Im mathematischen Gebiet der Darstellungstheorie von Gruppen kann man mittels der induzierten Darstellung aus einer Darstellung einer Untergruppe eine Darstellung der sie enthaltenden Gruppe konstruieren.

Problemstellung

Mit Hilfe der Einschränkung (engl.: restriction) kann man aus einer Darstellung ${\displaystyle \phi }$ einer Gruppe eine Darstellung ${\displaystyle {\text{Res}}(\phi )}$ einer Untergruppe erhalten.
Die Frage, die sich nun stellt, ist die nach dem umgekehrten Prozess. Kann man aus einer gegebenen Darstellung ${\displaystyle \psi }$ einer Untergruppe eine Darstellung der ganzen Gruppe erhalten?
Man stellt fest, dass die im Folgenden definierte induzierte Darstellung ${\displaystyle {\text{Ind}}(\psi )}$ genau das Gesuchte liefert. Allerdings ist diese Konstruktion nicht invers, sondern adjungiert zur Einschränkung.

Definition

Sei ${\displaystyle \rho \colon G\to {\text{GL}}(V_{\rho })}$ eine lineare Darstellung von ${\displaystyle G.}$ Sei ${\displaystyle H}$ eine Untergruppe und ${\displaystyle \rho |_{H}}$ die Einschränkung. Sei ${\displaystyle W}$ eine Teildarstellung von ${\displaystyle \rho |_{H}.}$ Schreibe ${\displaystyle \theta \colon H\to {\text{GL}}(W)}$ für diese Darstellung. Sei ${\displaystyle s\in G,}$ der Vektorraum ${\displaystyle \rho (s)(W)}$ hängt nur von der Linksnebenklasse ${\displaystyle sH}$ von ${\displaystyle s}$ ab. Sei ${\displaystyle R}$ ein Vertretersystem von ${\displaystyle G/H,}$ dann ist ${\displaystyle \textstyle \sum _{r\in R}\rho (r)(W)}$ eine Teildarstellung von ${\displaystyle V_{\rho }.}$

Eine Darstellung ${\displaystyle \rho }$ von ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle V_{\rho }}$ heißt induziert durch die Darstellung ${\displaystyle \theta }$ von ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle W,}$ falls ${\displaystyle \textstyle V_{\rho }=\bigoplus _{r\in R}W_{r}.}$ Dabei ist ${\displaystyle R}$ ein Vertretersystem von ${\displaystyle G/H}$ wie oben und ${\displaystyle W_{r}=\rho (s)(W)}$ für jedes ${\displaystyle s\in rH.}$

Anders formuliert:
Die Darstellung ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ ist induziert von ${\displaystyle (\theta ,W),}$ falls jedes ${\displaystyle v\in V_{\rho }}$ eindeutig als ${\displaystyle \textstyle \sum _{r\in R}w_{r}}$ geschrieben werden kann, wobei ${\displaystyle w_{r}\in W_{r}}$ für jedes ${\displaystyle r\in R.}$

Wir schreiben ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\theta )}$ oder kurz, falls keine Verwechslungsgefahr besteht, ${\displaystyle {\text{Ind}}(\theta )}$ für die von der Darstellung ${\displaystyle \theta }$ von ${\displaystyle H}$ induzierte Darstellung von ${\displaystyle G.}$ Man verwendet auch oft die Darstellungsräume anstatt der Darstellungsabbildung und schreibt ${\displaystyle V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)}$ bzw. kurz ${\displaystyle {\text{Ind}}(W),}$ falls die Darstellung ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle W}$ induziert ist.

Alternative Beschreibung der induzierten Darstellung

Über die Gruppenalgebra erhalten wir eine alternative Beschreibung der induzierten Darstellung:
Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe, ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$-Modul und ${\displaystyle W}$ ein ${\displaystyle \mathbb {C} [H]}$-Untermodul von ${\displaystyle V}$ zur Untergruppe ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle G.}$ Dann heißt ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle W}$ induziert, falls ${\displaystyle V=\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,}$ wobei ${\displaystyle G}$ auf dem ersten Faktor operiert: ${\displaystyle s\cdot (e_{t}\otimes w)=e_{st}\otimes w}$ für alle ${\displaystyle s,t\in G,w\in W.}$

Eigenschaften

Die in diesem Abschnitt vorgestellten Ergebnisse werden ohne Beweis präsentiert. Diese können in nachgelesen werden.

Eindeutigkeit und Existenz der induzierten Darstellung

Sei ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ eine lineare Darstellung einer Untergruppe ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle G.}$ Dann existiert eine lineare Darstellung ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ von ${\displaystyle G,}$ die von ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ induziert wird und diese ist bis auf Isomorphie eindeutig.

Transitivität der Induktion

Sei ${\displaystyle W}$ eine Darstellung von ${\displaystyle H.}$
Für eine aufsteigende Kette von Gruppen ${\displaystyle H\leq G\leq K}$ gilt

${\displaystyle {\text{Ind}}_{G}^{K}({\text{Ind}}_{H}^{G}(W))\cong {\text{Ind}}_{H}^{K}(W).}$

Lemma

Sei ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ von ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ induziert und sei ${\displaystyle \rho '\colon G\to {\text{GL}}(V')}$ eine lineare Darstellung von ${\displaystyle G}$ und sei ${\displaystyle F\colon W_{\theta }\to V'}$ eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle F\circ \theta (t)=\rho '(t)\circ F}$ für alle ${\displaystyle t\in G.}$ Dann existiert eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\displaystyle F'\colon V_{\rho }\to V',}$ die ${\displaystyle F}$ fortsetzt und für die ${\displaystyle F'\circ \rho (s)=\rho '(s)\circ F'}$ für alle ${\displaystyle s\in G}$ gilt.
D. h., wenn man ${\displaystyle V'}$ als ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$-Modul auffasst, gilt: ${\displaystyle {\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V')\cong {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V')}$, wobei ${\displaystyle {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V')}$ den Vektorraum aller ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$-Homomorphismen von ${\displaystyle V_{\rho }}$ nach ${\displaystyle V'}$ bezeichnet. Gleiches gilt für ${\displaystyle {\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V').}$

Induktion auf Klassenfunktionen

Wie bei Darstellungen können wir auch, über sog. Induktion, aus Klassenfunktionen auf einer Untergruppe eine Klassenfunktion auf der großen Gruppe erhalten.
Sei ${\displaystyle \varphi }$ eine Klassenfunktion auf ${\displaystyle H.}$ Definiere die Funktion ${\displaystyle \varphi '}$ auf ${\displaystyle G}$ durch

${\displaystyle \varphi '(s)={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G \atop t^{-1}st\in H}^{}\varphi (t^{-1}st).}$

Wir sagen, ${\displaystyle \varphi '}$ ist von ${\displaystyle \varphi }$ induziert und schreiben ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\varphi )=\varphi '}$ oder ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi )=\varphi '.}$

Proposition

Die Funktion ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi )}$ ist eine Klassenfunktion auf ${\displaystyle G.}$ Falls ${\displaystyle \varphi }$ der Charakter einer Darstellung ${\displaystyle W}$ von ${\displaystyle H}$ ist, dann ist ${\displaystyle {\text{Ind}}(\varphi )}$ der Charakter der induzierten Darstellung ${\displaystyle {\text{Ind}}(W)}$ von ${\displaystyle G.}$

Lemma

Falls ${\displaystyle \psi }$ eine Klassenfunktion auf ${\displaystyle H}$ ist und ${\displaystyle \varphi }$ eine Klassenfunktion auf ${\displaystyle G,}$ gilt:

${\displaystyle {\text{Ind}}(\psi \cdot {\text{Res}}\varphi )=({\text{Ind}}\psi )\cdot \varphi .}$

Satz

Sei ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ die durch die Darstellung ${\displaystyle (\theta ,W_{\theta })}$ der Untergruppe ${\displaystyle H}$ induzierte Darstellung von ${\displaystyle G}$ und seien ${\displaystyle \chi _{\rho },\chi _{\theta }}$ die korrespondierenden Charaktere. Sei ${\displaystyle R}$ ein Vertretersystem von ${\displaystyle G/H.}$ Für jedes ${\displaystyle t\in G}$ gilt:

${\displaystyle \chi _{\rho }(t)=\sum _{r\in R, \atop r^{-1}tr\in H}^{}\chi _{\theta }(r^{-1}tr)={\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G, \atop s^{-1}ts\in H}^{}\chi _{\theta }(s^{-1}ts).}$

Satz von Artin

Satz

Sei ${\displaystyle X}$ eine Familie von Untergruppen einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G.}$ Sei ${\displaystyle {\text{Ind}}\colon \bigoplus _{H\in X}{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)}$ der Homomorphismus, definiert durch die Familie der ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G},\,\,H\in X.}$ Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

• Der Kokern von ${\displaystyle {\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)}$ ist endlich.
• ${\displaystyle G}$ ist die Vereinigung der Konjugate der zu ${\displaystyle X}$ gehörenden Untergruppen, also ${\displaystyle G=\bigcup _{H\in X \atop s\in G}sHs^{-1}.}$

Da ${\displaystyle {\mathcal {R}}(G)}$ als Gruppe endlich erzeugt ist, kann man den ersten Punkt wie folgt umformulieren:

• Für jeden Charakter ${\displaystyle \chi }$ von ${\displaystyle G}$ existieren virtuelle Charaktere ${\displaystyle \chi _{H}\in {\mathcal {R}}(H),\,H\in X}$ und eine ganze Zahl ${\displaystyle d\geq 1,}$ sodass ${\displaystyle d\cdot \chi =\sum _{H\in X}{\text{Ind}}_{H}^{G}(\chi _{H}).}$

Der Satz gilt analog für die Ringe ${\displaystyle R(H)}$ und ${\displaystyle R(G),}$ da ${\displaystyle R(G)\cong {\mathcal {R}}(G).}$

Dieser Satzes wird in bewiesen.

Korollar

Jeder Charakter von ${\displaystyle G}$ ist eine rationale Linearkombination von Charakteren, die von Charakteren zyklischer Untergruppen von ${\displaystyle G}$ induziert werden.

Dies folgt sofort aus dem Satz von Artin, da ${\displaystyle G}$ die Vereinigung aller Konjugate seiner zyklischen Untergruppen ist.

Induzierte Darstellungen für kompakte Gruppen

Falls ${\displaystyle H}$ eine abgeschlossene Untergruppe von endlichem Index in der kompakten Gruppe ${\displaystyle G}$ ist, kann die Definition der induzierten Darstellung wie bei endlichen Gruppen übernommen werden.
Die induzierte Darstellung kann jedoch auch allgemeiner definiert werden, sodass die Definition auch gültig ist, falls der Index von ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ nicht endlich ist.
Sei dazu ${\displaystyle (\eta ,V_{\eta })}$ eine unitäre Darstellung der abgeschlossenen Untergruppe ${\displaystyle H.}$ Die stetig induzierte Darstellung ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\eta )=(I,V_{I})}$ wird wie folgt definiert:
Mit ${\displaystyle V_{I}}$ bezeichnen wir den Hilbertraum aller messbaren, quadratisch integrierbaren Funktionen ${\displaystyle \Phi \colon G\to V_{\eta }}$ mit der Eigenschaft, dass ${\displaystyle \Phi (ls)=\eta (l)\Phi (s)}$ für alle ${\displaystyle l\in H,s\in G.}$ Die Norm ist ${\displaystyle ||\Phi ||_{G}={\text{sup}}_{s\in G}||\Phi (s)||}$ und die Darstellung ${\displaystyle I}$ ist gegeben durch Rechtstranslation: ${\displaystyle I(s)\Phi (k)=\Phi (ks).}$
Die induzierte Darstellung ist dann wieder eine unitäre Darstellung.
Da ${\displaystyle G}$ kompakt ist, zerfällt die induzierte Darstellung in die direkte Summe irreduzibler Darstellungen von ${\displaystyle G.}$ Dabei gilt, dass alle irreduziblen Darstellungen, die zum gleichen Isotyp gehören, mit der Vielfachheit auftreten, die ${\displaystyle {\text{dim}}({\text{Hom}}_{G}(V_{\eta },V_{I}))}$ entspricht.
Sei ${\displaystyle (\rho ,V_{\rho })}$ eine Darstellung von ${\displaystyle G,}$ dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus

${\displaystyle T\colon {\text{Hom}}_{G}(V_{\rho },I_{H}^{G}(\eta ))\to {\text{Hom}}_{H}(V_{\rho }|_{H},V_{\eta })=\langle V_{\eta },V_{I}\rangle _{G}.}$

Die Frobeniusreziprozität überträgt sich mit der modifizierten Definition des Skalarproduktes und der Bilinearform auf kompakte Gruppen, wobei der Satz anstatt für Klassenfunktionen, hier für quadratisch integrierbare Funktionen auf ${\displaystyle G}$ gilt und die Untergruppe ${\displaystyle H}$ abgeschlossen sein muss.

Literatur

1. ↑ Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977, ISBN 0-387-90190-6
2. ↑ William Fulton, Joe Harris: Representation Theory A First Course. Springer-Verlag, New York 1991, ISBN 0-387-97527-6
3. ↑ Serre, op. cit.
4. ↑ Serre, op. cit.