Beispiele

Aus der Formel ergeben sich für die Werte der Winkelsummen für Drei-, Vier- und Fünfecke:

• für Dreiecke (${\displaystyle n=3}$): ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }=(3-2)\cdot 180^{\circ }=180^{\circ }}$
• für Vierecke (${\displaystyle n=4}$): ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }=(4-2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }}$
• für Fünfecke (${\displaystyle n=5}$): ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }=(5-2)\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }}$

Für nicht notwendig regelmäßige Fünfsterne gilt:

• Die Summe der Innenwinkel an den Spitzen eines allgemeinen Fünfsterns beträgt 180°.

Geometrischer Beweis

Man betrachtet die Parallelenpaare gleicher Farbe, wendet jeweils die Sätze über Winkel an parallelen Geraden an und setzt die fünf Winkel zu einem gestreckten Winkel der Weite 180° wie abgebildet zusammen.

Algebraischer Beweis

Das Dreieck ${\displaystyle BDF}$ hat die Innenwinkelsumme:

${\displaystyle \epsilon +\beta +\phi _{2}=180^{\circ }}$ (1)

Das Viereck ${\displaystyle ACDE}$ hat die Innenwinkelsumme:

${\displaystyle \alpha +\gamma +\phi _{1}+\phi _{2}+\phi _{3}+\delta =360^{\circ }}$ (2)

Nach Addition jeweils beider Seiten der Gleichungen (1) und (2) erhält man die Gleichung:

${\displaystyle \epsilon +\beta +\phi _{2}+\alpha +\gamma +\phi _{1}+\phi _{2}+\phi _{3}+\delta =180^{\circ }+360^{\circ }}$ (3)

${\displaystyle (\phi _{1},\phi _{2})}$ und ${\displaystyle (\phi _{2},\phi _{3})}$ sind Nebenwinkelpaare mit:

${\displaystyle \phi _{1}+\phi _{2}+\phi _{2}+\phi _{3}=360^{\circ }}$ (4)

Nach Subtraktion jeweils beider Seiten der Gleichung (4) von der Gleichung (3) erhält man die Gleichung:

${\displaystyle \epsilon +\beta +\alpha +\gamma +\delta =180^{\circ }}$

Herleitung der Formel