Die euklidische Geometrie ist zunächst die uns vertraute, anschauliche Geometrie des Zwei- oder Dreidimensionalen. Der Begriff hat jedoch sehr verschiedene Aspekte und lässt Verallgemeinerungen zu. Benannt ist dieses mathematische Teilgebiet der Geometrie nach dem griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria.

Die Geometrie des Euklid

Im engsten Sinne ist euklidische Geometrie die Geometrie, die Euklid in dem Werk Die Elemente dargelegt hat.

Über zweitausend Jahre lang wurde Geometrie nach diesem axiomatischen Aufbau gelehrt. Die Redewendung „more geometrico“ (lateinisch: „auf die Art der (euklidischen) Geometrie“) dient noch heute als Hinweis auf eine streng deduktive Argumentation.

Euklid geht dabei folgendermaßen vor:

Die moderne axiomatische Theorie

In einem anderen Sinne ist euklidische Geometrie eine am Ende des 19. Jahrhunderts entstandene, streng axiomatische Theorie. Die oben genannten Probleme wurden deutlich, als sich Bertrand Russell, David Hilbert und andere Mathematiker um eine strengere Grundlegung der Mathematik bemühten. Sie wurden von Hilbert gelöst, der die Ergebnisse in seinem Werk Grundlagen der Geometrie (1899) veröffentlichte. Vorläufer waren Hermann Graßmann, Moritz Pasch, Giuseppe Peano und andere. Auch nach Hilbert wurden mehrere andere Axiomensysteme für die euklidische Geometrie aufgestellt.

Euklidische und nichteuklidische Geometrie

Weiterhin dient der Begriff euklidische Geometrie als Gegenbegriff zu den nichteuklidischen Geometrien.

Den Impuls gab dabei die Auseinandersetzung mit dem Parallelenpostulat. Nachdem jahrhundertelang zuvor vergeblich versucht worden war, dieses fünfte Postulat des Euklid auf ein einfacheres zurückzuführen, schlussfolgerten der Ungar János Bolyai und der Russe Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski um 1830, dass eine Verneinung dieses fünften Postulates zu logischen Widersprüchen führen müsse, wenn dieses tatsächlich auf einfachere Aussagen zurückgeführt werden könne. Also verneinten die beiden Mathematiker dieses Postulat und definierten jeweils eigene (Ersatz-)Postulate, die wider Erwarten zu einem logisch völlig einwandfreien geometrischen System führten – den nichteuklidischen Geometrien: „Nicht der Beweis war indes so beunruhigend, sondern vielmehr sein rationales Nebenprodukt, das schon bald ihn und fast alles in der Mathematik überschatten sollte: Die Mathematik, der Eckstein wissenschaftlicher Gewissheit, war auf einmal ungewiss geworden. Man hatte es jetzt mit zwei einander widersprechenden Visionen unantastbarer wissenschaftlicher Wahrheit zu tun“, was zu einer tiefen Krise in den Wissenschaften führte (Pirsig, 1973).

Die genaue Formulierung des „hyperbolischen“ Axioms, das in der Geometrie von Lobatschewski, der hyperbolischen Geometrie, an die Stelle des Parallelenaxioms tritt, lautet: „… durch einen auf einer Gerade nichtliegenden Punkt gehen mindestens zwei Geraden, die mit dieser in einer Ebene liegen und sie nicht schneiden …“

Die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes

In einem Koordinatensystem lässt sich ein Punkt darstellen als ein Paar (in der ebenen Geometrie) oder als ein Tripel von reellen Zahlen. Eine Gerade oder Ebene ist dann eine Menge von solchen Zahlenpaaren (bzw. -tripeln), deren Koordinaten eine lineare Gleichung erfüllen. Die hierauf aufgebaute analytische Geometrie der reellen Zahlenebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ oder des reellen Zahlenraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ erweist sich als völlig äquivalent zu der axiomatisch definierten.

Man kann die analytische Geometrie als ein Modell für die axiomatische Theorie ansehen. Dann liefert sie einen Beweis der Widerspruchsfreiheit des Axiomensystems (wobei man allerdings eine widerspruchsfreie Begründung der reellen Zahlen als gegeben voraussetzen muss).

Man kann den analytischen Zugang aber auch als eine selbstständige (und bequemere) Begründung der Geometrie ansehen; aus dieser Sicht ist der axiomatische Zugang nur noch von geschichtlichem Interesse. Bourbaki zum Beispiel (und ebenso Jean Dieudonné) verzichtet vollständig auf die Verwendung originär geometrischer Begriffe und hält mit der Behandlung der topologischen Vektorräume das Thema für erledigt.

Euklidische Geometrie als Lehre vom Messen

Euklidische Geometrie ist auch die Geometrie, in der Strecken und Winkeln Maße zugeordnet werden.

Im axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie kommen Zahlen scheinbar überhaupt nicht vor. Es ist allerdings festgelegt, wie man an eine Strecke eine kongruente in der gleichen Richtung anfügt, diese also verdoppelt – und folglich auch mit einer beliebigen natürlichen Zahl vervielfacht. Es gibt auch eine Konstruktion, um eine gegebene Strecke in n gleiche Teile zu teilen. Wird nun noch eine beliebige Strecke als Einheitsstrecke ausgezeichnet, so ist es damit möglich, Strecken zu konstruieren, deren Maßzahl eine beliebige rationale Zahl ist. Dies ist der wesentliche Gegenstand der altgriechischen Arithmetik.

Bei anderen Konstruktionen ergeben sich Strecken, die keine rationale Zahl als Maßzahl haben. (Etwa die Diagonale des Quadrats über der Einheitsstrecke oder ihre Abschnitte bei der Teilung nach dem goldenen Schnitt.) Dies nachgewiesen zu haben, zeugt von dem unglaublich hohen Niveau der griechischen Mathematik schon zur Zeit der Pythagoreer. Somit wird die Einführung von irrationalen Zahlen erforderlich. 2000 Jahre später stellt Hilberts Vollständigkeitsaxiom sicher, dass alle reellen Zahlen als Maßzahlen für Strecken auftreten können.

Die Festlegung von Maßzahlen für Winkel verläuft ähnlich. Die Festlegung eines „Einheitswinkels“ entfällt, da mit dem Vollwinkel (oder dem Rechten Winkel) ein objektives Maß existiert. Andererseits ist die Teilung des Winkels in ${\displaystyle n}$ gleiche Teile wesentlich problematischer; längst nicht zu jedem rationalen Winkelmaß lässt sich ein Winkel konstruieren. Schon die Dreiteilung des Winkels misslingt im Allgemeinen.

Die so eingeführte Metrik ist äquivalent zu der durch die euklidische Norm induzierten euklidische Metrik des „analytischen“ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ oder ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Für die durch ihre Koordinaten gegebenen Punkte ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ und ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},y_{3})}$ ist also ${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}}$.

Maßzahlen für Winkel lassen sich in der analytischen Geometrie über das Skalarprodukt von Vektoren definieren.

Verallgemeinerung für höhere Dimensionen

Als analytische Geometrie lässt sich die euklidische Geometrie ohne weiteres für eine beliebige (auch unendliche) Anzahl von Dimensionen verallgemeinern.

Zu den Geraden und Ebenen treten dann höherdimensionale lineare Punktmengen, die als Hyperebenen bezeichnet werden. (In einem engeren Sinne ist eine Hyperebene eines ${\displaystyle n}$-dimensionalen Raumes ein möglichst „großer“, also ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionaler Teilraum.)

Die Zahl der Dimensionen ist dabei nicht beschränkt und muss auch nicht endlich sein. Zu jeder Kardinalzahl lässt sich ein euklidischer Raum dieser Dimension definieren.

Räume mit mehr als drei Dimensionen sind für unser Vorstellungsvermögen grundsätzlich unzugänglich. Sie wurden auch nicht mit dem Anspruch entworfen, menschliche Raumerfahrung darzustellen. Ähnlich wie bei den nichteuklidischen Geometrien fanden sich aber auch hier Bezüge zur theoretischen Physik: Die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie lässt sich als vierdimensionaler Raum darstellen. In der modernen Kosmologie gibt es Erklärungsansätze mit noch erheblich mehr Dimensionen.

Verwandte Gebiete

Verzichtet man auf das 3. und 4. euklidische Postulat (also auf die Begriffe „Kreis“ und „Rechter Winkel“) oder beschränkt man sich, für eine präzisere Definition, auf Hilberts Axiome der Verknüpfung und der Parallelen, so erhält man eine affine Geometrie. Sie wurde von Leonhard Euler erstmals entwickelt. Die Begriffe „Abstand“ und „Winkelmaß“ kommen hier nicht vor, wohl aber Streckenverhältnisse und Parallelität.

Ersetzt man das Parallelenaxiom durch die Festsetzung, dass zwei in einer Ebene gelegene Geraden immer einen Schnittpunkt haben sollen, so entsteht aus der affinen eine projektive Geometrie.

Umgekehrt kann man die euklidische auch aus der (reellen) projektiven Geometrie heraus entwickeln. Dualisiert man diesen Prozess innerhalb der projektiven Geometrie, so erhält man die dualeuklidische Geometrie. Diese lässt sich mit der euklidischen zur polareuklidischen Geometrie vereinen.

Wenn die Anordnungs- und Stetigkeitsaxiome wegfallen, können affine und projektive Geometrien auch aus endlich vielen Punkten bestehen.

In der synthetischen Geometrie wird der Begriff einer euklidischen Ebene so verallgemeinert, dass genau die Ebenen, deren affine Koordinaten in einem euklidischen Körper liegen, euklidische Ebenen sind.

Weblinks

Literatur

• Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). 2. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-22471-8

Bemerkungen

1. ↑ nach Axiom (D) in Benno Klotzek: Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien. 1. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-1583-0. 
2. ↑ Auch Gauß hat Arbeiten über nichteuklidische Geometrien verfasst, die er (nach eigener Aussage) deshalb nicht veröffentlicht hat, weil sie ihm viel zu „verrückt“ erschienen sind.