Das idealisierte Treibhausmodell ist ein einfaches Modell zur Bestimmung der Oberflächen- und der Atmosphärentemperatur der Erde oder eines anderen Planeten. Mit Hilfe eines idealisierten Planeten kann der Treibhauseffekt illustriert werden; dieses Modell ist üblich in entsprechenden Lehrbüchern.

Überblick

Die Oberfläche der Sonne strahlt elektromagnetische Wellen im sichtbaren Bereich und darüber hinaus, etwa als Wärmestrahlung, ab. Die Strahlung entspricht der eines Körpers einer effektiven Temperatur von ca. 5.500 °C. Die Erde ist erheblich kälter und strahlt – wie es das plancksche Strahlungsgesetz beschreibt – bei erheblich längeren Wellenlängen, vor allem im Infrarotbereich. Das idealisierte Treibhausmodell fußt darauf, dass bestimmte Gase der Erdatmosphäre für kurzwellige elektromagnetische Sonnenstrahlen (wie z. B. sichtbares Licht) transparent, für die von der Erdoberfläche emittierte langwellige Wärmestrahlung jedoch wenig durchlässig sind. Zu diesen Gasen zählen z. B. Kohlenstoffdioxid und Wasserdampf. Wärme kann also leicht in die Atmosphäre eindringen, wird dort aber teilweise festgehalten. Das beeinflusst den Strahlungshaushalt der Erde nachhaltig.

Das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz besagt, dass jeder Körper, der sich im thermischen Gleichgewicht befindet, die von ihm absorbierte Energie wieder emittieren muss. Ein isotroper Körper strahlt in alle Richtungen gleichermaßen. Folglich strahlt die Atmosphäre im langwelligen Infrarotbereich auch in Richtung Boden, was Atmosphärische Gegenstrahlung genannt wird. In diesem Modell erwärmen die Treibhausgase die Planetenoberfläche auf eine höhere Temperatur, als ohne sie beobachtbar wäre. Dieser Temperaturversatz führt zu einer verstärkten Abstrahlung, bis letztlich auch der zunächst zurückgehaltene Teil der eingestrahlten Wärme an der Oberseite der Atmosphäre abgestrahlt wird.

Der Modellplanet

Für den Modellplaneten werden folgende vereinfachte Annahmen getroffen und Größen betrachtet:

• Der Planet hat perfekte Kugelgestalt.
• Der Planet erhält eine zeitlich konstante Strahlung (das Sonnenlicht) von seinem Zentralgestirn.
• S₀ bezeichnet die Solarkonstante des Planeten Erde. Diese gibt für senkrecht auf der Planetenoberfläche auftreffendes Sonnenlicht die Bestrahlungsstärke an.
• Der Planet hat eine von Ort und Zeit unabhängige Albedo, die auch als von der Wellenlänge des einfallenden Sonnenlichts unabhängig angenommen wird.
• α_P bezeichnet die Albedo des Planeten.
• T_s bezeichnet die Temperatur der Planetenoberfläche – diese wird als überall konstant angenommen. Der Index s steht für englisch surface.
• T_a bezeichnet die Temperatur der Atmosphäre des Planeten – auch diese wird als überall konstant angenommen.
• Der Planet ist bezüglich Strahlung und Temperatur im Gleichgewicht: Abhängig von der erhaltenen Strahlungsmenge haben sich die beiden Temperaturen T_s und T_a passend eingestellt.

Im Gleichgewicht stellen sich Werte für T_s und T_a ein, so dass die von der Oberseite der Atmosphäre abgegebene Strahlungsleistung gleich der von der Atmosphäre absorbierten Strahlungsleistung ist. Das ankommende Sonnenlicht ist kurzwellig und die vom Planeten abgegebene Strahlung langwellig. Beide Strahlungsströme haben eigene, unterschiedliche Emissions- und Absorptionscharakteristiken.

Im idealisierten Modell nehmen wir zusätzlich an, dass die Atmosphäre für Sonnenlicht vollständig transparent ist und die Oberfläche für langwellige Strahlung einen Emissionsgrad von 1 besitzt, also ein schwarzer Körper ist. Wie oben schon erwähnt, ist nach dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz der Absorptionsgrad der Atmosphäre bei jeder Wellenlänge gleich ihrem Emissionsgrad. Die von der Oberfläche des Planeten abgegebene Strahlung kann im Vergleich zur Atmosphäre eine leicht verschiedene spektrale Zusammensetzung zeigen. Im Modell wird angenommen, dass der mittlere Emissionsgrad (= Absorptionsgrad) beider Strahlströme bei der Interaktion mit der Atmosphäre identisch ist. Folglich steht das Symbol ε für Emissions- und Absorptionsgrad jedes Infrarotstrahlungsstroms der Atmosphäre.

Modellrechnung

Der Planet mit seiner Oberfläche wurde als schwarzer Körper angenommen; die Oberfläche emittiert entsprechend dem Stefan-Boltzmann-Gesetz pro Quadratmeter einen Strahlungsfluss von

${\displaystyle F=\sigma \,T_{s}^{4}}$,

wobei σ die Stefan-Boltzmann-Konstante mit einem Wert von ${\displaystyle \sigma \approx 5{,}670\,374\cdot 10^{-8}\,{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m^{2}K^{4}} }}}$ ist; es handelt sich um eine abgeleitete Naturkonstante.

Für die gesamte Oberflächenemission muss obige Formel noch mit der Planetenoberfläche multipliziert werden. Zugunsten einfacherer Formeldarstellungen verzichten wir im Folgenden hierauf und stellen auf die Emission je Quadratmeter der Oberfläche („Strahlungsdichte“) ab.

Für die Strahlungsdichte der von der Atmosphäre ins Weltall abgegebenen Infrarotstrahlung stellen wir folgende Bilanzgleichung – textlich sowie als Formel – auf:

(1)	Gesamtabstrahlung der Atmosphäre nach oben = Abstrahlung der Atmosphäre nach oben + nicht von der Atmosphäre absorbierter Teil der Abstrahlung der Erdoberfläche
	${\displaystyle F_{\uparrow }=\varepsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\varepsilon )\sigma T_{s}^{4}}$

Im zweiten Summanden ist ε der Anteil der von der Oberfläche abgehenden Strahlung, der absorbiert wird, also der Absorptionsgrad der Atmosphäre. Im ersten Summanden ist ε der Emissionsgrad der Atmosphäre, die Anpassung des Stefan-Boltzmann-Gesetzes, um dem Umstand gerecht zu werden, dass die Atmosphäre nicht optisch dicht ist. Hier wirkt sich eine weitere Vereinfachung im idealisierten Modell aus: Wir nehmen implizit an, dass die Atmosphäre eine infinitesimal dünne Schicht um die Planetenoberfläche ist, so dass die abstrahlende Oberfläche der Atmosphäre exakt gleich der Planetenoberfläche selbst ist.

Damit der Netto-Strahlungsfluss an der Oberseite der Atmosphäre verschwindet, muss folgende Gleichheit gegeben sein:

(2)	Einstrahlung von der Sonne = Abstrahlung der Atmosphäre nach oben + nicht von der Atmosphäre absorbierter Teil der Abstrahlung der Planetenoberfläche
	${\displaystyle {\frac {S_{0}}{4}}(1-\alpha _{p})=\varepsilon \sigma T_{a}^{4}+(1-\varepsilon )\sigma T_{s}^{4}}$

Die Flussdichte einfallender Solarstrahlung wird durch die Solarkonstante S₀ spezifiziert. Da die Oberfläche des idealisierten Planeten als Kugel das Vierfache ihres Querschnitts (auch: Schattens) ist, ist die oberflächenbezogen einfallende Strahlung S₀/4. Die planetare Albedo α_P ist der Teil einfallender Solarstrahlung, der zurück ins All reflektiert wird. Dabei ist es gleichgültig, zu welchen Teilen die Reflexion an der Planetenoberfläche oder an der Oberseite der Atmosphäre zustande kommt.

Damit der Netto-Strahlungsfluss an der Planetenoberfläche verschwindet, muss gegeben sein:

(3)	Abstrahlung der Planetenoberfläche = Einstrahlung von der Sonne + Abstrahlung der Atmosphäre nach unten
	${\displaystyle \sigma T_{s}^{4}={\frac {S_{0}}{4}}(1-\alpha _{p})+\varepsilon \sigma T_{a}^{4}}$

Ein Energiegleichgewicht der Atmosphäre kann durch Einsetzen von (2) in (3) abgeleitet werden:

(4)	Abstrahlung der Planetenoberfläche = Gesamte Abstrahlung der Atmosphäre
	${\displaystyle \varepsilon \sigma T_{s}^{4}=2\varepsilon \sigma T_{a}^{4}}$

Man beachte den wichtigen Faktor 2, der sich daraus ergibt, dass die Atmosphäre sowohl nach oben wie auch nach unten abstrahlt.

Diese Gleichung kann nach T_a aufgelöst werden:

 (5)  ${\displaystyle T_{a}={\frac {T_{s}}{2^{1/4}}}\approx {\frac {T_{s}}{1{,}189}}}$

Für unser idealisiertes Modell ist das Verhältnis der beiden Temperaturen also völlig unabhängig von ε, dem Absorptionsgrad der Atmosphäre.

Mit (5) eingesetzt in (2) erhält man eine Lösung für T_s als Funktion der Eingangsparameter:

${\displaystyle {\frac {S_{0}}{4}}(1-\alpha _{p})=\left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)\sigma T_{s}^{4}}$

oder umgestellt:

 (6)  ${\displaystyle T_{s}=\left({\frac {S_{0}(1-\alpha _{p})}{4\sigma \left({1-{\frac {\varepsilon }{2}}}\right)}}\right)^{1/4}}$

Für das Gesamtsystem aus dem Planeten (den wir oben als schwarzen Körper angenommen haben) und seiner Atmosphäre, dessen Gesamtabstrahlung wir oben mit ${\displaystyle F_{\uparrow }}$ bezeichnet haben, kann auch eine effektive Temperatur T_e angegeben werden. Es ist dies die Temperatur, die die Strahldichte ${\displaystyle F_{\uparrow }}$ charakterisiert, unter der Annahme, dass der Planet inklusive seiner Atmosphäre als Gesamtsystem ein perfekter Strahler mit ${\displaystyle F_{\uparrow }=\sigma T_{e}^{4}}$ wäre. Im idealisierten Modell ist dies einfach darstellbar: T_e ist ebenso die Lösung für T_s für den Fall von ε = 0, also einer fehlenden Atmosphäre. In diesem Fall vereinfacht sich (6) zu (7):

(7)  ${\displaystyle T_{e}=\left({\frac {S_{0}(1-\alpha _{p})}{4\sigma }}\right)^{1/4}}$

Die so ermittelte effektive Temperatur T_e ergibt in (6) eingesetzt:

(8)  ${\displaystyle T_{s}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)^{1/4}}}\,T_{e}}$

Anwendung auf den Planeten Erde

Beim Planeten Erde beträgt die Solarkonstante ${\displaystyle S_{0}=1366\;\mathrm {W} /\mathrm {m} ^{2}}$ und die Albedo im Mittel rund ${\displaystyle \alpha _{p}=0{,}3}$.

Varianten und Erweiterungen

Alternativ kann im dargestellten idealisierten Treibhausmodell statt der Oberflächen- und der Atmosphärentemperatur auch ein Paar aus der Atmosphärentemperatur einer unteren und einer oberen Atmosphärentemperatur betrachtet werden.

Das dargestellte einschichtige Atmosphärenmodell kann unmittelbar in ein mehrschichtiges Atmosphärenmodell umgewandelt werden. Hierfür müssen die Gleichungen für die Temperaturen in eine Reihe gekoppelter Gleichungen für die einzelnen Schichten umgeformt werden. Dieses einfache Modell sagt immer eine mit zunehmender Höhe abnehmende Temperatur voraus und die Temperatur aller Schichten nimmt mit steigender Treibhausgaskonzentration zu. Keine dieser Annahmen ist für die Erde realistisch: In der Erdatmosphäre steigen die Temperaturen oberhalb der Tropopause an und bei Erhöhung der Treibhausgaskonzentration wird erwartet, und beobachtet, dass die Temperaturen dort (in der Stratosphäre) sinken. Der Grund ist, dass die Erdatmosphäre nicht für alle optischen Wellenlängenbereiche dieselbe Transmissivität besitzt.

Literatur

• Craig F. Bohren, Eugene E. Clothiaux: Fundamentals of Atmospheric Radiation. John Wiley & Sons, Chichester 2006, ISBN 3-527-40503-8, 1.6 Emissivity and Global Warming, S. 31–41 (englisch). 
• Grant W. Petty: A First Course in Atmospheric Radiation. 2. Auflage. Sundog Pub, Madison, Wisconsin 2006, ISBN 0-9729033-1-3, 6.4.3 Simple Radiative Models of the Atmosphere, S. 139–143 (englisch). 
• Prof. Dr. Dr. h. c. Gerhard G. Paulus, Physikalisch-Astronomische Fakultät Friedrich-Schiller-Universität Erderwärmung zum Nachrechnen

Weblinks

• R. Tuckermann: Skript Atmosphärenchemie (PDF; 1,8 MB)
• Vorlesungen von David Archer: Our First Climate Model und The Greenhouse Effect (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ Chapter 2, The global energy balance (PDF; 654 kB), UT course Physical Climatology
2. ↑ What is the Greenhouse Effect? (PDF; 1,9 MB) Intergovernmental Panel on Climate Change, 2007, abgerufen am 12. März 2013. 
3. ↑ Stefan-Boltzmann constant. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 20. Juli 2019 (englisch). 
4. ↑ R. Gieré, Peter Stille: Energy, Waste and the Environment: A Geochemical Perspective. Geological Society of London, 2004, ISBN 1-86239-167-X, S. 162 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche). 
5. ↑ J. Hansen, D. Johnson, A. Lacis, S. Lebedeff, P. Lee, D. Rind, G. Russell: Climate Impact of Increasing Atmospheric Carbon Dioxide. In: Science. Band 213, Nr. 4511, 28. August 1981, S. 957, doi:10.1126/science.213.4511.957 (atmos.washington.edu archiviert bei web.archive.org [PDF; abgerufen am 23. Juni 2019]). 
6. ↑ B. D. Santer, J. F. Painter, C. Bonfils, C. A. Mears, S. Solomon, T. M. L. Wigley, P. J. Gleckler, G. A. Schmidt, C. Doutriaux, N. P. Gillett, K. E. Taylor, P. W. Thorne, F. J. Wentz: Human and natural influences on the changing thermal structure of the atmosphere. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 110, Nr. 43, 22. Oktober 2013, S. 17235, doi:10.1073/pnas.1305332110.