Elliptisches Parallelenaxiom

So ist es in einer elliptischen Ebene nicht möglich, dass gleichzeitig Hilberts Anordnungsaxiome (Gruppe II) und die Kongruenzaxiome für Strecken (III.1, III.2 und III.3) erfüllt sind. Hier kann man im Sinne der Kongruenz „sinnvoll“ nur eine Anordnung („Trennungsbeziehung“ durch vier statt drei Punkte bei einer hilbertschen Zwischenbeziehung) wie für projektive Ebenen einführen, denn elliptische Ebenen im Sinne der metrischen absoluten Geometrie sind auch projektive Ebenen, ihr „elliptisches“ (eigentlich projektives) Parallelenaxiom lautet einfach: „Es gibt keine Nichtschneidenden, zwei verschiedene Geraden der Ebene schneiden sich stets in genau einem Punkt“ siehe dazu Elliptische Geometrie#Kennzeichnung.

Die Abbildung rechts oben veranschaulicht den Unterschied zwischen einer Anordnung auf einer affinen Geraden ${\displaystyle g}$ oben im Bild und einer projektiven Geraden, dargestellt durch den Kreis ${\displaystyle h}$ unten im Bild. Auf einer affinen Geraden ${\displaystyle g}$ ist eine Hilbertsche Zwischenbeziehung definierbar, wenn der Koordinatenbereich sich anordnen lässt. Jede Affinität, die die (ungeordnete) Paarmenge ${\displaystyle \{G_{1},G_{2}\}}$ auf sich selbst abbildet, bildet auch die „Strecke“ ${\displaystyle g_{1}}$, das ist die Menge der Zwischenpunkte von ${\displaystyle (G_{1},G_{2})}$ auf sich selbst ab. Tatsächlich existieren genau vier solche Affinitäten: Zwei davon (Identität und senkrechte Achsenspiegelung an ${\displaystyle G_{1}G_{2}}$) halten die Gerade als Ganzes fest, die zwei anderen, die senkrechte Achsenspiegelung und die Punktspiegelung an der (affinen) Streckenmitte von ${\displaystyle (G_{1},G_{2})}$ vertauschen die Punkte ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ und die Halbgeraden ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$.

Auf einem affinen Kreis und einer projektiven Geraden ist die Situation anders. Zwei Punkte teilen die affine Kreislinie in zwei Kreisbögen auf. Affinitäten der Ebene, die ${\displaystyle \{H_{1},H_{2}\}}$ und die Kreislinie auf sich abbilden, bilden auch die zwei Bögen je auf sich ab, es sei denn ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ liegen auf dem gleichen Durchmesser, dann können ${\displaystyle h_{1}}$ und ${\displaystyle h_{2}}$ auch vertauscht werden und zwar durch die Punktspiegelung am Kreismittelpunkt und durch die (senkrechte) Achsenspiegelung am Durchmesser ${\displaystyle H_{1}H_{2}}$ .

Man kann die Kreislinie als Modell einer projektiven Geraden über einem angeordneten Körper ${\displaystyle K}$ auffassen, indem man sie von einem Punkt ${\displaystyle P=H_{\infty }}$ dieser Kreislinie aus zentral auf die dem Punkt gegenüberliegende Kreistangente ${\displaystyle t}$ projiziert. Der Punkt ${\displaystyle P}$ wird damit dem Fernpunkt von ${\displaystyle t}$ zugeordnet. Für eine projektive Ebene über ${\displaystyle K}$ existieren für zwei beliebige Punkte ${\displaystyle T_{1},T_{2}\in t}$, die im Bild den Punkten ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ auf der Kreislinie zugeordnet sind, Projektivitäten der Ebene, die die Punktmenge ${\displaystyle \{T_{1},T_{2}\}}$ auf sich abbilden, aber Punktmengen ${\displaystyle t_{1},t_{2}\subset t}$, die ${\displaystyle h_{1}}$ bzw. ${\displaystyle h_{2}}$ entsprechen, miteinander vertauschen. Kurz gesagt: Auf einer angeordneten projektiven Geraden kann man „innen“ und „außen“ nicht projektiv invariant unterscheiden!

Man beachte, dass auch bei der Geraden ${\displaystyle g}$ oben im Bild, wenn man sie als reelle, projektive Gerade auffasst, die Komplementärmenge ${\displaystyle c=g\setminus s}$ der abgeschlossenen affinen Strecke ${\displaystyle s=g_{1}\cup \{G_{1},G_{2}\}}$, die dann auch den Fernpunkt von ${\displaystyle g}$ enthält, bezüglich der Ordnungstopologie eine zusammenhängende Teilmenge von ${\displaystyle g}$ ist!

Hyperbolisches Parallelenaxiom nach Hilbert

David Hilbert hat 1903 die folgende Formulierung für ein Parallelenaxiom der hyperbolischen Geometrie gegeben, vergleiche auch die Abbildung rechts:

Ist ${\displaystyle b}$ eine beliebige Gerade und ${\displaystyle A}$ ein nicht auf ihr gelegener Punkt, so gibt es stets durch ${\displaystyle A}$ zwei Halbgerade ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$, die nicht ein und dieselbe Gerade ausmachen und die Gerade ${\displaystyle b}$ nicht schneiden, während jede in dem durch ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ gebildeten Winkelraum ${\displaystyle \angle (a_{1},a_{2})}$ gelegene, von ${\displaystyle A}$ ausgehende Halbgerade die Gerade ${\displaystyle b}$ schneidet.

Der Winkelraum ${\displaystyle \angle (a_{1},a_{2})}$ ist in der Abbildung rechts durch einen Kreisbogen (hellblau) gekennzeichnet. Alle Halbgeraden mit Startpunkt ${\displaystyle A}$, die nicht in diesem Winkelraum liegen, schneiden die Gerade ${\displaystyle b}$ nicht.

Im oben genannten Axiomensystem von Hilbert kann man das euklidische Parallelenaxiom (IV von Hilbert) durch Hilberts hyperbolisches Parallelenaxiom ersetzen. Damit erhält man (für die Ebene, auf die sich Hilbert hier beschränkt, das heißt von der Gruppe der Inzidenzaxiome werden nur I.1 bis I.3 benötigt) ein widerspruchsfreies Axiomensystem, für das es (bis auf Isomorphie) genau ein Modell gibt: Die reelle, hyperbolische Ebene, die zum Beispiel durch das (reelle) Kleinsche Kreisscheibenmodell innerhalb der reellen euklidischen Ebene modelliert werden kann. Den Beweis skizziert er selbst in seinen Grundlagen. Ein vollständiger Beweis wurde 1907 von Johannes Hjelmslev gegeben.