Innenwinkel

Der Innenwinkel ${\displaystyle \alpha }$ wird von zwei benachbarten Seiten der Länge ${\displaystyle a}$ eingeschlossen.

${\displaystyle \alpha =180^{\circ }\!-{\frac {360^{\circ }}{n}}=180^{\circ }\!-{\frac {360^{\circ }}{21}}=162\;\!\!{\tfrac {6}{7}}^{\circ }}$

Zentriwinkel

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$ wird von zwei benachbarten Umkreisradien der Länge ${\displaystyle R}$ eingeschlossen.

${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }\!}{n}}={\frac {360^{\circ }\!}{21}}=17\!{\tfrac {1}{7}}^{\circ }}$

Seitenlänge

Die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ errechnet sich zu

${\displaystyle a=2R\cdot \sin {\frac {180^{\circ }\!}{21}}}$ .

Umkreisradius

Der Radius ${\displaystyle R}$ des Umkreises ergibt sich durch Umformen der Formel für die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ zu

${\displaystyle R={\frac {a}{2}}\cdot \csc {\frac {180^{\circ }\!}{21}}}$ .

Inkreisradius

Der Inkreisradius ${\displaystyle r}$ ist die Höhe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit den beiden Schenkeln gleich dem Umkreisradius ${\displaystyle R}$ und der Grundlinie gleich der Seitenlänge ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos {\frac {\mu }{2}}=R\cdot \cos {\frac {180^{\circ }\!}{21}}\end{aligned}}}$

Höhe

Die Höhe ${\displaystyle h}$ eines regelmäßigen 21‐Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius ${\displaystyle r}$ und Umkreisradius ${\displaystyle R}$:

${\displaystyle h\ =\ R+r\ =\ R+R\cdot \cos {\frac {180^{\circ }\!}{21}}=R\cdot \left(1+\cos {\frac {180^{\circ }\!}{21}}\right)}$

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein zu ${\displaystyle A_{\Delta }={\tfrac {1}{2}}a\cdot h_{a}}$. Für die Berechnung des 21‐Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ und des Inkreisradius ${\displaystyle r}$ herangezogen, worin ${\displaystyle r}$ für die Höhe ${\displaystyle h_{a}}$ eingesetzt wird:

${\displaystyle a=2R\cdot \sin {\frac {180^{\circ }\!}{21}}}$,

${\displaystyle h_{a}=r=R\cdot \cos {\frac {180^{\circ }\!}{21}}}$,  daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks

${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}\cdot 2R\cdot \sin {\frac {180^{\circ }\!}{21}}\cdot R\cdot \cos {\frac {180^{\circ }\!}{21}}}$,  zusammengefasst ergibt sich

${\displaystyle A_{\Delta }=R^{2}\cdot \sin {\frac {180^{\circ }\!}{21}}\cdot \cos {\frac {180^{\circ }\!}{21}}}$  und für die Fläche des ganzen 21‐Ecks

${\displaystyle A=21\ A_{\Delta }=21\ R^{2}\cdot \sin {\frac {180^{\circ }\!}{21}}\cdot \cos {\frac {180^{\circ }\!}{21}}}$ .

Bei vorgegebenem Umkreis

Die Konstruktion des 21‐Ecks bei vorgegebenem Umkreis (Bild 1) nutzt als Konstruktionselement, wie auch im Dreizehneck zu sehen ist, die Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel.

Nach dem Zeichnen des Quadrates z. B. mit der Seitenlänge ${\displaystyle 1}$ und der Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung ${\displaystyle \gamma \colon (-\pi ,\pi )\to \mathbb {R} ^{2}}$:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\cot \left({\frac {\pi }{2}}t\right)\\t\end{pmatrix}},\quad 0\leq t\leq 1}$

wird die Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ in einundzwanzig gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkel des 21‐Ecks ergibt sich aus ${\displaystyle \mu ={\tfrac {360^{\circ }}{21}},}$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab ${\displaystyle >0^{\circ }}$ bis ${\displaystyle \leq 90^{\circ }}$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Einundzwanzigstel der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}}}$ kann nur ein Einundzwanzigstel des Winkels ${\displaystyle 90^{\circ }}$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ aus dem Umkreis mit seinen ${\displaystyle 360^{\circ }}$ das Vierfache eines Einundzwanzigstels, d. h. der Teilungspunkt ${\displaystyle 4'}$ der Strecke ${\displaystyle {\overline {CO}},}$ zur Konstruktion des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu }$ genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu ${\displaystyle {\overline {A_{1}O}}}$ ab ${\displaystyle 4'}$ bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt ${\displaystyle D}$. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel ${\displaystyle O}$ durch ${\displaystyle D}$ bis zum Umkreis.

Somit ergibt sich der Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }$ und auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt ${\displaystyle A_{2}}$. Die Länge der Strecke ${\displaystyle {\overline {A_{1}A_{2}}}}$ ist die exakte Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des regelmäßigen 21‐Ecks mit vorgegebenem Umkreis.

Bei vorgegebener Seitenlänge

Die Konstruktion des 21‐Ecks bei vorgegebener Seitenlänge ${\displaystyle a}$ wie im (Bild 2) dargestellt, ist quasi die Weiterführung der Konstruktion des 21‐Ecks Bei vorgegebenem Umkreis (Bild 1). Sie nutzt ebenfalls als Konstruktionselement die Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel. Die vorgegebene Seitenlänge ${\displaystyle a}$ ist, je nach Betrachtungsweise, als zentrische Streckung des Umkreises des 21‐Ecks mit sogenanntem negativen Streckungsfaktor bzw. als geometrische Ähnlichkeit zweier Dreiecke eingearbeitet.

Bei Berücksichtigung, dass die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle E}$ im Bild 2 den Punkten ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ im Bild 1 entsprechen, kann die Konstruktionsbeschreibung des 21‐Ecks Bei vorgegebenem Umkreis vollständig übernommen werden.

Es bedarf nun lediglich einer Winkelhalbierenden ${\displaystyle (wh)}$ des Zentriwinkels ${\displaystyle \mu ,}$ darauf eines Kreises mit dem Durchmesser ${\displaystyle {\overline {GH}}}$ gleich der gegebenen Seitenlänge ${\displaystyle a}$ um Punkt ${\displaystyle F}$ und schließlich zweier Parallelen zu ${\displaystyle wh,}$ je eine ab ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H,}$ bis zu den Winkelschenkeln des Zentriwinkels.

Die sich somit ergebenden Schnittpunkte ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ sind die ersten beiden Eckpunkte und die Strecke ${\displaystyle {\overline {OA_{1}}}}$ der exakte Umkreisradius des 21‐Ecks mit vorgegebener Seitenlänge.