Beispiel Gerade

Die Gerade mit der Gleichung ${\displaystyle ax+by+c=0}$ wird nach obiger Abbildungsvorschrift bei der Spiegelung am Einheitskreis auf die Kurve mit der Gleichung ${\displaystyle a{\tfrac {X}{X^{2}+Y^{2}}}+b{\tfrac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}+c=0}$ abgebildet. Diese Gleichung ist äquivalent zu

${\displaystyle aX+bY+c(X^{2}+Y^{2})=0}$

und beschreibt im Fall ${\displaystyle c=0}$ die ursprüngliche Gerade, im Fall ${\displaystyle c\neq 0}$ einen Kreis durch den Nullpunkt mit der Gleichung

${\displaystyle \left(X+{\frac {a}{2c}}\right)^{2}+\left(Y+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{4c^{2}}}\ .}$

In den folgenden Beispielen werden der Einfachheit halber statt ${\displaystyle X,Y}$ die (kleinen) ${\displaystyle x,y}$ auch für die Bildkurve verwendet.

Beispiel Kreis

Der Kreis mit der Gleichung ${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}}$ wird nach obiger Abbildungsvorschrift bei der Spiegelung am Einheitskreis auf die Kurve mit der Gleichung ${\displaystyle ({\tfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}-x_{0})^{2}+({\tfrac {y}{x^{2}+y^{2}}}-y_{0})^{2}=r^{2}}$ abgebildet. Diese Gleichung ist äquivalent zu

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2})-2xx_{0}-2yy_{0}+1=0}$

und beschreibt
im Fall ${\displaystyle x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=r^{2}}$ (der Urbildkreis geht durch den Nullpunkt) die Gerade

${\displaystyle 2xx_{0}+2yy_{0}=1\ .}$

Falls ${\displaystyle x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\neq r^{2}}$ ist, lässt sich obige Gleichung umformen zu

${\displaystyle \left(x-{\frac {x_{0}}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {y_{0}}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2}}}\right)^{2}={\frac {r^{2}}{(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2})^{2}}}\ .}$

Diese Gleichung beschreibt einen Kreis.
Falls ${\displaystyle x_{0}=y_{0}=0}$ ist, ergibt sich wieder ein Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und Radius ${\displaystyle 1/r\ .}$

Beispiel Parabel

a) Die Parabel ${\displaystyle y=x^{2}}$ wird (durch Spiegelung am Einheitskreis) als parametrisierte Kurve ${\displaystyle (u,u^{2})}$ auf die Kurve ${\displaystyle ({\tfrac {1}{u(1+u^{2})}},{\tfrac {1}{1+u^{2}}})}$ abgebildet (siehe Bild). Als implizite Kurve ${\displaystyle x^{2}-y=0}$ ergibt sich für die Bildkurve die Gleichung ${\displaystyle x^{2}-y(x^{2}+y^{2})=0}$, dies ist die Gleichung einer Zissoide.

b) Die Parabel ${\displaystyle y=x^{2}-{\tfrac {1}{4}}}$ wird durch die Kreisspiegelung auf die Kardioide mit der Gleichung ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+2y)^{2}=4(x^{2}+y^{2})}$ abgebildet. Die Inversion einer Parabel ergibt nur dann eine Kardioide, wenn das Inversionszentrum im Brennpunkt liegt.

Bei der Inversion einer Parabel gehen die Tangenten in eine Schar von Kreisen durch den Nullpunkt über, deren Einhüllende die Bildkurve ist. Im Fall der Kardioide liegen die Mittelpunkte dieser Kreise auch auf einem Kreis durch den Nullpunkt (in Beispiel b) hat dieser Kreis den Radius 1). Diese Eigenschaft verwendet man, um eine Kardioide als Einhüllende von Kreisen zu zeichnen: 1) Wähle einen Kreis k und einen Punkt O darauf, 2) Zeichne Kreise durch O mit Mittelpunkte auf k, 3) Zeichne die Einhüllende dieser Kreise.

Beispiel Hyperbel

a) Die Hyperbel mit der Gleichung ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ wird durch die Spiegelung am Einheitskreis auf die Lemniskate mit der Gleichung ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})=0}$ abgebildet (siehe Bild).

b) Die Inversion der Hyperbel ${\displaystyle (x-1)^{2}-y^{2}=1}$ ergibt das kartesische Blatt ${\displaystyle x^{2}-2x(x^{2}+y^{2})-y^{2}=0}$ (siehe Bild).

Kreisspiegelung auf der Riemannschen Zahlenkugel

Betrachtet man solch eine Zuordnung der reellen Ebene auf Punkte der Riemannschen Zahlenkugel, dass

1. die reelle Ebene die Äquatorebene und
2. der Einheitskreis dem Äquatorkreis entspricht,

so wird die Spiegelung am Einheitskreis als Abbildung auf der Riemannschen Zahlenkugel durch die gewöhnliche Spiegelung an der Äquatorebene vermittelt (siehe Bild). Dabei wird der Punkt ${\displaystyle N}$ mit dem Punkt ${\displaystyle m}$ vertauscht und Kreise durch ${\displaystyle N}$ gehen in Kreise durch ${\displaystyle m}$ über. Kreise durch ${\displaystyle N=\infty }$ entsprechen im ebenen Modell Geraden.

Hinweise zur Visualisierung impliziter Kurven findet man hier.

Beispiel Kugel mit Längen- und Breitenkreise

Die für eine Inversion einfachste Fläche ist eine Kugel mit Längen- und Breitenkreisen. Das Bild der Kugel ist wieder eine Kugel und die Längen- und Breitenkreise gehen wieder in ein System von sich orthogonal schneidenden Kreisen über. Die Bilder von Nord- und Südpol liegen allerdings im Allgemeinen nicht mehr auf einem Kugeldurchmesser (siehe Bild).

Beispiel Ellipsoid mit Kreise und Ellipsen

Auf einem Rotationsellipsoid liegt eine Schar von horizontalen Kreisen, die bei dem im Bild gezeigten Beispiel wieder auf Kreise abgebildet werden. Die senkrechten Ellipsen des Ellipsoids werden auf Kurven abgebildet, die ähnlich der oben im Beispiel einer Kreisspiegelung einer Ellipse sind.

Beispiel einschaliges Hyperboloid mit Kreise und Hyperbeln

Auf einem einschaligen Rotationshyperboloid liegt eine Schar von Kreisen (im Bild sind es horizontale Kreise) und zwei Scharen von Geraden (im Bild ist eine Gerade (blau) dargestellt). Die Kreise gehen wieder in eine die Fläche überdeckende Schar von Kreisen über. Auch jede Gerade (Erzeugende) des Hyperboloids geht in einen Kreis durch den Ursprung über (s. Bild). Die Schar von Hyperbeln (sie schneiden die Kreise orthogonal) wird auf eine Schar von Lemniskaten-ähnlichen Kurven, die den Ursprung enthalten, abgebildet. Im Bild sind nur diese Teile dieser Kurven dargestellt, die sich als Bilder der Hyperbelbögen ergeben.

Hinweise zur Visualisierung impliziter Flächen findet man hier.

Bilder von Hyperebenen und Hyperkugeln

Wie beim Beweis, dass eine Kreisspiegelung Geraden und Kreise in ebensolche abbildet, zeigt man mit Hilfe der Vektorrechnung, dass im allgemeinen Fall gilt:

• Bei einer Inversion gehen Hyperebenen und Hyperkugeln in ebensolche über.

Winkeltreue

Es sei ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}\;(s)}$ eine reguläre Kurve im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\gamma }}\;(s)={\tfrac {{\vec {c}}\;(s)}{{\vec {c}}\;^{2}(s)}}}$ die dazu inverse Kurve bezüglich der Spiegelung an der Einheitshyperkugel. Dann gilt

${\displaystyle {\vec {\gamma }}\;'={\frac {{\vec {c}}\;'{\vec {c}}\;^{2}-2{\vec {c}}({\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\;')}{({\vec {c}}\;^{2})^{2}}}\ .}$ (Das Argument ${\displaystyle (s)}$ wurde jeweils weggelassen.)

Analog gilt für eine weitere reguläre Kurve ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {d}}(t)}$ und ihre Inverse ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {\delta }}(t)={\tfrac {{\vec {d}}(t)}{{\vec {d}}\;^{2}(t)}}}$ :

${\displaystyle {\vec {\delta }}\;'={\frac {{\vec {d}}\;'{\vec {d}}\;^{2}-2{\vec {d}}({\vec {d}}\cdot {\vec {d}}\;')}{({\vec {d}}\;^{2})^{2}}}\ .}$

Beide Kurven mögen nach der Bogenlänge parametrisiert sein (d. h. es ist ${\displaystyle |{\vec {c}}\;'|=|{\vec {d}}\;'|=1}$) und sich im Punkt ${\displaystyle {\vec {c}}(0)={\vec {d}}(0)}$ schneiden. Dann schneiden sich ihre Inversen in ${\displaystyle {\vec {\gamma }}(0)={\vec {\delta }}(0)}$. In diesen Schnittpunkten gilt also in den obigen Formeln ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {d}}\ }$ und man rechnet nach, dass

${\displaystyle ({\vec {\gamma }}\;')^{2}=\dots ={\frac {1}{({\vec {c}}\;^{2})^{2}}}=({\vec {\delta }}\;')^{2}\ .}$

Unter Beachtung, dass ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {d}}\ }$ ist, ergibt sich für den Schnittwinkel ${\displaystyle \alpha }$ der Bildkurven:

• ${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\vec {\gamma }}\;'}{|{\vec {\gamma }}\;'|}}\cdot {\frac {{\vec {\delta }}\;'}{|{\vec {\delta }}\;'|}}=({\vec {\gamma }}\;'\cdot {\vec {\delta }}\;')\;({\vec {c}}\;^{2})^{2}=\dots ={\vec {c}}\;'\cdot {\vec {d}}\;'\ .}$

Also ist der Schnittwinkel der inversen Kurven identisch mit dem Schnittwinkel der gegebenen Kurven.