Die Hillsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

${\displaystyle \ y''(x)+q(x)y(x)=0}$

wobei ${\displaystyle q(x)}$ eine periodische Funktion ist. Sie ist nach George William Hill benannt und insbesondere für Probleme aus der Schwingungslehre von Bedeutung.

Sie hat für praktisch interessierende Fälle Lösungen der Form

${\displaystyle y(x)=C_{1}e^{\mu _{1}x}y_{1}(x)+C_{2}e^{\mu _{2}x}y_{2}(x)}$

mit ${\displaystyle \mu _{1}}$ und ${\displaystyle \mu _{2}}$ als so genannte charakteristische Exponenten.

Spezialfälle

Für die Parameterfunktion

${\displaystyle q(x)=q_{o}+\Delta q\cdot \cos(x)}$

geht die Hillsche Differentialgleichung in eine Mathieusche Differentialgleichung über.

Für die Parameterfunktion

${\displaystyle q(x)=q_{o}+\Delta q\cdot \operatorname {sgn}(\cos(x))}$

geht die Hillsche Differentialgleichung in eine Meißnersche Differentialgleichung über.

Siehe auch

• Parametrischer Oszillator
• Sturm-Liouville-Problem

Einzelnachweise

1. ↑ Kurt Magnus: Schwingungen: Physikalische Grundlagen und mathematische Behandlung von Schwingungen. 9., überarb. Auflage, Springer+Vieweg, 2013, Kapitel 4.3, ISBN 978-3-8348-2574-2.