Mit Zirkel und Lineal

• Liegt ${\displaystyle P}$ auf dem gegebenen Kreis, so ist ${\displaystyle P'}$ gleich ${\displaystyle P}$.

• Falls der Punkt ${\displaystyle P}$ im Kreisinneren liegt (Bild 1), zeichnet man die zur Halbgeraden ${\displaystyle [MP}$ senkrechte Kreissehne durch ${\displaystyle P}$ und die beiden Kreistangenten in den Endpunkten dieser Sehne. ${\displaystyle P'}$ ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser Tangenten.

• Liegt der Punkt ${\displaystyle P}$ dagegen außerhalb des Kreises, so beginnt man mit den beiden Kreistangenten durch ${\displaystyle P}$ mithilfe des Thaleskreises. Anschließend bringt man die Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkte mit der Halbgeraden ${\displaystyle [MP}$ zum Schnitt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt ${\displaystyle P'}$.

Der Beweis, dass man so den Bildpunkt erhält, folgt direkt aus dem Kathetensatz.

Mit Zirkel allein

Liegt der Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb des Inversionskreises (Bild 2), so zeichnet man um ${\displaystyle P}$ einen Kreis durch den Mittelpunkt des Inversionskreises. Dieser schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten. Zeichne auch um diese Punkte Kreise durch den Mittelpunkt. Diese beiden Kreise schneiden sich nun im Bildpunkt ${\displaystyle P'}$.

Liegt ${\displaystyle P}$ auf dem Inversionskreis, so ist keine Konstruktion notwendig, es gilt ${\displaystyle P'=P.}$

Liegt ${\displaystyle P}$ innerhalb des Inversionskreises, kann z. B. mithilfe einer Einteilung der möglichen Lagen des Punktes ${\displaystyle P}$ in drei Bereiche (Bild 3–5), eine deutliche Vereinfachung des Konstruktionsaufwandes für zwei Bereiche erreicht werden. Hierfür stellt man sich, quasi gedanklich, eine Kreisfläche (hellgrau) vor, deren Radius gleich ist dem halben Radius des Inversionskreises. Für die eigentliche Konstruktion ist die Kreisfläche (hellgrau) nicht erforderlich. Die drei Bereiche der möglichen Lage des Punktes ${\displaystyle P}$, meist gegeben als Abstand zum Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Inverskreises, und die dafür möglichen Konstruktionsmethoden sind:

1. Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ (Bild 3) ist größer als der halbe Radius des Inversionskreises, d. h. ${\displaystyle |{\overline {MP}}|>{\frac {1}{2}}R.}$

Zuerst wird um den Punkt ${\displaystyle P}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ gezogen. Dieser schneidet den Inversionskreis in den Punkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B.}$ Die abschließenden Kreise um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit den Radien ${\displaystyle |{\overline {AM}}|}$ bzw. ${\displaystyle |{\overline {BM}}|}$ liefern den Bildpunkt ${\displaystyle P'.}$

2. Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ (Bild 4) ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises, d. h. ${\displaystyle |{\overline {MP}}|={\frac {1}{2}}R.}$

Zuerst wird um den Punkt ${\displaystyle P}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ gezogen und anschließend, mittels dreimaligem Abtragen dieses Radius ab dem Punkt ${\displaystyle M}$, sein Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$ bestimmt. Als Nächstes wird der letzte Kreis mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$ um den Punkt ${\displaystyle C}$ gezogen. Abschließend bedarf es noch eines zweimaligen Abtragens dieses Radius, ab den soeben erzeugten Schnittpunkt ${\displaystyle D,}$ um den Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ zu erhalten.

3. Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ (Bild 5) ist kleiner als die Hälfte, aber größer als ein Achtel des Radius des Inversionskreises, d. h. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}R<|{\overline {MP}}|<{\frac {1}{2}}R.}$

Im nebenstehenden Bild 5, veranschaulicht die kleine Kreisfläche (rosa) ein Achtel des Radius des Inversionskreises. Für die eigentliche Konstruktion ist die Kreisfläche (rosa) nicht erforderlich. Dies gilt ebenso für die eingezeichneten gepunkteten Linien; sie sollen lediglich einen Vergleich mit der Konstruktion Mit Zirkel und Lineal verdeutlichen.

Zuerst wird um den Punkt ${\displaystyle P}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ gezogen und anschließend, durch ein dreimaliges Abtragen dieses Radius, sein Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$ bestimmt. Es folgt ein Kreisbogen um ${\displaystyle C}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MC}}|,}$ auf dem, analog zuvor, der Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MF}}|}$ erzeugt wird. Nun wird ein Kreisbogen um ${\displaystyle F}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MF}}|}$ gezogen, der den Inversionskreis in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ schneidet. Je ein Kreisbogen um ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ mit den Radien ${\displaystyle |{\overline {MG}}|}$ bzw. ${\displaystyle |{\overline {MH}}|}$ schließen sich an und schneiden sich in ${\displaystyle I.}$ Um ${\displaystyle I}$ wird ein Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MI}}|}$ gezogen auf dem, analog zuvor, der Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {ML}}|}$ erzeugt wird. Als Nächstes wird der letzte Kreis mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {ML}}}$ um den Punkt ${\displaystyle L}$ gezogen. Abschließend bedarf es noch eines dreimaligen Abtragens dieses Radius, ab dem Punkt ${\displaystyle M}$ um den Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ zu erhalten.

• Universelle Methode für Liegt ${\displaystyle P}$ innerhalb des Inversionskreises:

Zunächst halbiert man den Radius des Inversionskreises so oft, bis man einen neuen Kreis erhält, der den Punkt ${\displaystyle P}$ nicht mehr enthält. (Dies ist mit Zirkel allein möglich.) Anschließend konstruiert man wie oben (Bild 2) den Bildpunkt von ${\displaystyle P}$, wobei die Inversion am neuen Kreis durchgeführt wird. Zuletzt verdoppelt man den Abstand des Bildpunktes doppelt so oft wie man den Radius halbiert hat. (Auch dies ist mit Zirkel allein möglich.) Dieser Punkt ist der gesuchte Bildpunkt.

Auf Grund der Komplexität dieses Verfahrens wird man die Konstruktion wohl kaum durchführen, sie bietet aber eine Möglichkeit den Satz von Mohr-Mascheroni zu beweisen, der besagt, dass man mit Zirkel allein alle Konstruktionen durchführen kann, die mit Zirkel und Lineal möglich sind.

Mit anderen Hilfsmitteln

Es gibt mechanische Geräte, die speziell für die Inversion am Kreis konstruiert wurden, zum Beispiel den Inversor von Peaucellier.