Tangentialebene und Normalenvektor

Ein Flächenpunkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ heißt regulär, falls

• ${\displaystyle (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}$ ist, andernfalls heißt der Punkt singulär.

Die Gleichung der Tangentialebene in einem regulären Flächenpunkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ ist

• ${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0}$, und

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}}$ ist ein Normalenvektor.

Normalkrümmung

Um die Formel übersichtlich zu halten, wurden hier die Argumente ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ weggelassen:

• ${\displaystyle \kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}}$ ist die Normalkrümmung der Fläche in einem regulären Punkt in Richtung des Einheitstangentenvektors ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

${\displaystyle H_{F}}$ ist die Hessematrix von ${\displaystyle F}$ (Matrix der zweiten Ableitungen).

Der Beweis dieser Formeln ergibt sich, wie im Fall der impliziten Kurve, aus dem Satz über die Auflösung impliziter Funktionen und der Formel für die Normalkrümmung einer parametrisierten Fläche.

Äquipotentialflächen von Punktladungen

Das Potential einer Punktladung ${\displaystyle q_{i}}$ im Punkt ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})}$, gemessen in dem Punkt ${\displaystyle \mathbf {p} =(x,y,z)}$, lässt sich, bis auf Konstanten, durch

${\displaystyle F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}}$ beschreiben.

Die Äquipotentialfläche zum Potential ${\displaystyle c}$ ist die implizite Fläche ${\displaystyle F_{i}(x,y,z)-c=0}$. Dies ist eine Kugel mit Mittelpunkt ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$.

Das Potential von (z. B.) ${\displaystyle 4}$ Punktladungen lässt sich durch

${\displaystyle F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}}$ beschreiben.

In der Abbildung sind die vier Ladungen gleich 1 und befinden sich in den Punkten ${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0)}$. Die dargestellte Fläche ist die Äquipotentialfläche (implizite Fläche) ${\displaystyle F(x,y,z)-2{,}8=0}$.

Konstante Abstandsproduktflächen

So wie eine Cassinische Kurve als die Punktmenge definiert werden kann, für die das Produkt der Abstände zu zwei vorgegebenen Punkten konstant ist (bei einer Ellipse sind die Summen der Abstände zu zwei Punkten konstant!), so lassen sich auch Flächen definieren, deren Abstandsprodukte zu vorgegebenen Punkten konstant sind.

Die im Bild Metamorphosen links oben dargestellte Fläche entsteht nach diesem Prinzip: Mit

${\displaystyle F(x,y,z)={\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}}$

ergibt sich die Fläche ${\displaystyle F(x,y,z)-1{,}1=0}$.

Metamorphosen impliziter Flächen

Eine weitere einfache Konstruktion neuer impliziter Flächen ist die Metamorphose impliziter Flächen. Dabei geht man von zwei impliziten Flächen ${\displaystyle F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0}$ (im Beispiel: eine Abstandsproduktfläche und ein Torus) aus und erzeugt mit dem Scharparameter ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$ die Flächenschar

${\displaystyle F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0}$

Im Bild wurden Flächen für ${\displaystyle \mu =0,\,0{,}33,\,0{,}66,\,1}$ dargestellt.

Glatte Approximationen mehrerer impliziter Flächen

Analog zur Methode der glatten Approximation von mehreren impliziten Kurven liefert

${\displaystyle F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-c=0}$

für geeignete Parameter ${\displaystyle c}$ glatte Approximationen dreier sich schneidender Tori mit den Gleichungen

${\displaystyle F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0}$,

${\displaystyle F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0}$,

${\displaystyle F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0}$.

(Die Parameter der Fläche im Bild sind: ${\displaystyle R=1,\,a=0{,}2,\,c=0{,}01}$)