g}}}$ bzw. ${\displaystyle {\bar {h}}}$ die Reduktion von ${\displaystyle g}$ bzw. ${\displaystyle h}$ ist.

Beispiele

• Mit dem henselschen Lemma kann man zeigen, dass der Körper der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen die ${\displaystyle (p-1)}$-ten Einheitswurzeln enthält:

Für eine Primzahl ${\displaystyle p}$ sei ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{p}}$ der Körper der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen, ${\displaystyle A=\mathbb {Z} _{p}}$ und ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}}$. Das Polynom ${\displaystyle f(X):=X^{p-1}-1}$ zerfällt über ${\displaystyle k}$ in Linearfaktoren

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{p-1}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})\cdots (X-{\overline {p-1}})}$.

Es gibt also Polynome ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}[X]}$, so dass

${\displaystyle f=g_{1}\cdots g_{p-1},\qquad g_{i}(X)\equiv X-i{\pmod {p}}}$

gilt. Die Polynome ${\displaystyle g_{i}}$ haben notwendigerweise die Form ${\displaystyle g(X)=aX+b}$ mit ${\displaystyle a\in 1+p\mathbb {Z} _{p}}$, man kann also ${\displaystyle a=1}$ annehmen, d. h. es gibt ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}}$, so dass

${\displaystyle X^{p-1}-1=(X-\zeta _{1})\cdots (X-\zeta _{p-1})}$

gilt. Die ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}}$ sind die ${\displaystyle (p-1)}$-ten Einheitswurzeln und sie können immer so angeordnet werden, dass ${\displaystyle \zeta _{i}\equiv i{\pmod {p}}}$.

• Ist die Primzahl ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$, dann gibt es nach dem Obigen ein ${\displaystyle \eta \in \mathbb {Q} _{p}}$ mit ${\displaystyle \eta ^{2}=-1}$.

Denn unter den ${\displaystyle (p-1)}$-ten Einheitswurzeln gibt es eine, sie sei mit ${\displaystyle \zeta }$ bezeichnet, die die zyklische Gruppe der ${\displaystyle (p-1)}$-ten Einheitswurzeln erzeugt. Mit ${\displaystyle \eta$ :=\zeta ^{\tfrac {p-1}{4}}} ergibt sich ${\displaystyle \eta ^{2}=-1}$.

• Im Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht-triviale Summe von Quadraten darstellbar. Damit ist −1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar, und ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ kann nicht angeordnet werden.

Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

1. ${\displaystyle p=2}$: Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome über ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar. Es lässt sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen, dass ${\displaystyle {\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} _{2}}$. Sei nämlich ${\displaystyle m_{3}:=1\in \mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle {m_{3}}^{2}\equiv -7{\pmod {2^{3}}}}$. Für ${\displaystyle i=3,4,...}$ sei nun ${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {Z} }$ derart, dass ${\displaystyle {m_{i}}^{2}\equiv -7{\pmod {2^{i}}}}$. Da ${\displaystyle {m_{i}}^{2}+7}$ durch 2 teilbar ist, können wir
       ${\displaystyle m_{i+1}:\equiv m_{i}-{\frac {{m_{i}}^{2}+7}{2m_{i}}}{\pmod {2^{i+1}}}}$
   bilden. Dann ist
       ${\displaystyle m_{i+1}^{2}\equiv {m_{i}}^{2}-({m_{i}}^{2}+7)\equiv -7{\pmod {2^{i+1}}}}$.
   Somit gibt es eine in ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$ konvergente Folge ${\displaystyle m:=\lim _{i\to \infty }m_{i}}$ mit ${\displaystyle m^{2}=-7}$. Die Summe von 5 Quadraten ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+m^{2}=7+m^{2}=7-7=0}$ verschwindet.
2. ${\displaystyle p>2}$: Mit ${\displaystyle m_{2}:=1+{\tfrac {p-1}{2}}p}$ ist wegen
       ${\displaystyle 1-p\equiv 1+(p-1)p+\left({\tfrac {p-1}{2}}p\right)^{2}=\left(1+{\tfrac {p-1}{2}}p\right)^{2}={m_{2}}^{2}{\pmod {p^{2}}}}$
   die Zahl ${\displaystyle 1-p}$ quadratischer Rest in ${\displaystyle p^{2}\mathbb {Z} _{p}.}$ Die Folge ${\displaystyle \{m_{i}\}}$ lässt sich mit der Vorgehensweise im Beweis des henselschen Lemmas zu einem Element ${\displaystyle m:=\lim _{i\to \infty }m_{i}\in \mathbb {Z} _{p}}$ entwickeln, für das ${\displaystyle m^{2}=1-p}$ gilt. Man nehme nur
       ${\displaystyle m_{i+1}:\equiv m_{i}-({m_{i}}^{2}+1-p)\,{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p^{i+1}}}}$
   Im Ergebnis verschwindet die Summe der ${\displaystyle p}$ Quadrate ${\displaystyle (p-1)\times 1^{2}+m^{2}=(p-1)+(1-p)=0.}$

• Es seien ${\displaystyle K,A,k}$ wie oben, aber ${\displaystyle f(X)=X^{p}-1}$. Dann ist ${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{p}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})^{p}}$ mit Faktoren ${\displaystyle X-{\bar {1}}}$, die alle gleich, also nicht teilerfremd sind. Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar.

Henselscher Ring

Die Voraussetzung, dass ${\displaystyle K}$ vollständig ist, ist eigentlich stärker als es für den Beweis des henselschen Lemmas erforderlich wäre. Allgemein nennt man bewertete Körper ${\displaystyle K}$ beziehungsweise Ringe ${\displaystyle A}$, in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Hebungsbaum

Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel um das Verhalten eines Polynoms ${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]}$, genauer das Verhalten der Nullstellen modulo ${\displaystyle p^{k}}$ des Polynoms, zu beschreiben. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.

Der Hebungsbaum hat in seiner k-ten Ebene die Nullstellen modulo ${\displaystyle p^{k}}$ und diese werden mit ihren Hebungen modulo ${\displaystyle p^{k+1}}$ verbunden, falls diese ebenfalls wieder Nullstellen sind.

Literatur

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• David Eisenbud: Commutative algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 150). Springer-Verlag, Berlin/ New York 1995, ISBN 3-540-94268-8.
• Atilla Pethö: Algebraische Algorithmen. Hrsg.: Michael Pohst. Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06598-2, S. 187. 

• Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, 2005, ISBN 3-540-21379-1, S. 51. 

• K. Hensel: Theorie der Algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig 1908. 
• Helmut Koch: Zahlentheorie – Algebraische Zahlen und Funktionen. Vieweg, 1997.
• Matthias Künzer: Heben von Nullstellen. Universität Stuttgart, 2011.

Einzelnachweise

1. ↑ David A. Cox: Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schönemann discovered it first. In: American Mathematical Monthly. Band 118, 2011, S. 3–21.
2. ↑ F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.