Aussage

Sei ${\displaystyle M}$ eine orientierte n-dimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand ${\displaystyle \partial M}$ mit induzierter Orientierung. Dies ist für die meisten anschaulichen Beispiele, wie die Vollkugel mit Rand (Sphäre) oder den Torus (Rettungsring), gegeben.

Sei ferner ${\displaystyle \omega }$ eine auf ${\displaystyle M}$ (bzw. in einer hinreichend großen offenen Umgebung) definierte alternierende Differentialform vom Grad ${\displaystyle n-1}$, die als stetig differenzierbar vorausgesetzt wird.

Dann gilt die folgende Aussage, die nach Stokes benannt wurde:

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega }$

wobei ${\displaystyle \mathrm {d} }$ die Cartan-Ableitung bezeichnet. Das rechte Integral kann man als Oberflächenintegral verstehen oder allgemeiner als Integral über die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle \partial M}$.

Die Cartan-Ableitung ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$ ist hier gewissermaßen „dual“ zu der topologischen Operation ${\displaystyle \partial M}$, wodurch sich die in dieser Formel enthaltene Querbeziehung zwischen Aspekten der Analysis und topologisch-algebraischen Aspekten ergibt.

Anmerkungen

Unter der sehr allgemeinen Voraussetzung, dass ${\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,\omega _{i}}$   gilt, mit ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionalen Basisformen ${\displaystyle \omega _{i}}$, zum Beispiel mit

${\displaystyle \omega _{1}=\mathrm {d} x_{2}\wedge \mathrm {d} x_{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n-1}\wedge \mathrm {d} x_{n},}$

${\displaystyle \omega _{2}=\mathrm {d} x_{3}\wedge \mathrm {d} x_{4}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} x_{1},\ldots ,}$

und mit dem äußeren Produkt ${\displaystyle \wedge }$, das unter anderem die Bedingung der Antisymmetrie erfüllt, ${\displaystyle -\mathrm {d} x_{k}\wedge \mathrm {d} x_{i}=\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{k}}$, besagt die äußere Ableitung konkret das Folgende:

${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \omega \equiv \sum _{k,i=1}^{n}\,{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{k}}}\mathrm {d} x_{k}\wedge \omega _{i}.}$

Besonders einfach wird der Beweis des „Hauptsatzes“, wenn wie beim nebenstehenden Beispiel eines Normalgebietes die Integrationsmannigfaltigkeit (in der Zeichnung ${\displaystyle D}$ genannt) in vertikale Streifen (in ${\displaystyle x_{n}}$-Richtung) so segmentiert werden kann, dass nur an der gelb eingezeichneten „Oberseite“ und an der rot eingezeichneten „Unterseite“ nichttriviale Beiträge entstehen, und zwar wegen der ebenfalls eingezeichneten Orientierung (die Pfeilrichtungen) mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Folgerung

Sei ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ offen und ${\displaystyle \omega }$ eine stetig differenzierbare ${\displaystyle (k-1)}$-Form in ${\displaystyle U}$. Dann gilt für jede orientierte kompakte randlose ${\displaystyle k}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit ${\displaystyle M\subset U}$ die Aussage:

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =0.}$

Integration über Ketten

Sei ${\displaystyle \sigma$ :\Delta _{p}\to M} ein glatter ${\displaystyle p}$-Simplex und ${\displaystyle \omega }$ eine glatte, geschlossene Differentialform auf der glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Dann ist das Integral über ${\displaystyle \sigma }$ definiert durch

${\displaystyle \int _{\sigma }\omega =\int _{\Delta _{p}}\sigma ^{*}\omega }$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \sigma ^{*}\omega }$ den Rücktransport von ${\displaystyle \omega }$ bezüglich ${\displaystyle \sigma }$. Die Definition ergibt Sinn, da ${\displaystyle \Delta _{p}}$ eine glatte Untermannigfaltigkeit mit Rand und induzierter Orientierung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ist. (Oder man versteht ${\displaystyle \Delta _{p}}$ einfach als abgeschlossene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$.) Im Fall ${\displaystyle p=1}$ entspricht die Definition dem gewöhnlichen Kurvenintegral. Ist ${\displaystyle \textstyle c=\sum _{i=1}^{k}c_{i}\sigma _{i}}$ eine glatte ${\displaystyle p}$-Kette des singulären Komplexes, dann ist das Integral von ${\displaystyle \omega }$ über ${\displaystyle c}$ definiert als

${\displaystyle \int _{c}\omega$ :=\sum _{i=1}^{k}c_{i}\int _{\sigma _{i}}\omega =\sum _{i=1}^{k}c_{i}\int _{\Delta _{p}}\sigma _{i}^{*}\omega .}

Für den Fall ${\displaystyle p=1}$ findet man die Definition und weitere Informationen im Artikel Zyklus (Funktionentheorie).

Aussage

Sei ${\displaystyle c}$ eine glatte ${\displaystyle p}$-Kette des singulären Komplexes und ${\displaystyle \omega }$ eine glatte ${\displaystyle (p-1)}$-Differentialform auf der glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Dann gilt

${\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}\mathrm {d} \omega .}$

Mit ${\displaystyle \partial \colon C_{p}\to C_{p-1}}$ wird der Randoperator des singulären Komplexes bezeichnet.

Anwendung

Dieser Satz zeigt eine Verbindung zwischen differentialgeometrischen und topologischen Eigenschaften einer glatten Mannigfaltigkeit auf. Betrachtet man nämlich die De-Rham-Kohomologie ${\displaystyle H_{dR}^{*}(M)}$ und die singuläre Homologie ${\displaystyle H_{*}^{\text{sing}}(M)}$ von ${\displaystyle M}$, so erhält man durch

${\displaystyle {\begin{aligned}J\colon H_{dR}^{p}(M)&\to \operatorname {Hom} (H_{p}^{\text{sing}}(M),\mathbb {R} )\\\omega &\mapsto \left(c\mapsto \int _{c}\omega \right)\end{aligned}}}$

mit ${\displaystyle c\in H_{p}^{\text{sing}}(M)}$ einen Homomorphismus. Aufgrund des Satzes von Stokes ist dieser Homomorphismus wohldefiniert und es kommt nicht auf die Wahl des Repräsentanten ${\displaystyle c}$ der Homologieklasse an. Seien ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ zwei Repräsentanten der gleichen singulären Homologieklasse, dann gilt ${\displaystyle c_{1}-c_{2}=\partial b}$, denn zwei Repräsentanten unterscheiden sich nur um ein Element des Randes. Daher folgt mit dem Satz von Stokes

${\displaystyle \int _{c_{1}}\omega -\int _{c_{2}}\omega =\int _{\partial b}\omega =\int _{b}\mathrm {d} \omega =0.}$

Die letzte Gleichheit gilt, da ${\displaystyle \omega }$ ein Element der De-Rham-Kohomologie ist und daher ${\displaystyle \mathrm {d} \omega =0}$ gilt. Ist ${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \nu }$ eine exakte Differentialform, dann gilt

${\displaystyle \int _{c}\omega =\int _{c}\mathrm {d} \nu =\int _{\partial c}\nu =0.}$

Nach dem zentralen Satz von de Rham ist der Homomorphismus sogar ein Isomorphismus.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Sei ${\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} }$ ein offenes Intervall und ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist ${\displaystyle \mathrm {d} f(x)}$ eine 1-Form (sog. Pfaff'sche Form), und der allgemeine Stokes'sche Integralsatz entartet zu

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} f(x)=\int _{a}^{b}f'(x)\,\mathrm {d} x=\left.f(x)\right|_{a}^{b}=f(b)-f(a).}$

Dies ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Gaußscher Integralsatz

Für eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle V}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ein n-dimensionales Vektorfeld ${\displaystyle \mathrm {F} }$ erhält man als einen weiteren Spezialfall den gaußschen Integralsatz.

${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} F\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial V}\langle F,\nu \rangle \,\mathrm {d} S}$

Dabei ist ${\displaystyle \nu }$ der ${\displaystyle n}$-dimensionale Normalen-Einheitsvektor und die Integrale sind jetzt ${\displaystyle n}$- beziehungsweise ${\displaystyle (n-1)}$-dimensional, wobei die Größe ${\displaystyle \operatorname {div} F}$ auch als ${\displaystyle \nabla \cdot F}$ geschrieben wird. Wählt man

${\displaystyle \omega =F_{1}\mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n}+F_{2}\mathrm {d} x_{3}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} x_{1}+\ldots +F_{n}\mathrm {d} x_{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{n-1}}$

so ergibt sich der gaußsche Integralsatz aus dem stokesschen.

Man kann diesen Satz auch zur Definition der Divergenz eines Vektorfeldes benutzen, wobei diese Definition unabhängig von den benutzten Koordinaten ist.

Klassischer Integralsatz von Stokes

Der klassische Integralsatz von Stokes ist auch als Satz von Kelvin-Stokes oder Rotationssatz bekannt. Er findet bei Physikern und Elektrotechnikern Anwendung vor allem im Zusammenhang mit den Maxwell'schen Gleichungen. Er besagt, dass ein Flächenintegral über die Rotation eines Vektorfeldes in ein geschlossenes Kurvenintegral über die Tangentialkomponente des Vektorfeldes umgewandelt werden kann. Dies ist hilfreich, da das Kurvenintegral das Vektorfeld allein enthält und in der Regel einfacher zu berechnen ist als Flächenintegrale, zumal dann, wenn die betrachtete Fläche gekrümmt ist. Darüber hinaus sind die Kurvenintegrale in vielen Anwendungen unmittelbar betroffen – und erst in zweiter Linie die zugehörigen Flächenintegrale –, zum Beispiel beim faradayschen Induktionsgesetz. Ist speziell ${\displaystyle \partial \Sigma }$ gegeben, so führt die Tatsache, dass viele verschiedene Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle \Sigma }$ in eine einzige geschlossene Randmannigfaltigkeit ${\displaystyle \partial \Sigma }$  „eingezwängt“ werden können, zur Eichinvarianz von Theorien wie der von Maxwell.