Investitionskurve

Um die Beziehung zwischen Zinssatz und Investition in das Modell einzubeziehen, wird die Abhängigkeit I=I(i) verwendet (Abbildung 1). Die Investitionsfunktion wird wie folgt dargestellt:

${\displaystyle \ I={\overline {I}}-bi}$

mit

• ${\displaystyle {\overline {I}}}$ = autonome Investition
• b= Zinsreagibilität

Die Variable ${\displaystyle {\overline {I}}}$ ist die Investition, die vom Einkommen und Zinssatz unabhängig ist.

Die Variable b ist das Maß, wie stark die Investitionen auf das Zinsniveau reagieren. Die Funktion kann für jedes Zinsniveau den geplanten Investitionsbetrag zeigen. Formt man diese Formel nach i um, erhält man die Funktion:

${\displaystyle \ i=-{\frac {1}{b}}\times I+{\frac {1}{b}}\times {\overline {I}}}$.

Zu beachten ist hier, dass es sich bei b und ${\displaystyle {\overline {I}}}$ um Konstanten, also fixe Größen handelt.

Sie entspricht der grafischen Darstellung in der Abbildung 1.

Eine hohe Variable b – gemeint ist eine starke Reaktion der Investitionen auf die Zinsveränderungen – führt zu einer flachen Kurvendarstellung. Schon geringe Zinsveränderungen führen bei einer flachen Kurve zu starken Veränderungen des Investitionsvolumens. Die Steigung der Geraden beträgt -1/b. Sie beschreibt eine inverse Beziehung zwischen Investition und Zinsen. Ein Anheben der Zinssätze hat einen Rückgang der Investitionen zur Folge. Weil der Zinssatz die Kosten der Investitionsfinanzierung darstellt, führt eine Zunahme des Zinssatzes zu einer Abnahme der Investitionen. Weiterhin lässt sich dadurch ableiten, dass eine negative Beziehung zwischen Zinssatz und Einkommensniveau auf dem Gütermarkt besteht, d. h., insgesamt vermindert sich bei der Erhöhung des Zinssatzes das Gleichgewichtseinkommen.

Würde die Bank die Zinsen für ihre Kredite erhöhen, hat das verschiedene Auswirkungen.

1. Die Investitionen (I) nehmen ab, weil der Kapitalstock nicht durch die Aufnahme neuer Kredite erhöht wird, d. h. es werden weniger Kredite aufgenommen.
2. Bei der Verminderung der Investitionen verringern sich die Gesamtausgaben. Dies führt zu einem geringeren Einkommensniveau.

Im Falle einer Verringerung des Zinssatzes wäre der gegenteilige Effekt zu beobachten.

Sparvolumen

Das Sparvolumen wird definiert als:

${\displaystyle \ S\equiv Y_{\text{D}}-C}$

mit

• ${\displaystyle Y_{\text{D}}}$ = verfügbare Einkommen
• ${\displaystyle C}$ = Konsumausgaben der privaten Haushalte

${\displaystyle \ Y_{\text{D}}=Y-T}$

mit

• T= Steuern

In dieser Formel werden z. B. die Sozialversicherung und die Transferleistungen zu „0“ solidiert, d. h., sie werden nicht beachtet. Ein Praxisbeispiel ist die Entscheidung des Staates, die Steuern zu erhöhen. Diese Erhöhung bewirkt, dass dem Haushalt weniger Einkommen zur Verfügung steht und er weniger konsumieren kann.

Das Sparvolumen kann somit als die Funktion:

${\displaystyle \ S=Y-T-C}$

dargestellt werden. Nach der Veränderung der Formel hängt das Sparvolumen nicht nur von den Steuern, sondern auch von den Konsumausgaben der privaten Haushalte ab.

Gleichgewicht auf dem Gütermarkt

Um nun zu der IS-Funktion zu gelangen, wird das Gleichgewicht auf dem Gütermarkt dargestellt:

${\displaystyle \ Y=Z}$

mit

• Y= Produktion
• Z= Güternachfrage

Die gesamtwirtschaftliche Nachfrage kann beschrieben werden als die Summe der Investitionen, der Staatsausgaben und der Konsumnachfrage:

${\displaystyle \ Z=C+I+G}$

mit

• G= Staatsausgaben

Bei einer geschlossenen Volkswirtschaft kann der Außenbeitrag vernachlässigt werden.

So ergibt sich:

${\displaystyle \ Y=C+I+G}$

Ableitung der IS-Funktion

Durch das Umformen ( | -T | -C) erlangt man die Funktion:

${\displaystyle \ Y-T-C=I+G-T}$

An vorhergehender Stelle wurde der Term Y-T-C bereits als S definiert und erhält nach dem Umformen ( | +T | -G):

${\displaystyle \ I=S+(T-G)}$

Die einzelnen Variablen können wie folgt definiert werden:

• S = privates Sparen

• (T-G)= staatliches Sparen

Wenn das Staatsbudget ausgeglichen ist, kann die Gleichung vereinfacht als ${\displaystyle I=S}$ dargestellt werden.

Gesamtwirtschaftliche Zusammenhänge der IS-Funktion

Beachtet werden muss weiterhin, dass Konsum und Sparentscheidung zusammenhängen. Sobald der Haushalt bei seinem gegebenen verfügbaren Einkommen seinen Konsumplan festgelegt hat, werden über die Budgetbeschränkungen auch die Ersparnisse festgelegt. So wie das Konsumverhalten spezifiziert ist, ergibt sich für das Sparverhalten:

${\displaystyle \ S=Y-T-C}$,

${\displaystyle \ S=Y-T-c_{\text{ 0}}-c_{\text{ 1}}(Y-T)}$,

mit

• ${\displaystyle c_{\text{ 0}}}$= autonome Konsumquote
• ${\displaystyle c_{\text{ 1}}}$= marginale Konsumquote

Durch Umformen erhält man:

${\displaystyle \ S=-c_{\text{ 0}}+(1-c_{\text{ 1}})(Y-T)}$

Die Variable ${\displaystyle c_{\text{ 1}}}$ gibt an, wie viel von dem verfügbaren Einkommen ${\displaystyle Y_{\text{ D}}}$ oder ${\displaystyle (Y-T)}$ konsumiert wird. Die Variable ${\displaystyle c_{\text{ 1}}}$ kann als Konsumneigung interpretiert werden, so kann der gegenteilige Ausdruck ${\displaystyle (1-c_{\text{ 1}})}$ als Sparneigung bezeichnet werden. Sie gibt an, wie viel ein Konsument bereit ist von einer zusätzlichen Einheit Einkommen zu sparen. Weil für die Konsumneigung angenommen wird ${\displaystyle 0<c_{\text{ 1}}<1}$, liegt der Wert der Sparneigung zwischen null und eins. Weiterhin kann man sagen, dass die privaten Ersparnisse (Y-T) nur im Umfang von ${\displaystyle (1-c_{\text{ 1}})<1}$ steigen können.

Wird nun in die IS-Funktion ${\displaystyle I=S+(T-G)}$ für die privaten Ersparnisse der obere Ausdruck eingesetzt, ergibt sich:

${\displaystyle \ {\overline {I}}=-c_{\text{ 0}}+(1-c_{\text{ 1}})(Y-T)+(T-G)}$

oder nach Einkommen aufgelöst:

${\displaystyle \ Y={\frac {1}{1-c_{\text{ 1}}}}(c_{\text{ 0}}+{\overline {I}}+G-c_{\text{ 1}}T)}$.

Diese Formel kann nun genutzt werden um das Sparparadoxon zu betrachten, welches von Keynes betont wurde. Entschließt sich der Konsument mehr zu sparen bei einem gegebenen Einkommen, d. h. ${\displaystyle c_{\text{1}}}$ reduziert sich, so wird der Konsum vermindert und die Ersparnisse steigen an. Die obige Gleichung zeigt, dass das Gleichgewichtseinkommen zurückgeht. Die gesunkene Konsumnachfrage lässt wiederum die Produktion sinken. Die Konsumenten sparen nun bei jedem Einkommensniveau mehr, d. h. die Ersparnisse nehmen zu. Gleichzeitig sinkt das Einkommen, dadurch werden die Ersparnisse reduziert. Welchen Effekt hat diese Veränderung? Durch die Gleichgewichtsbedingung der Gleichung I=S+(T-G) wird deutlich, dass die Ersparnisse sich nicht ändern können, da G und T das Staatsbudget definieren und I unverändert bleibt. Der Versuch des Konsumenten mehr zu sparen, führt dazu, dass die Produktion zurückgeht und somit die Ersparnisse gleich bleiben. Dieses Ergebnis wird als Sparparadoxon bezeichnet.

Voraussetzungen

Um die IS-Kurve darstellen und erläutern zu können, müssen vorab die Bestandteile der Kurve definiert werden. Die IS-Kurve ergibt sich durch das Gleichsetzen von Investition und Sparen (I=S). Diese Ausführung muss allerdings noch erweitert werden, um die dahinter stehende Wirkungskette zu verstehen. Die Investitionen müssen um die Zinsabhängigkeit ergänzt werden und das Sparen um die Einkommensabhängigkeit. Somit ergibt sich folgende exaktere Darstellung der IS-Kurve: I(i)=S(Y). Die Investitionen im Modell werden zu 100 % über den Markt finanziert. Das Geld muss daher aus den Sparleistungen der Haushalte kommen.

Im Falle eines variablen Zinses lässt sich für jede Zinshöhe ein entsprechendes Einkommen feststellen. Dies sorgt dafür, dass I und S übereinstimmen. Zusammenfassend lässt sich bei einer Zinserhöhung folgende Wirkungskette ableiten. Durch die steigenden Zinsen werden Investitionen kostspieliger. Dies hat zur Folge, dass die Nachfrage nach Investitionen sinkt. Dadurch wiederum wird ein kontraktiver Multiplikatorprozess ausgelöst und das Einkommen sinkt, was sich wiederum negativ auf das Sparverhalten auswirkt. Somit stehen Investitionen und Sparen wieder im Gleichgewicht. Diese Ausführungen führen zu folgendem Ergebnis:

• ${\displaystyle S=S{(Y)}}$ Sparleistung ist positiv vom Einkommen abhängig.

• ${\displaystyle I=I{(i,r^{e})}}$ Investitionen sind negativ vom Zins abhängig, jedoch ist die Investitionsmenge auch von den erwarteten Erträgen abhängig.

Die IS-Kurve lässt sich anhand von zwei möglichen Wegen erläutern: zum einen durch das Vier-Quadranten-Schema (aus Kapitalsicht) und zum anderen ausgehend von der gesamtwirtschaftlichen Nachfragekurve (aus Gütersicht).

Ableitung der IS-Kurve aus der gesamtwirtschaftlichen Nachfragekurve

Ausgangspunkt ist die grafische und mathematische Darstellung der gesamtwirtschaftlichen Nachfrage (AD) einer geschlossenen Volkswirtschaft, mit einem Gleichgewicht im Punkt A. Auf der erkennbaren 45°- Linie ist die Gleichgewichtsbedingung erfüllt, d. h. AD=Y.

Allgemein setzt sich die Nachfragefunktion wie folgt zusammen (ausgehend von einer geschlossenen Volkswirtschaft): AD= C+I+G. Diese Formel lässt sich jedoch noch konkretisieren. Die Variable G steht für die Staatsausgaben. Der Konsum schlüsselt sich in C=c₀+c₁(Y-T) auf, mit folgender Bedeutung der Variablen:

• C: Konsum
• c₀: autonomer Konsum
• c₁: marginale Konsumquote
• Y: Einkommen
• T: Steuern

Die Investitionen zerlegen sich in I=Ī-b_i, mit den Variablen:

• I: von Unternehmen getätigte Investitionen
• Ī: autonome Investitionen (d. h.: vom Zinsniveau und Einkommen unabhängig)
• b: Maß, wie stark die Investitionen auf das Zinsniveau reagieren (Zinsreagibilität)
• i: Zinsniveau

Es ergibt sich die Nachfragefunktion: AD= c₀+c₁(Y-T)+Ī-b_i+G

Die folgende Grafik zeigt zwei AD-Kurven, jeweils für zwei unterschiedliche Zinsniveaus (Zinsniveau i'>i). Durch den Zinsanstieg geht für jedes Produktionsniveau die Nachfrage nach Investitionen und somit auch die Produktion zurück. Daraus resultiert ein Einkommensrückgang und ein Rückgang vom Konsum. Aufgrund des Multiplikatoreffekts ist der Gesamtrückgang der Investitionen viel größer als der Rückgang der Investitionen durch den Zinsanstieg.

Anhand dieser Verschiebung der AD-Kurve wird nun die IS-Kurve abgeleitet. Hierfür wird zuerst der Gleichgewichtspunkt A (mit einem entsprechenden Einkommen und einem gegebenen Zinssatz) in das IS-Diagramm übertragen. Nach der eben erläuterten Zinserhöhung wird nun wiederum der neue, daraus entstehende, Zins-/Einkommenpunkt in das IS-Diagramm übertragen. Werden beide Punkte miteinander verbunden, ergibt sich die IS-Kurve.

Das Vier-Quadranten-Schema

Eine etwas komplexere und aufwendigere Herleitungsmöglichkeit ist das Vier-Quadranten-Schema, anhand dieser Grafik:

Die IS-Kurve wird geometrisch im ersten Quadranten ermittelt. Hierfür wird zum einen die Investitionskurve im zweiten Quadranten und zum anderen die Sparkurve im vierten Quadranten hinzugezogen. Der dritte Quadrant zeigt die Gleichgewichtsbedingung ${\displaystyle I=S}$, die auf der Winkelhalbierenden immer erfüllt ist. Die Sparfunktion setzt sich aus Sparen und Einkommen zusammen, wobei das Sparen positiv vom Einkommen abhängig ist. Je mehr vom verfügbaren Einkommen (nach Abzug der Steuern und des Konsums) noch vorhanden ist, desto mehr wird gespart (${\displaystyle S=Y-T-C}$). Die Investitionsfunktion besteht aus Zins und Investitionen. Je höher die Zinsen sind, desto weniger wird investiert. Anhand dieser Funktionen lässt sich zusammenfassend die IS-Kurve und die damit einhergehende Wirkungskette erklären. Im Falle eines steigenden Zinses sinkt die Nachfrage nach Investitionen. Durch den dadurch entstehenden Produktionsrückgang sinken auch das Einkommen und das Sparen. Somit ist die Gleichung der IS-Kurve wieder erfüllt (${\displaystyle I(i)=S(Y)}$).

Steigung

Die IS-Kurve hat eine negative Steigung, da bei einer Erhöhung des Zinssatzes (+) das Einkommen sinkt (-): Die Unternehmen fragen weniger Kapital nach, produzieren dadurch weniger Güter und zahlen den Haushalten daher weniger Einkommen.

Da der Zinssatz meist als unbeeinflussbar angesehen wird, hängt der Wert der Steigung und damit die Höhe des Einkommens von der Zinselastizität der Investitionsnachfrage ab. Diese Größe gibt an, wie stark sich eine prozentuale Änderung am Zinssatz prozentual auf die Nachfrage nach Investitionsgütern auswirkt.

Je elastischer (stärker) die Nachfrage nach Investitionsgütern auf Zinssatzänderungen reagiert, desto flacher verläuft die Kurve bis hin zur Waagrechten bei vollkommener Elastizität. Das andere Extrem ist eine vollkommen unelastische Elastizität, die zu einer senkrechten IS-Kurve führt.

Verschiebung der IS-Kurve

Ausgehend von der gesamtwirtschaftlichen Nachfrage kann sehr gut eine mögliche Verschiebung der IS-Kurve verdeutlicht werden. Bisher wurde die IS-Kurve bei gegebenen Steuern T und bei gegebenen Staatsausgaben G dargestellt. Zinsbedingte Veränderungen schlugen sich lediglich im Verlauf der Kurve nieder. Wird nun eine dieser zinsunabhängigen Nachfragegrößen verändert, führt dies zu einer Verschiebung.

Folgende Grafik verdeutlicht diesen Vorgang:

Ausgangspunkt ist die IS-Kurve bei gegebenen T und G.

Untersucht wird die Verschiebung bei einer Steuererhöhung von T auf T’. Das Einkommen und der Konsum nimmt infolgedessen ab (bei gegebenen Zins). Es ergibt sich ein Rückgang der Güternachfrage und damit auch ein Rückgang des Gleichgewichtseinkommens. Grafisch verschiebt sich die IS-Kurve dadurch nach links.

Zu gleichem Ergebnis würde ein Rückgang der Staatsausgaben oder ein Verlust an Konsumentenvertrauen führen.

Ein gegenteiliger Effekt ergibt sich aus Steuersenkungen, einer Erhöhung der Staatsausgaben oder einem Zuwachs an Konsumentenvertrauen. Bei allen drei Faktoren würde das Gleichgewichtseinkommen steigen und die IS-Kurve würde sich infolgedessen nach rechts verschieben (bei gegebenen Zins).