Nach Anzahl der Ecken

Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt.

Regelmäßiges Polygon

Hat ein Polygon gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet. Viele regelmäßige Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren (Konstruierbares Polygon).

Weitere Typen

Überschlagenes Polygon

Bei einfachen Polygonen berühren sich die Kanten nur in den Eckpunkten; bei überschlagenen Polygonen haben die Kanten zusätzliche Schnittpunkte durch Überschneidung.

Nicht-überschlagenes Polygon

Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.

Planares Polygon

In der Ebene liegendes (planares) Polygon.

Nicht-planares Polygon

Im Raum liegendes (nicht-planares) Polygon.

Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein:

Regelmäßiges Polygon

Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.

Sternpolygon

Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.

Orthogonales Polygon

Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).

Winkel

In einem nicht überschlagenen, ebenen ${\displaystyle n}$-Eck ist die Summe der Innenwinkel

${\displaystyle \alpha _{1}+\dotsb +\alpha _{n}=(n-2)\cdot 180^{\circ }}$.

Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken

${\displaystyle \alpha _{1}'+\dotsb +\alpha _{n}'=360^{\circ }}$.

Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

${\displaystyle \alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }}$   bzw.   ${\displaystyle \alpha '={\frac {1}{n}}\cdot 360^{\circ }}$.

Diagonalen

Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

1. Jede der ${\displaystyle n}$ Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
2. Die Verbindung von Ecke ${\displaystyle P_{a}}$ zur Ecke ${\displaystyle P_{b}}$ ist mit der Verbindung von ${\displaystyle P_{b}}$ nach ${\displaystyle P_{a}}$ identisch.
3. Genau ${\displaystyle n}$ Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein nicht überschlagenes ${\displaystyle n}$-Eck genau ${\displaystyle {\tfrac {n\cdot (n-1)}{2}}-n={\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}}$ Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

Umfang

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen bestimmt werden:

${\displaystyle \mathrm {U} \ =\ {\sqrt {(x_{1}-x_{n})^{2}+(y_{1}-y_{n})^{2}}}\ +\ \sum _{i=1}^{n-1}{\sqrt {(x_{i+1}-x_{i})^{2}+(y_{i+1}-y_{i})^{2}}}}$

Fläche

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen positiv orientierten Polygons durch kartesische Koordinaten ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel und deren Variationen berechnet werden:

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}$
• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{vmatrix}}}$
• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i-1}-x_{i+1})}$

In den Formeln gilt: ${\displaystyle P_{0}=P_{n},P_{n+1}=P_{1}}$.

Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.

Flächeninhalt

Insbesondere für die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaußschen Trapezformel besonders geeignet, da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten, die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo-Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann. Die Modulo-Funktion ist hier nötig, um sogenannte Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung auszuschließen. Dabei sind ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$, ${\displaystyle i=0\dotsc n-1}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, die Koordinaten der ${\displaystyle n\geq 3}$ Eckpunkte des Polygons.

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1{\bmod {n}}})(x_{i}-x_{i+1{\bmod {n}}})\right|}$

Konvexe Hülle

Algorithmen für die Ermittlung der konvexen Hülle von ${\displaystyle n}$ Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von ${\displaystyle \Omega (n\log n)}$. Der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von ${\displaystyle n}$ Zahlen (siehe Sortierverfahren). Liegen nur ${\displaystyle k}$ der ${\displaystyle n}$ Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei ${\displaystyle \Omega (n\log k)}$.

Es gibt mehrere Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hülle:

• Graham-Scan-Algorithmus
• Gift-Wrapping-Algorithmus
• QuickHull
• Inkrementeller Algorithmus
• Chans Algorithmus

Punkt im Polygon

Es gibt einen einfachen Algorithmus, mit dem geprüft werden kann, ob sich ein Punkt innerhalb eines Polygons in der Ebene befindet:

Es wird eine horizontaler Strahl durch den untersuchten Punkt gelegt und untersucht, wie oft sich der Strahl mit den Kanten des Polygons schneidet. Der Punkt befindet sich innerhalb des Polygons, wenn die Anzahl der Schnittpunkte rechts vom Punkt ungerade ist. Wenn die Anzahl gerade ist, befindet sich der Punkt außerhalb.