Horozyklischer Fluss

In der Mathematik ist der horozyklische Fluss ein Beispiel eines algebraisch beschreibbaren chaotischen dynamischen Systems.

Definition

Es sei $F$ eine hyperbolische Fläche, also eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Form

F=\Gamma \backslash H^{2}

,

wobei $H^{2}$ die hyperbolische Ebene und $\Gamma \subset \operatorname {Isom} (H^{2})$ eine diskrete Gruppe von Isometrien ist.

Betrachte die hyperbolische Ebene $H^{2}$ und ihr Einheitstangentialbündel $T^{1}H^{2}$ . Die Wirkung der Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien

\mathrm {Isom} ^{+}(H^{2})\simeq {PSL}(2,\mathbb {R} )

auf $T^{1}H^{2}$ induziert eine Bijektion zwischen $PSL(2,\mathbb {R} )$ und $T^{1}H^{2}$ . Wir betrachten die Wirkung von $PSL(2,\mathbb {R} )$ auf $T^{1}H^{2}=PSL(2,\mathbb {R} )$ als Linkswirkung. Dann entspricht der horozyklische Fluss $\Psi _{t}$ der Rechtswirkung von $\left({\begin{array}{cc}1&t\\0&1\end{array}}\right)$ auf $PSL(2,\mathbb {R} )$ .

Diese Rechtswirkung $\Psi _{t}$ kommutiert mit der Linkswirkung von $\Gamma$ , induziert also eine wohldefinierte Wirkung $\Psi _{t}$ auf dem Einheitstangentialbündel

T^{1}F=\Gamma \backslash T^{1}H^{2}

,

die als horozyklischer Fluss bezeichnet wird.

Die Orbits des horozyklischen Flusses sind die Projektionen auf die Fläche $F$ der Einschränkungen des Einheitstangentialbündels $T^{1}H^{2}$ auf den Horozykeln in der hyperbolischen Ebene.

Eigenschaften

Wechselwirkung mit anderen Flüssen

Eine häufig verwendete Eigenschaft des horozyklischen Flusses ist seine Wechselwirkung mit dem geodätischen Fluss $\Phi _{t}$ . Es gilt

\Phi _{s}\Psi _{t}\Phi _{-s}=\Psi _{e^{2s}t}

für alle $s,t\in \mathbb {R}$ . Insbesondere sind die Orbits des horozyklischen Flusses die stabilen Mannigfaltigkeiten des geodätischen Flusses.

Häufig wird auch der sogenannte negative horozyklische Fluss $\Psi _{t}^{-}$ betrachtet, dessen Wirkung auf $T^{1}H^{2}=PSL(2,\mathbb {R} )$ durch die Rechts-Wirkung von $\left({\begin{array}{cc}1&0\\t&1\end{array}}\right)$ auf $PSL(2,\mathbb {R} )$ gegeben ist. Für diesen gilt

\Phi _{s}\Psi _{t}^{-}\Phi _{-s}=\Psi _{e^{-2s}t}^{-}

,

seine Orbits sind die unstabilen Mannigfaltigkeiten des geodätischen Flusses.

Kompakte Flächen

Wenn $F$ kompakt ist, dann ist der horozyklische Fluss minimal, ergodisch bzgl. des Liouville-Maßes (welches im Fall hyperbolischer Flächen mit dem Bild des Haar-Maßes unter der Projektion $PSL(2,\mathbb {R} )=T^{1}H^{2}\to T^{1}F$ übereinstimmt) und sogar eindeutig ergodisch, d. h. jedes Fluss-invariante Maß ist ein skalares Vielfaches des Liouville-Maßes. Insbesondere sind alle Orbits gleichverteilt bzgl. des Liouville-Maßes.

Nichtkompakte Flächen endlichen Volumens

Wenn $F$ endliches Volumen (bzgl. des Haar-Maßes) hat, aber nicht kompakt ist, dann hat man periodische Orbits (entsprechend den geschlossenen Horozykeln um die Spitzen von $F$ ), aber mit Ausnahme der Linearkombinationen von Dirac-Maßen auf diesen periodischen Orbits sind die skalaren Vielfachen des Liouville-Maßes wieder die einzigen Fluss-invarianten Maße und alle nichtperiodischen Orbits sind gleichverteilt bzgl. des Liouville-Maßes.

Literatur

Ghys, Étienne: Dynamique des flots unipotents sur les espaces homogènes. Séminaire Bourbaki, Vol. 1991/92. Astérisque No. 206 (1992), Exp. No. 747, 3, 93–136.
Morris, Dave Witte: Ratner's theorems on unipotent flows. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2005. ISBN 0-226-53983-0; 0-226-53984-9

Einzelnachweise

↑ Hedlund, Gustav A.: Fuchsian groups and transitive horocycles. Duke Math. J. 2 (1936), no. 3, 530–542.
↑ Furstenberg, Harry: The unique ergodicity of the horocycle flow. Recent advances in topological dynamics (Proc. Conf., Yale Univ., New Haven, Conn., 1972; in honor of Gustav Arnold Hedlund), pp. 95–115. Lecture Notes in Math., Vol. 318, Springer, Berlin, 1973.
↑ Dani, S. G.: Invariant measures of horospherical flows on noncompact homogeneous spaces. Invent. Math. 47 (1978), no. 2, 101–138.
↑ Dani, S. G.; Smillie, John: Uniform distribution of horocycle orbits for Fuchsian groups. Duke Math. J. 51 (1984), no. 1, 185–194.

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[1] Hedlund, Gustav A.: Fuchsian groups and transitive horocycles. Duke Math. J. 2 (1936), no. 3, 530–542.

[2] Furstenberg, Harry: The unique ergodicity of the horocycle flow. Recent advances in topological dynamics (Proc. Conf., Yale Univ., New Haven, Conn., 1972; in honor of Gustav Arnold Hedlund), pp. 95–115. Lecture Notes in Math., Vol. 318, Springer, Berlin, 1973.

[3] Dani, S. G.: Invariant measures of horospherical flows on noncompact homogeneous spaces. Invent. Math. 47 (1978), no. 2, 101–138.

[4] Dani, S. G.; Smillie, John: Uniform distribution of horocycle orbits for Fuchsian groups. Duke Math. J. 51 (1984), no. 1, 185–194.