Grundrelation

Für involutorische Gruppenelemente ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ wird eine namenlose Relation definiert, es zeigt sich, dass diese Relation sowohl Inzidenz als auch Senkrechtstehen und noch einige andere Beziehungen beschreibt: Seien ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ involutorische Gruppenelemente, dann gilt ${\displaystyle \alpha |\beta }$ genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• ${\displaystyle \alpha \beta }$ ist involutorisch,
• ${\displaystyle \alpha \beta =\beta \alpha }$ und ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$,
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\alpha }$ und ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$ (geometrische Interpretation: Die Bewegung ${\displaystyle \beta }$ bildet das „geometrische Objekt“ ${\displaystyle \alpha }$ z. B. Punkt oder Gerade auf sich selbst ab),
• ${\displaystyle \beta ^{\alpha }=\beta }$ und ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$.

Die Grundrelation ist symmetrisch und irreflexiv.

Abkürzungen

Statt „${\displaystyle \alpha _{1}|\beta }$ und ${\displaystyle \alpha _{2}|\beta }$“ wird abkürzend ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}|\beta }$ geschrieben ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}|\beta _{1},\beta _{2}}$ bedeutet: Jedes linksstehende Element ${\displaystyle \alpha _{k}}$ steht mit jedem rechtsstehenden ${\displaystyle \beta _{j}}$ in Relation usw.

Punkte, Geraden, Inzidenz- und Senkrechtrelation

• Die Elemente des Erzeugendensystems ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ werden als Geraden interpretiert.
• Die involutorischen Elemente ${\displaystyle P\in {\mathfrak {G}}}$, für die eine Darstellung ${\displaystyle P=ab,\;a,b\in {\mathfrak {S}}}$ existiert, werden als Punkte interpretiert.
• Ist für einen Punkt ${\displaystyle P}$ und eine Gerade ${\displaystyle g}$ das Produkt ${\displaystyle Pg}$ (oder gleichwertig ${\displaystyle gP}$) involutorisch, dann sagt man: „${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle g}$ inzidieren“, kurz:${\displaystyle PIg:\Leftrightarrow P|g}$.
• Ist für zwei Geraden ${\displaystyle a,b}$ das Produkt ${\displaystyle ab}$ involutorisch, dann sagt man „${\displaystyle a}$ ist senkrecht zu ${\displaystyle b}$“, kurz ${\displaystyle a\perp b:\Leftrightarrow a|b}$.

Zwei senkrechte Geraden bestimmen also einen Punkt, senkrechte Geraden schneiden sich immer, ein Punkt kommutiert mit jeder Geraden, die mit ihm inzidiert. Zwei Geraden kommutieren genau dann, wenn sie zueinander senkrecht stehen.

${\displaystyle ({\mathfrak {G}},{\mathfrak {S}})}$ heißt, wenn die Grundannahme und die Axiome erfüllt sind, erzeugte Bewegungsgruppe. Die geometrische Struktur ${\displaystyle ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {S}},I,\perp )}$, die sich aus der Bewegungsgruppe durch die geometrischen Interpretationen ergibt, heißt die Gruppenebene von ${\displaystyle ({\mathfrak {G}},{\mathfrak {S}})}$.

Transformieren

Ist ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {G}}}$ ein beliebiges Gruppenelement, dann gilt nach Definition der Punkte und Geraden, insbesondere aufgrund der Invarianz von ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ unter Konjugation:

• für jeden Punkt ${\displaystyle P}$ ist das transformierte Objekt ${\displaystyle P^{\alpha }}$ ein Punkt,
• für jede Gerade ${\displaystyle g}$ ist das transformierte Objekt ${\displaystyle g^{\alpha }}$ eine Gerade,
• die Inzidenzrelation und die Senkrechtrelation bleiben bei Transformationen erhalten.

Durch das „Transformieren“, also das gruppentheoretische Konjugieren, operiert die Gruppe auf sich selbst und insbesondere auf den Elementen, die geometrisch als Geraden und Punkte interpretiert werden. Als Transformationsgruppe der Punkte und Geraden wird ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ als Gruppe der Bewegungen der Gruppenebene aus Punkten und Geraden bezeichnet.

Zunächst ist nach Konstruktion klar, dass durch die Transformation ein Epimorphismus der Gruppe ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ auf die Gruppe ihrer inneren Automorphismen gegeben ist. Tatsächlich gilt:

• Das Zentrum von ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ besteht nur aus dem Einselement. Und daher:
• Die axiomatisch beschriebene Bewegungsgruppe ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ ist isomorph zur Gruppe der Bewegungen ihrer Gruppenebene.

Verbindbarkeit

Besteht für drei involutorische Elemente ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\sigma }$ die Relation ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}|\sigma }$, dann heißt ${\displaystyle \sigma }$ eine Verbindung von ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$. Wichtige konkrete geometrische Interpretationen der Verbindbarkeit:

• ${\displaystyle A,B|g}$: Die Punkte ${\displaystyle A,B}$ sind durch die Gerade ${\displaystyle g}$ verbunden. – Die Existenz dieser Verbindungsgeraden ist durch das Axiom 1, ihre Eindeutigkeit im Fall ${\displaystyle A\neq B}$ durch Axiom 2 gesichert.
• ${\displaystyle g,h|A}$: Die beiden Geraden sind kopunktal. Existiert für zwei verschiedene Geraden ein Verbindungspunkt, dann gibt es nach Axiom 2 keinen weiteren.
• ${\displaystyle g,h|l}$: Die Geraden ${\displaystyle g,h}$ besitzen ein gemeinsames Lot ${\displaystyle l}$. Sie heißen dann auch lotgleich. Die geometrische Aussage: „Jede Gerade besitzt ein Lot“ folgt aus der Tatsache, dass jede Gerade einen Punkt enthält (aus den gruppentheoretischen Axiomen nicht ganz trivial zu beweisen) und dann einfach aus der Definition eines Punktes als Produkt zweier senkrechter Geraden.

Die Lotgleichheit zweier Geraden ist in der absoluten Geometrie eine Äquivalenzrelation, die die Parallelität im Sinne der Inzidenz oft ersetzen kann.

Büschel

Von Geraden ${\displaystyle a,b,c\in {\mathfrak {S}}}$ sagt man „sie liegen im Büschel“, wenn ${\displaystyle abc\in {\mathfrak {S}}}$ also eine Gerade ist. Die dreistellige Relation Im-Büschel-Liegen ${\displaystyle B(a,b,c)}$ hat offensichtlich die folgenden Eigenschaften:

• (dreistellige) Reflexivität: Stimmen mindestens zwei der Garaden ${\displaystyle a,b,c}$ überein, dann gilt ${\displaystyle B(a,b,c)}$. Zum Beispiel ${\displaystyle B(a,a,c):aac=c}$, da ${\displaystyle a}$ Involution ist, ${\displaystyle B(a,b,a):aba=b^{a}\;}$ ist eine Gerade, weil ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ invariant ist.
• (dreistellige) Symmetrie: Gilt ${\displaystyle B(a,b,c)}$, so trifft die Relation auch für jede Permutation der Geraden zu. Zum Beispiel ${\displaystyle abc\in {\mathfrak {S}}\Rightarrow bca=aa\cdot bca=a(abc)a=(abc)^{a}}$; ${\displaystyle \;abc\in {\mathfrak {S}}\Rightarrow abc=(abc)^{-1}=cba}$ usw.

Nicht so offensichtlich ist die:

• (dreistellige) Transitivität: Gilt ${\displaystyle B(a,b,c),B(a,b,d)}$ und ${\displaystyle a\neq b}$, dann folgt ${\displaystyle B(a,c,d)}$.

Die Büschelrelation erzeugt als dreistellige „Äquivalenzrelation“ eine Aufteilung der Geradenmenge in Geradenbüschel mit folgenden Eigenschaften, die den Äquivalenzklasseneigenschaften einer zweistelligen Äquivalenzrelation ähneln (und rein mengentheoretische Folgerungen aus den genannten Relationeneigenschaften, der dreistelligen Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind):

• Für drei verschiedene Geraden in einem Büschel gilt die Relation.
• Gilt die Relation für zwei verschiedene Geraden eines Büschels und eine dritte Gerade, dann liegt auch diese im Büschel.
• Zwei verschiedene Geraden eines Büschels bestimmen dieses eindeutig.
• Zwei verschiedene Büschel haben höchstens ein Element gemein.

Geometrisch treten in der absoluten Geometrie drei Arten von Geradenbüscheln auf:

1. Büschel kopunktaler Geraden (die klassischen Büschel, wie sie im projektiven Raum auftreten),
2. Büschel lotgleicher Geraden, Lotbüschel,
3. „freie“ Büschel (weder Punkt- noch Lotbüschel).

Für die ersten zwei Arten gilt ein „Alles oder Nichts“-Prinzip: Ist ein Punktbüschel zugleich Lotbüschel, dann sind es alle! Dies ist genau dann der Fall, wenn die Geometrie elliptisch ist, in diesem Fall existieren auch keine freien Büschel. In jeder nichtelliptischen Geometrie schließen sich die drei Fälle aus. Alle drei Arten werden bei der Einbettung der absoluten Geometrie in eine projektive Idealebene zu Idealpunkten. Genau diese Idealpunkte sind dann die Punkte der Idealebene.

Spiegelbildliche Lage, Winkel, Drehungen

Gilt für 4 Geraden ${\displaystyle a,b,c,d\;ab=dc}$, dann sagt man nach Hjelmslev: „Die Geraden ${\displaystyle b,d}$ liegen zueinander spiegelbildlich in Bezug auf die Geraden ${\displaystyle a,c}$.“ Dann liegen auch die Geraden ${\displaystyle a,c}$ spiegelbildlich zueinander in Bezug auf ${\displaystyle b,d}$, vergleiche die Abbildungen. Ist dabei ${\displaystyle a=c}$, also ${\displaystyle ab=da}$ und gleichwertig ${\displaystyle b^{a}=d}$, dann sagt man: „Die Geraden ${\displaystyle b,d}$ liegen spiegelbildlich zueinander in Bezug auf die Achse ${\displaystyle a}$“. Aus den Axiomen folgt nicht, dass es zu zwei gegebenen verschiedenen Geraden ${\displaystyle b,d}$ eine solche Mittellinie gibt.

Für Paare ${\displaystyle (a,b),(d,c)}$ von Geraden in einem Punktbüschel ist durch die symmetrische Lage eine Äquivalenzrelation gegeben: ${\displaystyle (a,b)\sim (d,c):\Leftrightarrow ab=dc}$. Zwei Paare, die zueinander in der ${\displaystyle \sim }$-Relation stehen, bestimmen die gleiche „Drehung“ um den Punkt, mit dem sie gemeinsam inzidieren. Daher kann man die Äquivalenzklassen als Winkel auffassen. Der in der Abbildung rechts (kopunktale Geraden) eingezeichnete (euklidische) Winkel zwischen zwei Achsen ist der halbe euklidische Drehwinkel der Drehung um ${\displaystyle O}$, die durch das Transformieren mit ${\displaystyle ab=dc}$ gegeben ist. In der zweiten Abbildung (lotgleiche Geraden) ist die eingezeichnete (euklidische) Verschiebung die Hälfte der Translation, die durch das Transformieren mit ${\displaystyle ab}$ (links) bzw. ${\displaystyle cd}$ (rechts) im metrisch-euklidischen Fall gegeben ist.

Polardreiseit und elliptische Ebenen

Geometrisch ist ein Polardreiseit ein Dreiseit (drei Geraden, die nicht kopunktal sind), bei dem jede Gerade auf beiden anderen senkrecht steht. In der Sprache der Gruppenebene sind das drei verschiedene ${\displaystyle a,b,c\in {\mathfrak {S}}}$, bei denen je zwei verschiedene zueinander in der ${\displaystyle |}$ Relation stehen, das heißt bei den unterschiedlichen äquivalenten Aussagen und Interpretationen:

Jedes Produkt von zwei dieser Elemente

• ist eine Involution, d. h. ein Punkt,
• ist dem umgekehrten Produkt gleich.

• Aus der zweiten Aussage folgt, dass die drei Elemente kommutieren.

Nennt man z. B. das Produkt ${\displaystyle ab=:C}$ Punkt ${\displaystyle C}$, dann sind ${\displaystyle aC=aab=b,Cb=abb=a}$ involutorisch, also liegt ${\displaystyle C}$ auf ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$, ist also der eindeutig bestimmte Schnittpunkt dieser senkrechten Geraden. Analog sind ${\displaystyle B:=ac}$, ${\displaystyle A:=bc}$ die anderen beiden Ecken des Dreiseits. Da die drei Geraden kommutieren, ist ${\displaystyle (Cc)^{2}=(abc)^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}=1}$. ${\displaystyle Cc}$ kann aber nicht involutorisch sein, sonst wäre ${\displaystyle C}$ auch in der Geraden ${\displaystyle c}$ enthalten, was der Eindeutigkeit des Lotes in einem Punkt der Geraden ${\displaystyle c}$ widerspräche. Also gilt ${\displaystyle abc=1}$ und das Entsprechende für jede Permutation der drei Geraden im Produkt.

Gilt umgekehrt ${\displaystyle abc=1}$ für drei Geraden, so müssen sie paarweise verschieden sein (sonst wäre das Produkt entweder eine Gerade oder eine transformierte Gerade also wieder eine Gerade und jedenfalls eine Involution). Es folgt ${\displaystyle ab=c,a=cb,b=ac}$ und wieder hat man drei verschiedene paarweise senkrechte Geraden, die zugleich als Produkte von Geraden Punkte sind.

Axiom ${\displaystyle \neg \mathbf {P} }$ (Es existiert kein Polardreiseit) Es ist stets ${\displaystyle abc\neq 1}$.

Axiom ${\displaystyle \mathbf {P} }$ (Es existiert ein Polardreiseit) Es gibt ${\displaystyle a,b,c}$ mit ${\displaystyle abc=1}$.

Aus dem Axiom ${\displaystyle \neg \mathbf {P} }$ folgt mit den gemeinsamen Axiomen: Kein Produkt einer ungeraden Anzahl von Erzeugenden ist einem Produkt einer geraden Anzahl von Erzeugenden gleich. In diesem Fall ist die Untergruppe ${\displaystyle {\mathfrak {U}}<{\mathfrak {G}}}$ der durch eine gerade Anzahl von Erzeugenden darstellbaren Gruppenelemente eine Untergruppe vom Index 2 in ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$. Dann gilt:

• Es ist ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{ab:a,b\in {\mathfrak {S}}\}}$,
• Jeder Punkt gehört zu der Untergruppe ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$,
• jedes Element der (echten) Nebenklasse von ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$, der Klasse der durch eine ungerade Zahl von erzeugenden Achsenspiegelungen darstellbaren Gruppenelemente, ist in der Form ${\displaystyle aB}$, als Gleitspiegelung darstellbar,
• kein Produkt von zwei Punkten ist involutorisch,
• kein Punkt ist einer Geraden gleich,
• die involutorischen Elemente von ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ sind genau die Punkte,
• die involutorischen Elemente der Nebenklasse sind genau die Geraden.

Aus dem Axiom ${\displaystyle \mathbf {P} }$ folgt mit den gemeinsamen Axiomen: Jedes Produkt einer geraden Anzahl von Erzeugenden ist einem Produkt einer ungeraden Anzahl von Erzeugenden gleich, es ist ${\displaystyle {\mathfrak {U}}={\mathfrak {G}}}$, und außerdem gilt:

• Jedes Gruppenelement ist in der Form ${\displaystyle ab}$ darstellbar,
• also ist jede Gerade ${\displaystyle c}$ einem Punkt ${\displaystyle C}$ gleich, man nennt ihn den Pol der Geraden, die Gerade Polare ihres Pols
• ${\displaystyle c=ab}$ bedeutet zugleich ${\displaystyle abc=1}$, also gehört jeder Punkt als Ecke zu einem Polardreieck, jede Gerade als Seite zu einem Polardreiseit.

Rechtseit und metrisch-euklidische Ebenen

• Axiom ${\displaystyle \mathbf {R} }$: Es gibt ${\displaystyle a,b,c,d}$ mit ${\displaystyle a,c\perp b,d}$ und ${\displaystyle a\neq c,b\neq d}$, das heißt, es gibt ein Rechtseit, vgl. die Abbildung rechts.
• Axiom ${\displaystyle \neg \mathbf {R} }$: Aus ${\displaystyle a,c\perp b,d}$ folgt ${\displaystyle a=c}$ oder ${\displaystyle b=d}$.

Geometrien, für die ${\displaystyle \mathbf {R} }$ gilt, werden metrisch-euklidisch genannt. In einer metrisch-euklidischen Ebene wird die Lotgleichheit als Parallelität definiert: ${\displaystyle a\|_{R}b}$ soll gelten, wenn die beiden Geraden ein gemeinsames Lot haben. Lotgleiche Geraden haben keinen oder alle Punkte gemein, sind also Nichtschneidende oder identisch. Zwei Geraden, die einander nicht schneiden, müssen aber nicht unbedingt ein gemeinsames Lot besitzen (siehe bei den Modellen). Das Verbindbarkeitsaxiom ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ schließt die Existenz solcher Nichtschneidender, die nicht lotgleich sind, aus.

Aus dem Axiom ${\displaystyle \mathbf {P} }$ folgt das Axiom ${\displaystyle \neg \mathbf {R} }$, gleichwertig: Aus dem Axiom ${\displaystyle \mathbf {R} }$ folgt das Axiom ${\displaystyle \neg \mathbf {P} }$ (immer auf der Grundlage der gemeinsamen Axiome). Ein Polardreiseit kann nicht zugleich mit einem Rechtsseit existieren. Etwas formeller: Keine metrisch-euklidische Geometrie ist elliptisch, keine elliptische metrisch-euklidisch.

Aus dem Axiom ${\displaystyle \mathbf {R} }$ folgt der Rechtsseitsatz: Aus ${\displaystyle a,b\perp c}$ und ${\displaystyle a\perp d}$ folgt ${\displaystyle b\perp d}$. ${\displaystyle (\mathbf {R} )}$ Vergleiche die Abbildung.

Trotz einer gewissen Ähnlichkeit zu Axiom ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ist der Rechtseitsatz ein Schließungssatz mit Orthogonalität – aus drei Senkrechtrelationen in einem Vierseit folgt die Vierte – während das Axiom eine reine Existenzaussage ist.

Verbindbarkeitsaxiom und Axiom H: Hyperbolische Ebenen

Hier wird „Verbindbarkeit“ in einem etwas engeren Sinn als weiter oben verstanden. Die Axiome können auch äquivalent allgemeiner formuliert werden, aber sie sollten hier als Axiome formal wenig voraussetzen. Die hier gegebene Formulierung ist die von Bachmann zur Beschreibung der hyperbolischen Geometrie gegebene:

• Axiom ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ (Verbindbarkeitsaxiom) Zu zwei Geraden ${\displaystyle a,b}$ gibt es stets einen Punkt ${\displaystyle C}$ mit ${\displaystyle a,b|C}$ oder eine Gerade ${\displaystyle g}$ mit ${\displaystyle a,b|g}$. Geometrisch formuliert: Zwei Geraden haben entweder einen Punkt oder ein Lot gemeinsam.

Gibt es für zwei Geraden einen solchen Schnittpunkt oder ein gemeinsames Lot, dann nennt man sie verbindbar (im engeren Sinn).

• Axiom ${\displaystyle \neg \mathbf {V} ^{*}}$: Es gibt ${\displaystyle a,b}$, die unverbindbar sind.
• Axiom ${\displaystyle \mathbf {H} }$: Gilt ${\displaystyle a,b,c|P}$ und sind ${\displaystyle a,g}$ und ${\displaystyle b,g}$ und ${\displaystyle c,g}$ jeweils unverbindbar, so gilt ${\displaystyle a=b}$ oder ${\displaystyle a=c}$ oder ${\displaystyle b=c}$.

Anders formuliert besagt Axiom ${\displaystyle \mathbf {H} }$: In einem Büschel kopunktaler Geraden gibt es höchstens zwei verschiedene, die mit einer gegebenen Geraden ${\displaystyle g}$ unverbindbar sind (weder einen Punkt noch ein Lot mit ihr gemeinsam haben).

Eine Geometrie, die ${\displaystyle \neg \mathbf {V} ^{*}}$ und ${\displaystyle \mathbf {H} }$ erfüllt, wird als hyperbolische Geometrie bezeichnet.

Man kann das um die Unvollvollständigkeitsaxiome ${\displaystyle \neg \mathbf {V} ^{*}}$ und ${\displaystyle \mathbf {H} }$ als Zusatzaxiome erweiterte Axiomensystem der hyperbolischen Geometrie äquivalent, aber ein wenig kürzer beschreiben, indem man ${\displaystyle \neg \mathbf {V} ^{*}}$ mit dem gemeinsamen Axiom ${\displaystyle D}$ zusammenfasst zum Axiom

${\displaystyle D^{*}}$: Es gibt ${\displaystyle g,h,j}$, mit ${\displaystyle g\perp h}$ und ${\displaystyle g,j}$ unverbindbar (im oben beschriebenen engeren Sinn: ${\displaystyle g,j}$ haben weder einen Punkt noch ein Lot gemein).

Man kann also die hyperbolischen Bewegungsgruppen auch gleichwertig durch das Axiomensystem beschreiben, das man erhält, wenn man zusätzlich das Axiom ${\displaystyle \mathbf {H} }$ fordert und die Axiome ${\displaystyle \neg \mathbf {V} ^{*}}$ und ${\displaystyle D}$ durch ${\displaystyle D^{*}}$ ersetzt.

Weiterhin gilt:

• Aus ${\displaystyle \mathbf {P} }$ folgt das Axiom ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$, („jede elliptische Geometrie ist vollständig“),
• aus ${\displaystyle \neg \mathbf {V} ^{*}}$ und ${\displaystyle \mathbf {R} }$ folgt die Ungültigkeit von ${\displaystyle \mathbf {H} }$ („keine unvollständige metrisch-euklidische Ebene ist hyperbolisch“),
• Jede hyperbolische Geometrie ist wegen ${\displaystyle \neg \mathbf {V} ^{*}}$ „unvollständig“.

Daher kann eine Gruppenebene nur höchstens einer der Klassen „elliptische“, „metrisch-euklidische“ oder „hyperbolische“ Geometrie angehören.

Halbelliptische Ebenen

Eine Gruppenebene, die die Axiome ${\displaystyle \neg \mathbf {R} }$, ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$ und ${\displaystyle \neg \mathbf {P} }$ erfüllt, wird als halbelliptisch bezeichnet, sie lässt sich auch gleichwertig durch das Axiom

„Zwei verschiedene Geraden haben entweder genau ein Lot oder genau einen Punkt gemeinsam, nie beides.“

beschreiben. Bei der Einbettung in einen projektiv-metrischen Raum werden halbelliptische Gruppen zu elliptischen Gruppen vervollständigt; ihre Bewegungsgruppe erweist sich dabei als volle elliptische Gruppe ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$, aber das axiomatisch beschriebene Erzeugendensystem ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$, das heißt geometrisch die Geraden der Ebene bilden eine echte Teilmenge ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\subsetneq {\mathfrak {S}}'}$ der projektiven Geradenmenge und hier gruppentheoretisch der Menge aller involutorischer Gruppenelemente ${\displaystyle {\mathfrak {S}}'}$.