Größen

Größen eines regelmäßigen Neunzehnecks
Innenwinkel	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {17}{19}}\cdot 180^{\circ }\\\alpha &=161{,}{\overline {052631578947368421}}^{\circ }\end{aligned}}}$
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &={\frac {360^{\circ }}{19}}\\\mu &=18{,}{\overline {947368421052631578}}^{\circ }\end{aligned}}}$
Seitenlänge	${\displaystyle {\begin{aligned}a&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\\a&\approx 0{,}329189\cdot R\end{aligned}}}$
Umkreisradius	${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)}}\\R&\approx {\frac {a}{0{,}329189}}\end{aligned}}}$
Inkreisradius	${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\\r&\approx 0{,}986361\cdot R\end{aligned}}}$
Höhe	${\displaystyle {\begin{aligned}h&=R+r=R\cdot \left(1+\cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\right)\\h&\approx 1{,}986361\cdot R\end{aligned}}}$
Flächeninhalt	${\displaystyle {\begin{aligned}A&=19\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\\A&\approx 3{,}084645\cdot R^{2}\end{aligned}}}$

Innenwinkel

Der Innenwinkel ${\displaystyle \alpha }$ wird von zwei benachbarten Seiten der Länge ${\displaystyle a}$ eingeschlossen.

${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {19-2}{19}}\cdot 180^{\circ }={\frac {17}{19}}\cdot 180^{\circ }=\left(161{\frac {1}{19}}\right)^{\circ }}$

Zentriwinkel

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$ wird von zwei benachbarten Umkreisradien der Länge ${\displaystyle R}$ eingeschlossen.

${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{n}}={\frac {360^{\circ }}{19}}=\left(18{\frac {18}{19}}\right)^{\circ }}$

Seitenlänge

Die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ errechnet sich zu

${\displaystyle a=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)}$.

Umkreisradius

Der Radius ${\displaystyle R}$ des Umkreises ergibt sich durch Umformen der Formel für die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ zu

${\displaystyle R={\frac {a}{2}}\cdot \csc \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)}$.

Inkreisradius

Der Inkreisradius ${\displaystyle r}$ ist die Höhe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit den beiden Schenkeln gleich dem Umkreisradius ${\displaystyle R}$ und der Grundlinie gleich der Seitenlänge ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos \left({\frac {\mu }{2}}\right)=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\end{aligned}}}$

Höhe

Die Höhe ${\displaystyle h}$ eines regelmäßigen Neunzehneckes ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius ${\displaystyle r}$ und Umkreisradius ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle h=R+r=R+R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)=R\cdot \left(1+\cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\right)}$

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein zu ${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}a\cdot h_{a}}$. Für die Berechnung des Neunzehnecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ und des Inkreisradius ${\displaystyle r}$ herangezogen, worin ${\displaystyle r}$ für die Höhe ${\displaystyle h_{a}}$ eingesetzt wird:

${\displaystyle a=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right),}$

${\displaystyle h_{a}=r=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right),}$ daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks

${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}\cdot R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\cdot R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right),}$ zusammengefasst ergibt sich

${\displaystyle A_{\Delta }=R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)}$ und für die Fläche des ganzen Neunzehnecks

${\displaystyle A=19\cdot A_{\Delta }=19\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{19}}\right).}$

Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Die Konstruktion (Bild 1) ist nahezu gleich der des Elfecks.

Nach dem Zeichnen des Quadrates z. B. mit der Seitenlänge ${\displaystyle 1}$ und der Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung ${\displaystyle \gamma \colon (-\pi ,\pi )\to \mathbb {R} ^{2}}$:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\cot \left({\frac {\pi }{2}}t\right)\\t\end{pmatrix}},\quad 0\leq t\leq 1}$

wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ in neunzehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkel des Neunzehnecks ergibt sich aus ${\displaystyle \mu ={\tfrac {360^{\circ }}{19}},}$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab ${\displaystyle >0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle \leq 90^{\circ }}$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Neunzehntel der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ kann nur ein Neunzehntel des Winkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ aus dem Umkreis mit seinen ${\displaystyle 360^{\circ }}$ das Vierfache eines Neunzehntels, d. h. der Teilungspunkt ${\displaystyle 4'}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}},}$ zur Konstruktion des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {A_{1}O}}}$ ab ${\displaystyle 4'}$ bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt ${\displaystyle D}$. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle D}$ bis zum Umkreis.

Somit ergibt sich der Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }$ und auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt ${\displaystyle A_{2}}$. Die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}}$ ist die exakte Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des regelmäßigen Neunzehnecks.

Näherungskonstruktion

Bild 2 zeigt ein Neunzehneck in seinem Umkreis, erstellt mit einer universellen Methode.

Zuerst wird der Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ in ${\displaystyle 19}$ gleich lange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt (in der Zeichnung nicht dargestellt) oder mittels Aneinanderreihen von ${\displaystyle 19}$ gleich langen Abständen bestimmt. Nun werden entweder die geraden oder die ungeraden Zahlen (Teilungspunkte) auf dem Durchmesser ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ markiert. In diesem Beispiel sind die geraden Zahlen ${\displaystyle 2,4,6,8,10,12,14,16}$ und ${\displaystyle 18}$ eingetragen. Die anschließende Halbierung von ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ erfolgt mithilfe der zwei Kreisbögen um ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. Die Kreisbögen schneiden sich in den Punkten ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D.}$ Durch deren Verbindung erhält man den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ und die Mittelachse ${\displaystyle CD}$.

Nach dem Einzeichnen des Umkreises um ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle A}$ geht es weiter mit dem Festlegen der Eckpunkte auf dem Umkreis. Das Lineal wird an den Punkt ${\displaystyle C}$ und an die gerade Zahl ${\displaystyle 2}$ gelegt. Danach am Lineal entlang eine kurze Linie durch die gegenüberliegende Hälfte der Umkreislinie gezogen, ergibt den Eckpunkt ${\displaystyle E_{1}}$ des entstehenden Neunzehnecks. Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen der Eckpunkte ${\displaystyle E_{2},\dotsc ,E_{9}.}$ Sie wird fortgesetzt, jetzt ausgehend vom Punkt ${\displaystyle D,}$ bis die restlichen Eckpunkte ${\displaystyle E_{10},\dotsc ,E_{18}}$ gefunden sind. Abschließend werden die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

Das Besondere an dieser Methode ist, neun Seiten des Neunzehnecks haben paarweise die gleiche Länge, z. B. die Seiten ${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {E_{17}E_{18}}}}$. Die Seite ${\displaystyle {\overline {E_{9}E_{10}}}}$ hat eine von den anderen unterschiedliche Länge.

Größter, zweitkleinster und kleinster absoluter Fehler der Seitenlängen des Neunzehnecks bei einem Umkreisradius mit ${\displaystyle R=1\;\mathrm {m} }$:

${\displaystyle \approx 19{,}2\;\mathrm {mm} }$ bei ${\displaystyle {\overline {E_{9}E_{10}}}}$

${\displaystyle \approx -1{,}25\;\mathrm {mm} }$ bei ${\displaystyle {\overline {E_{3}E_{4}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {E_{15}E_{16}}}}$

${\displaystyle \approx 1{,}11\;\mathrm {mm} }$ bei ${\displaystyle {\overline {E_{4}E_{5}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {E_{14}E_{15}}}}$

Sieht man sich die beiden betragsmäßig kleinsten absoluten Fehler der benachbarten Seiten an, folgt daraus, beide sind nahezu gleich von einer idealen Mitte ${\displaystyle 0\;\mathrm {mm} }$ entfernt. Das bedeutet, würde man in dieser Näherungskonstruktion z. B. nur die Strecken ${\displaystyle {\overline {E_{3}E_{4}}}}$ (hellbraun) und ${\displaystyle {\overline {E_{4}E_{5}}}}$ (hellblau) konstruieren, anschließend das arithmetische Mittel dieser Strecken konstruktiv ermitteln, ergäbe dies eine Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des Neunzehnecks mit einer Abweichung von rund

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \left(-1{,}25\;\mathrm {mm} +1{,}11\;\mathrm {mm} \right)=-0{,}07\;\mathrm {mm} }$.

Oder anders gesagt, bei einem Umkreisradius ${\displaystyle R=100\;\mathrm {m} }$ wäre die Abweichung der konstruierten ersten Seite ${\displaystyle \approx 7\;\mathrm {mm} }$.

Erlöserkirche in Ani

Die Kirche befindet sich im Osten des Ortes Ani, der Hauptstadt des ehemaligen Königreichs Armenien, im äußersten Osten der heutigen Türkei in der Provinz Kars an der Grenze zu Armenien.

Auf der Website VirtualANI.org ist die Architektur der Kirche so beschrieben (freie Übersetzung):