Formel für Winkelberechnungen

Der von zwei durch benachbarten Ecken gehenden Umkreisradien eingeschlossene Winkel (Zentriwinkel) beträgt

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{18}}=20^{\circ }}$.

Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Achtzehneck miteinander einschließen, beträgt

${\displaystyle \beta ={\frac {(18-2)}{18}}\cdot 180^{\circ }={\frac {16}{18}}\cdot 180^{\circ }=160^{\circ }}$.

Formel für die Seitenlänge

${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}}$

${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {10^{\circ }}}$

${\displaystyle s\approx r_{u}\cdot 0{,}3472963553338606977}$

Diagonalen

Im regelmäßigen Achtzehneck gibt es insgesamt 135 Diagonalen mit verschiedenen Längen:

• 18 Diagonalen über 2 (bzw. 16) Seiten
• 18 Diagonalen über 3 (bzw. 15) Seiten
• 18 Diagonalen über 4 (bzw. 14) Seiten
• 18 Diagonalen über 5 (bzw. 13) Seiten
• 18 Diagonalen über 6 (bzw. 12) Seiten
• 18 Diagonalen über 7 (bzw. 11) Seiten
• 18 Diagonalen über 8 (bzw. 10) Seiten
• 9 Diagonalen über 9 Seiten

Die Längen im Verhältnis zum Umkreisradius betragen:

• Die Diagonale über zwei Seiten entspricht der Seite eines Neunecks mit gleichem Umkreis:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {20^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 0{,}68404029}$
• Die Diagonale über drei Seiten entspricht der Seite eines Sechsecks mit gleichem Umkreis:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {30^{\circ }}=r_{u}}$
• Die Diagonale über vier Seiten:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {40^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}28557522}$
• Die Diagonale über fünf Seiten:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {50^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}53208889}$
• Die Diagonale über sechs Seiten entspricht der Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit gleichem Umkreis:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {60^{\circ }}=r_{u}\cdot {\sqrt {3}}}$
• Die Diagonale über sieben Seiten:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {70^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}87938524}$
• Die Diagonale über acht Seiten:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin {80^{\circ }}\approx r_{u}\cdot 1{,}96961551}$
• Die Diagonale über neun Seiten entspricht dem Durchmesser des Umkreises:
  • ${\displaystyle s=2\cdot r_{u}}$

Formel für die Fläche

Die Fläche A des regelmäßigen Achtzehnecks mit der Seitenlänge s beträgt

${\displaystyle A={\frac {18}{4}}\cdot s^{2}\cdot {\frac {\cos 10^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}}}$

oder mit dem Umkreisradius

${\displaystyle A={\frac {18}{2}}\cdot r_{u}^{2}\cdot \sin 20^{\circ }}$.