ISBN-13

ISBN-13 wurde aufgrund der Knappheit der möglichen ISBN-10-Zahlenkombinationen eingeführt und ist das seit 2007 verpflichtende Format, Beispiel: ISBN 978-3-8668-0192-9

Zur Berechnung der Prüfziffer bei der ISBN-13 werden alle zwölf Ziffern der noch unvollständigen ISBN addiert, wobei die Ziffern mit gerader Position (also die zweite, vierte und so weiter) dreifachen Wert erhalten. Eine 5 an sechster Stelle beispielsweise fließt also als 15 in den Term ein. Von dem Ergebnis dieser Addition wird die letzte Stelle bestimmt, die dann von 10 subtrahiert wird. Bei einem Additionsergebnis von zum Beispiel 124 erhält man also 10 − 4 = 6. Dieses Endergebnis ist die Prüfziffer. Ist das Endergebnis 10, ist die Prüfziffer 0. Bezeichnet man die ersten zwölf Ziffern mit z₁ bis z₁₂, so gilt für die Prüfziffer an der dreizehnten Stelle:

${\displaystyle z_{13}=(10-((z_{1}+z_{3}+z_{5}+z_{7}+z_{9}+z_{11}+3\cdot (z_{2}+z_{4}+z_{6}+z_{8}+z_{10}+z_{12})){\bmod {1}}0)){\bmod {1}}0}$

Das letzte Modulo dient dem Einhalten der sogenannten „Null-Regel“, die besagt, dass die Prüfziffer selbst 0 wird, wenn das Ergebnis der Prüfziffernberechnung 10 ist. Als Folge dieser Methode lässt sich die Gültigkeit einer ISBN-13 überprüfen, indem man

${\displaystyle (z_{1}+z_{3}+z_{5}+z_{7}+z_{9}+z_{11}+z_{13}+3\cdot (z_{2}+z_{4}+z_{6}+z_{8}+z_{10}+z_{12})){\bmod {1}}0}$

berechnet: Das Resultat muss 0 sein. Etwas schlichter: Die wie beschrieben mit 1 und 3 abwechselnd gewichtete „Quersumme“ endet auf 0.

Man kann auch schreiben:

${\displaystyle z_{13}=10-\left(\sum _{i=1}^{12}z_{i}\cdot 3^{(i+1){\bmod {2}}}\right){\bmod {1}}0=10-\left(\sum _{i=1}^{12}(1+(i+1){\bmod {2}}\cdot 2)\cdot z_{i}\right){\bmod {1}}0}$

woraus sich einfach die Implementierung schreiben lässt. Das (i+1)mod 2 sorgt für die wechselnde Gewichtung von 1 und 3. Erstreckt man die Summierung auch auf die Prüfziffer (${\displaystyle n=13}$), so erhält man bei einer fehlerfreien ISBN als Ergebnis 0.

Beispiel:

978-3-7657-2781-?

${\displaystyle 9+8+7+5+2+8+3\cdot (7+3+6+7+7+1)=39+3\cdot 31=39+93=132}$

${\displaystyle 132{\bmod {1}}0=2}$

${\displaystyle 10-2=8}$

ISBN-10

Bei der ISBN-10 wird die Prüfziffer wie folgt berechnet: Bezeichnet man die ersten neun Ziffern mit z₁ bis z₉, so gilt für die Prüfziffer an der zehnten Stelle:

${\displaystyle z_{10}=\left(\sum _{i=1}^{9}i\cdot z_{i}\right)\mod {11}}$

${\displaystyle =(1\cdot z_{1}+2\cdot z_{2}+3\cdot z_{3}+4\cdot z_{4}+5\cdot z_{5}+6\cdot z_{6}+7\cdot z_{7}+8\cdot z_{8}+9\cdot z_{9})\mod {11}}$

Dabei wird wie gewohnt der Laufindex von links nach rechts gezählt. Bei einem Ergebnis von 0 bis 9 wird daraus unmittelbar die Prüfziffer; ergibt die Formel den Wert 10, wird ein X als letztes Zeichen verwendet, welches als römische Zahl 10 interpretiert werden kann.

Beispiel:

3-86680-192-?

${\displaystyle 1\cdot 3+2\cdot 8+3\cdot 6+4\cdot 6+5\cdot 8+6\cdot 0+7\cdot 1+8\cdot 9+9\cdot 2}$

= 3 + 16 + 18 + 24 + 40 + 0 + 7 + 72 + 18

= 198

198 mod 11 = 0, denn 198: 11 = 18, Rest 0.

Ergebnis: 3-86680-192-0

Beispiel II:

3-680-08783-?

${\displaystyle 1\cdot 3+2\cdot 6+3\cdot 8+4\cdot 0+5\cdot 0+6\cdot 8+7\cdot 7+8\cdot 8+9\cdot 3}$

= 3 + 12 + 24 + 0 + 0 + 48 + 49 + 64 + 27

= 227

227 mod 11 = 7, denn 227: 11 = 20, Rest 7.

Ergebnis: 3-680-08783-7

Bei der Prüfung, ob eine eingegebene ISBN korrekt ist, kann nach den Regeln der Modulo-Rechnung folgende Bedingung geprüft werden.

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{10}i\cdot z_{i}\right)\mod {11}=0}$

Man addiert das 10-Fache der 10. Ziffer (wobei die Ziffer X als Zahl 10 gilt). Da in der Modulo-11-Rechnung 10 dasselbe ist wie −1, ist es das Gleiche, wenn man die 10. Ziffer subtrahiert. Damit muss, modulo 11 gerechnet, insgesamt 0 herauskommen.

Beispiel II von eben:

3-680-08783-7

${\displaystyle 1\cdot 3+2\cdot 6+3\cdot 8+4\cdot 0+5\cdot 0+6\cdot 8+7\cdot 7+8\cdot 8+9\cdot 3+10\cdot 7}$

= 3 + 12 + 24 + 0 + 0 + 48 + 49 + 64 + 27 + 70

= 297

297 mod 11 = 0, denn 297: 11 = 27, Rest 0