Materialparameter

Die Koeffizienten C_ij der Steifigkeitsmatrix haben die Dimension von Kraft pro Fläche und sind Parameter des Materials. Die Materialparameter können nicht beliebig gewählt werden, sondern müssen gewissen Stabilitätskriterien genügen. Diese folgen aus der Forderung, dass die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrizen positiv definit sein müssen.

Notwendig dafür ist:

• Alle Diagonalelemente der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix müssen positiv sein (damit sich das Material in Zugrichtung streckt, wenn man daran zieht, und nicht staucht) und
• die Determinante der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix muss positiv sein (damit es unter Druck komprimiert und nicht expandiert).

Notwendig und hinreichend ist, das alle sechs Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix positiv sind, denn dann sind es die der Nachgiebigkeitsmatrix ebenfalls.

Werden an einem realen Werkstoff Materialparameter identifiziert, die diesen Stabilitätskriterien widersprechen, ist Vorsicht geboten.

Hydrostatischer Spannungszustand und Kompressibilität

Der hydrostatische Spannungszustand stellt sich in einem allseitigem Druck ausgesetzten Körper ein. Wegen des auf der Erdoberfläche allgegenwärtigen Luftdrucks, ist dieser Zustand dort überall präsent. Wenn ein Körper aus kompressiblem isotropem Material zusammengedrückt wird, dann schrumpft er in allen Raumrichtungen gleichermaßen. Ein kompressibles hexagonal anisotropes Material schrumpft in jeder Raumrichtung unterschiedlich, wird dabei aber, anders als bei monokliner Anisotropie, nicht geschert.

Das ist am einfachsten mit der Nachgiebigkeitsmatrix S nachzuweisen, die an denselben Stellen von null verschiedene Einträge S_ij aufweist wie die Steifigkeitsmatrix:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\2\varepsilon _{4}\\2\varepsilon _{5}\\2\varepsilon _{6}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&0\\S_{12}&S_{11}&S_{13}&-S_{14}&-S_{15}&0\\S_{13}&S_{13}&S_{33}&0&0&0\\S_{14}&-S_{14}&0&S_{44}&0&-S_{15}\\S_{15}&-S_{15}&0&0&S_{44}&S_{14}\\0&0&0&-S_{15}&S_{14}&2(S_{11}-S_{12})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-p\\-p\\-p\\0\\0\\0\end{bmatrix}}=-p{\begin{bmatrix}S_{11}+S_{12}+S_{13}\\S_{12}+S_{11}+S_{13}\\2S_{13}+S_{33}\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}$

Darin ist p der Druck. Beim hexagonal anisotropen, linear elastischen Werkstoff kommt es bei allseitigem Druck zu keiner Scherung. Die Kompression wird von den oberen drei Einträgen im rechten Vektor repräsentiert und wenn die Summe gemäß

${\displaystyle 2(S_{11}+S_{12}+2S_{13})+S_{33}=0}$

verschwindet, ist das Material in erster Näherung inkompressibel, siehe Deviator. Der Kompressionsmodul K ergibt sich aus dem Kehrwert:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}=\varepsilon _{v}={\frac {\mathrm {v} -V}{V}}=-p\cdot [2(S_{11}+S_{12}+2S_{13})+S_{33}]\\&\rightarrow K:=-{\frac {\mathrm {d} p}{\frac {\mathrm {d} \mathrm {v} }{V}}}={\frac {1}{2(S_{11}+S_{12}+2S_{13})+S_{33}}}\end{aligned}}}$

Darin ist V das Volumen bei p=0 und v dasjenige beim aktuellen Druck.

Herleitung

In der Hyperelastizität ergeben sich die Spannungen aus der Ableitung der Formänderungsenergie nach den Dehnungen. Damit die Spannungen linear in den Dehnungen sind, muss demnach die Formänderungsenergie quadratisch in den Dehnungen sein, denn nur dann ist ihre Ableitung linear. Unter Verwendung der #Invarianten kann der Ansatz^:392

${\displaystyle {\begin{aligned}w({\boldsymbol {\varepsilon }}):=&{\frac {a}{2}}(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})^{2}+(b-a)(\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}-\varepsilon _{12}^{2})+c(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})\varepsilon _{33}\\&+{\frac {d}{2}}\varepsilon _{33}^{2}+2e(\varepsilon _{13}^{2}+\varepsilon _{23}^{2})+2f[(\varepsilon _{11}-\varepsilon _{22})\varepsilon _{23}+2\varepsilon _{12}\varepsilon _{13}]\\&+2g[(\varepsilon _{11}-\varepsilon _{22})\varepsilon _{13}-2\varepsilon _{12}\varepsilon _{23}]\end{aligned}}}$

mit sieben Parametern a bis g gemacht werden. Bei dreizähliger Drehinversionsachse ist g=0 und bei sechszähliger Symmetrie ist zusätzlich f=0. Nicht-linear hyperelastisches Verhalten kann modelliert werden, indem die Parameter a bis g durch Funktionen der Invarianten ersetzt werden und/oder die #Invarianten höherer Ordnung berücksichtigt werden, siehe Hyperelastizität#Orthotrope Hyperelastizität.^:380

Um die Formänderungsenergie nach ε ableiten zu können, müssen die Komponenten ε_ij als Funktion des Tensors ε ausgedrückt werden. Das gelingt mit der Darstellung des Frobenius-Skalarprodukts „:“ als Spur:

${\displaystyle \mathbf {A}$ :\mathbf {B} :=\mathrm {Spur} (\mathbf {A^{\top }\cdot B} )}

Darin bedeutet „·“ das Matrizenprodukt und das hochgestellte ⊤ eine Transponierung. Mit der Abkürzung ${\displaystyle \mathbf {K} _{ij}={\tfrac {1}{2}}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}+{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})}$ für die symmetrisierten dyadischen Produkte ⊗ der #Strukturvektoren ê_1,2,3 ist dann

${\displaystyle \mathbf {K} _{ij}:{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}(\varepsilon _{ij}+\varepsilon _{ji})=\varepsilon _{ij}\quad \rightarrow \quad {\frac {\mathrm {d} \varepsilon _{ij}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=\mathbf {K} _{ij}}$

Aus dem Ansatz der Formänderungsenergie berechnen sich die Spannungen zu

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})(\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22})+(b-a)(\varepsilon _{22}\mathbf {K} _{11}+\varepsilon _{11}\mathbf {K} _{22}-2\varepsilon _{12}\mathbf {K} _{12})\\&+c[\varepsilon _{33}(\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22})+(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})\mathbf {K} _{33}]+d\varepsilon _{33}\mathbf {K} _{33}+4e(\varepsilon _{13}\mathbf {K} _{13}+\varepsilon _{23}\mathbf {K} _{23})\\&+2f[\varepsilon _{23}(\mathbf {K} _{11}-\mathbf {K} _{22})+(\varepsilon _{11}-\varepsilon _{22})\mathbf {K} _{23}+2(\varepsilon _{13}\mathbf {K} _{12}+\varepsilon _{12}\mathbf {K} _{13})]\\&+2g[\varepsilon _{13}(\mathbf {K} _{11}-\mathbf {K} _{22})+(\varepsilon _{11}-\varepsilon _{22})\mathbf {K} _{13}-2(\varepsilon _{23}\mathbf {K} _{12}+\varepsilon _{12}\mathbf {K} _{23})]\end{aligned}}}$

oder in Voigt-Notation im ê_1,2,3-System

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\varepsilon _{11}+b\varepsilon _{22}+c\varepsilon _{33}+2f\varepsilon _{23}+2g\varepsilon _{13}\\b\varepsilon _{11}+a\varepsilon _{22}+c\varepsilon _{33}-2f\varepsilon _{23}-2g\varepsilon _{13}\\c(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22})+d\varepsilon _{33}\\2e\varepsilon _{23}+f(\varepsilon _{11}-\varepsilon _{22})-2g\varepsilon _{12}\\2e\varepsilon _{13}+2f\varepsilon _{12}+g(\varepsilon _{11}-\varepsilon _{22})\\-2g\varepsilon _{23}+2f\varepsilon _{13}+(a-b)\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b&c&f&g&0\\b&a&c&-f&-g&0\\c&c&d&0&0&0\\f&-f&0&e&0&-g\\g&-g&0&0&e&f\\0&0&0&-g&f&{\frac {a-b}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Die Parameter lassen sich den Einträgen in der #Steifigkeitsmatrix direkt zuordnen. Ableitung der Spannungen nach den Dehnungen liefert den konstanten und symmetrischen Elastizitätstensor 4. Stufe:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C}$ :={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}}=&a(\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22})\otimes (\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22})\\&+(b-a)(\mathbf {K} _{22}\otimes \mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{11}\otimes \mathbf {K} _{22}-2\mathbf {K} _{12}\otimes \mathbf {K} _{12})\\&+c(\mathbf {K} _{33}\otimes (\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22})+(\mathbf {K} _{11}+\mathbf {K} _{22})\otimes \mathbf {K} _{33})+d\mathbf {K} _{33}\otimes \mathbf {K} _{33}\\&+4e(\mathbf {K} _{13}\otimes \mathbf {K} _{13}+\mathbf {K} _{23}\otimes \mathbf {K} _{23})\\&+2f[\mathbf {K} _{23}\otimes (\mathbf {K} _{11}-\mathbf {K} _{22})+(\mathbf {K} _{11}-\mathbf {K} _{22})\otimes \mathbf {K} _{23}+2(\mathbf {K} _{13}\otimes \mathbf {K} _{12}+\mathbf {K} _{12}\otimes \mathbf {K} _{13})]\\&+2g[\mathbf {K} _{13}\otimes (\mathbf {K} _{11}-\mathbf {K} _{22})+(\mathbf {K} _{11}-\mathbf {K} _{22})\otimes \mathbf {K} _{13}-2(\mathbf {K} _{23}\otimes \mathbf {K} _{12}+\mathbf {K} _{12}\otimes \mathbf {K} _{23})]\end{aligned}}}

Die Voigt-Notation der Tensoren K_ij mit i≠j besitzen den Eintrag ½ an einer Stelle und sonst nur nullen. Mit den Definitionen V_i=K_ii für i=1,2,3 und V₄=2K₂₃, V₅=2K₁₃ sowie V₆=2K₁₂, deren Koeffizienten nur Nullen und Einsen sind, entsteht eine Darstellung des Elastizitätstensors, an der seine Voigt-Notation direkt ablesbar ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} =&(&a\mathbf {V} _{1}&+b\mathbf {V} _{2}&+c\mathbf {V} _{3}&+f\mathbf {V} _{4}&+g\mathbf {V} _{5}&&)\otimes \mathbf {V} _{1}\\&+(&b\mathbf {V} _{1}&+a\mathbf {V} _{2}&+c\mathbf {V} _{3}&-f\mathbf {V} _{4}&-g\mathbf {V} _{5}&&)\otimes \mathbf {V} _{2}\\&+(&c\mathbf {V} _{1}&+c\mathbf {V} _{2}&+d\mathbf {V} _{3}&&&&)\otimes \mathbf {V} _{3}\\&+(&f\mathbf {V} _{1}&-f\mathbf {V} _{2}&&+e\mathbf {V} _{4}&&-g\mathbf {V} _{6}&)\otimes \mathbf {V} _{4}\\&+(&g\mathbf {V} _{1}&-g\mathbf {V} _{2}&&&+e\mathbf {V} _{5}&+f\mathbf {V} _{6}&)\otimes \mathbf {V} _{5}\\&+(&&&&-g\mathbf {V} _{4}&+f\mathbf {V} _{5}&+{\frac {a-b}{2}}\mathbf {V} _{6}&)\otimes \mathbf {V} _{6}\end{aligned}}}$

Gründe für die Besetztheit der Steifigkeitsmatrix

In diesem Abschnitt wird die Frage geklärt, warum die #Steifigkeitsmatrix nur an den gegebenen Stellen besetzt ist. In der 6×6-Steifigkeitsmatrix können 21 unabhängige Materialkonstanten C_ij auftreten; im Fall der hexagonalen Anisotropie sind es fünf bis sieben. Warum das so ist, wird nachfolgend dargestellt.

Das maßgebliche Element der #Symmetriegruppen ist die 120-Grad- oder 60-Drehung um die 3-Achse. Der der 120-Grad-Drehung entsprechende orthogonale Tensor

${\displaystyle \mathbf {Q} _{3}^{2{\frac {\pi }{3}}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1&-{\sqrt {3}}&0\\{\sqrt {3}}&-1&0\\0&0&2\end{pmatrix}}}$

kann im 123-System mit einer Drehmatrix identifiziert werden. Bei hexagonaler Anisotropie gilt:

${\displaystyle w({\boldsymbol {\varepsilon }})=w(\mathbf {Q} _{3}^{2{\frac {\pi }{3}}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {Q} _{3}^{2{\frac {\pi }{3}}\top })}$

Die Transformation kann in Voigt’scher Notation mit einer 6×6-Matrix R ausgeführt werden:

${\displaystyle [{\boldsymbol {\varepsilon }}']:=[\mathbf {Q} _{3}^{2{\frac {\pi }{3}}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {Q} _{3}^{2{\frac {\pi }{3}}\top }]=R[{\boldsymbol {\varepsilon }}],\quad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]:={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}R=&{\begin{bmatrix}Q_{11}^{2}&Q_{12}^{2}&Q_{13}^{2}&{\frac {1}{2}}q_{1213}&{\frac {1}{2}}q_{1113}&{\frac {1}{2}}q_{1112}\\Q_{21}^{2}&Q_{22}^{2}&Q_{23}^{2}&{\frac {1}{2}}q_{2223}&{\frac {1}{2}}q_{2123}&{\frac {1}{2}}q_{2122}\\Q_{31}^{2}&Q_{32}^{2}&Q_{33}^{2}&{\frac {1}{2}}q_{3233}&{\frac {1}{2}}q_{3133}&{\frac {1}{2}}q_{3132}\\q_{2131}&q_{2232}&q_{2333}&q_{2233}&q_{2133}&q_{2132}\\q_{1131}&q_{1232}&q_{1333}&q_{1233}&q_{1133}&q_{1132}\\q_{1121}&q_{1222}&q_{1323}&q_{1223}&q_{1123}&q_{1122}\end{bmatrix}}\\=&{\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1&3&0&0&0&{\sqrt {3}}\\3&1&0&0&0&-{\sqrt {3}}\\0&0&4&0&0&0\\0&0&0&-2&2{\sqrt {3}}&0\\0&0&0&-2{\sqrt {3}}&-2&0\\-2{\sqrt {3}}&2{\sqrt {3}}&0&0&0&-2\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

und der Abkürzung ${\displaystyle q_{ijkl}:=Q_{ij}Q_{kl}+Q_{il}Q_{kj}}$ mit den Komponenten Q_ij des Tensors ${\displaystyle \mathbf {Q} _{3}^{2{\frac {\pi }{3}}}}$. Obige Bedingung an die Formänderungsenergie lautet mit diesen Matrizen

${\displaystyle w({\boldsymbol {\varepsilon }})={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\varepsilon }}]^{\top }C[{\boldsymbol {\varepsilon }}]=w({\boldsymbol {\varepsilon }}')={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\varepsilon }}']^{\top }C[{\boldsymbol {\varepsilon }}']={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\varepsilon }}]^{\top }R^{\top }CR[{\boldsymbol {\varepsilon }}]\quad \rightarrow \quad C':=R^{\top }CR=C}$

Die Bedingung C=C′ an die Steifigkeitsmatrix ist komponentenweise zu erfüllen und führt auf das lineare Gleichungssystem

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{16}=&{\frac {1}{16}}(4{\sqrt {3}}C_{66}-3^{\frac {3}{2}}C_{22}-8C_{16}+2{\sqrt {3}}C_{12}+{\sqrt {3}}C_{11})\\C_{22}=&{\frac {1}{16}}(12C_{66}+4{\sqrt {3}}C_{26}+C_{22}+43^{\frac {3}{2}}C_{16}+6C_{12}+9C_{11})\\C_{23}=&{\frac {1}{4}}(2{\sqrt {3}}C_{36}+C_{23}+3C_{13})\\C_{24}=&-{\frac {1}{8}}(6C_{56}+2{\sqrt {3}}C_{46}+{\sqrt {3}}C_{25}+C_{24}+3^{\frac {3}{2}}C_{15}+3C_{14})\\C_{25}=&-{\frac {1}{8}}(2{\sqrt {3}}C_{56}-6C_{46}+C_{25}-{\sqrt {3}}C_{24}+3C_{15}-3^{\frac {3}{2}}C_{14})\\C_{26}=&-{\frac {1}{16}}(4{\sqrt {3}}C_{66}+8C_{26}+{\sqrt {3}}C_{22}+2{\sqrt {3}}C_{12}-3^{\frac {3}{2}}C_{11})\\C_{33}=&C_{33}\\C_{34}=&-{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}C_{35}+C_{34})\\C_{35}=&-{\frac {1}{2}}(C_{35}-{\sqrt {3}}C_{34})\\C_{36}=&-{\frac {1}{4}}(2C_{36}+{\sqrt {3}}C_{23}-{\sqrt {3}}C_{13})\\C_{44}=&{\frac {1}{4}}(3C_{55}+2{\sqrt {3}}C_{45}+C_{44})\\C_{45}=&{\frac {1}{4}}({\sqrt {3}}C_{55}-2C_{45}-{\sqrt {3}}C_{44})\\C_{46}=&{\frac {1}{8}}(2{\sqrt {3}}C_{56}+2C_{46}+3C_{25}+{\sqrt {3}}C_{24}-3C_{15}-{\sqrt {3}}C_{14})\\C_{55}=&{\frac {1}{4}}(C_{55}-2{\sqrt {3}}C_{45}+3C_{44})\\C_{56}=&{\frac {1}{8}}(2C_{56}-2{\sqrt {3}}C_{46}+{\sqrt {3}}C_{25}-3C_{24}-{\sqrt {3}}C_{15}+3C_{14})\\C_{66}=&{\frac {1}{16}}(4C_{66}+4{\sqrt {3}}C_{26}+3C_{22}-4{\sqrt {3}}C_{16}-6C_{12}+3C_{11})\end{aligned}}}$

für die Komponenten C_ij der symmetrischen 6×6-Matrix C. Die Lösung

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{22}=&C_{11},&C_{23}=&C_{13},&C_{24}=&-C_{14},&C_{25}=&-C_{15},\\C_{46}=&-C_{15},&C_{55}=&C_{44},&C_{56}=&C_{14},&C_{66}=&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle C_{16}=C_{26}=C_{34}=C_{35}=C_{36}=C_{45}=0}$

ergibt die angegebene #Steifigkeitsmatrix. Bei dreizähliger Drehinversionsachse ist zusätzlich ${\displaystyle \mathbf {Q} _{1}^{\pi }}$ Element der Symmetriegruppe, das wie bei Tetragonale Anisotropie#Gründe für die Besetztheit der Steifigkeitsmatrix aufgezeigt, C₁₄=0 erfordert. In der Variante mit sechszähliger Drehachse ist

${\displaystyle \mathbf {Q} _{3}^{\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&-{\sqrt {3}}\\0&{\sqrt {3}}&1\end{pmatrix}}}$

Element der Symmetriegruppe g_R3 was analog

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{22}=&C_{11},&C_{23}=&C_{13},&C_{55}=&C_{44},&C_{66}=&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle C_{14}=C_{15}=C_{16}=C_{24}=C_{25}=C_{26}=C_{34}=C_{35}=C_{36}=C_{45}=C_{46}=C_{56}=0}$

mit sich bringt und die Steifigkeitsmatrix in der transversalen Isotropie mit ê₃ als Vorzugsrichtung erzeugt.