Mathematische Formulierung

Die Kopplung bewirkt, dass der Gesamtdrehimpuls ${\displaystyle {\vec {F}}}$ des Atoms, der die Summe des Hüllendrehimpulses ${\displaystyle {\vec {J}}}$ und des Kernspins ${\displaystyle {\vec {I}}}$ darstellt, gequantelt ist:

${\displaystyle |{\vec {F}}|=\hbar {\sqrt {F(F+1)}}=|{\vec {J}}+{\vec {I}}|.}$

Die Quantenzahl ${\displaystyle F}$ ist halb- oder ganzzahlig und kann die Werte ${\displaystyle \{|J-I|,\dots ,J+I\}}$ im Abstand von 1 annehmen.

Die Wechselwirkungsenergie beträgt

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta V_{\mathrm {HFS} }&=-{\vec {\mu }}_{I}\cdot {\vec {B}}_{J}\\&=g_{I}\cdot \mu _{\mathrm {N} }\cdot B_{J}\,{\frac {F(F+1)-[J(J+1)+I(I+1)]}{2{\sqrt {J(J+1)}}}}\\&={\frac {A}{2}}\,\left(F(F+1)-[J(J+1)+I(I+1)]\right).\end{aligned}}}$

Dabei ist

• ${\displaystyle g_{I}}$ der Landé-Faktor des Kerns
• ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }={\frac {e\hbar }{2m_{\mathrm {p} }}}}$ das Kernmagneton
  • ${\displaystyle e}$ die elektrische Elementarladung
  • ${\displaystyle \hbar }$ die reduzierte Planck-Konstante
  • ${\displaystyle m_{\mathrm {p} }}$ die Protonenmasse
• ${\displaystyle A={\frac {g_{I}\mu _{\mathrm {N} }B_{J}}{\sqrt {J(J+1)}}}}$ die Hyperfeinstruktur-Konstante.

Das magnetische Moment und der Drehimpuls des Kerns stehen in folgender Beziehung:

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{I}={\frac {g_{I}\mu _{\mathrm {N} }}{\hbar }}{\vec {I}}.}$

Zur Bestimmung von ${\displaystyle V_{\mathrm {HFS} }}$ benötigt man die Größen ${\displaystyle g_{I}}$ und ${\displaystyle B_{J}}$. Der Wert von ${\displaystyle g_{I}}$ kann durch Kernspinresonanz-Messungen bestimmt werden, der von ${\displaystyle B_{J}}$ aus der Wellenfunktion der Elektronen, die allerdings für Atome mit einer Ordnungszahl größer 1 nur numerisch zu berechnen ist.

Anwendungen

Übergänge zwischen Hyperfeinstrukturzuständen werden in Atomuhren verwendet, weil ihre Frequenz (wie die aller atomarer Übergänge) in Abwesenheit äußerer Einflüsse konstant ist. Außerdem sind sie sehr genau mit relativ einfachen Mitteln zu erzeugen und zu messen, da sie im Radiofrequenz- oder Mikrowellenbereich liegen. Seit 1967 wird die SI-Einheit Sekunde mittels Übergängen zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes des Caesium-Isotops ¹³³Cs festgelegt.

Die Frequenz für den Übergang des Grundzustandes des Wasserstoffatoms zwischen ${\displaystyle F=1}$ und ${\displaystyle F=0}$ (Spin-Flip) beträgt 1,42 GHz, was einer Energiedifferenz von 5,87 μeV und einer Wellenlänge von 21 cm entspricht. Diese sog. HI-Linie (H-Eins-Linie) ist von großer Bedeutung für die Radioastronomie. Durch Messung der Dopplerverschiebung dieser Linie lässt sich die Bewegung interstellarer Gaswolken relativ zur Erde bestimmen.