Elliptische Zykliden

Eine elliptische Zyklide lässt sich durch folgende Parameterdarstellung beschreiben (siehe Abschnitt Zyklide als Kanalfläche):

${\displaystyle x={\frac {d(c-a\cos u\cos v)+b^{2}\cos u}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle y={\frac {b\sin u(a-d\cos v)}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle z={\frac {b\sin v(c\cos u-d))}{a-c\cos u\cos v}}\ ,}$

${\displaystyle 0\leq u,v<2\pi \ .}$

Die Zahlen ${\displaystyle a,b,c}$ mit ${\displaystyle \ a>b>0,\;c^{2}=a^{2}-b^{2}}$ sind die große bzw. kleine Halbachse einer Ellipse in der x-y-Ebene und ${\displaystyle c}$ deren lineare Exzentrizität:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad z=0\ .}$

Die Hyperbel

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1,\quad y=0\;}$

in der x-z-Ebene ist der zur Ellipse gehörige Fokalkegelschnitt, d. h. die Brennpunkte der Ellipse sind die Scheitel der Hyperbel und die Scheitel der Ellipse sind die Brennpunkte der Hyperbel. Die beiden Kegelschnitte bilden die zu zwei Kurven ausgearteten Brennflächen (hier: Brennlinien) der Zyklide.

Die Zahl ${\displaystyle \;d\geq 0\ }$ ist ein Formparameter der Zyklide. Bei einer Ringzyklide ist ${\displaystyle d}$ ein mittlerer Radius der die Zyklide als Kanalfäche erzeugenden Kugeln. Bei einem Rotationstorus ist ${\displaystyle d}$ der Radius des rotierenden Kreises.

Für ${\displaystyle u={\text{const.}}}$ bzw. ${\displaystyle v={\text{const.}}}$ erhält man gerade die Krümmungslinien (Kreise) der Fläche.

Die jeweilige implizite Darstellung ist:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-d^{2})^{2}-4(ax-cd)^{2}-4b^{2}y^{2}=0\ .}$

Falls ${\displaystyle a=b}$ ist, wird ${\displaystyle c=0}$, d. h. die Ellipse wird zum Kreis und die Hyperbel artet zur Gerade aus. Die zugehörigen Zykliden sind dann Rotationstori.

(ellipt.) Dupinsche Zykliden für Formparameter a, b, c, d
${\displaystyle d=0}$	${\displaystyle 0<d<c}$	${\displaystyle d=c}$	${\displaystyle c<d}$	${\displaystyle d=a}$	${\displaystyle a<d}$
symm. Hornzyklide	Hornzyklide	Einhornzyklide	Ringzyklide	Ringzyklide	Spindelzyklide

Intuitiver als die Formparameter ${\displaystyle a,b,c,d}$ sind die Schnittpunkte der Zyklide mit der x-Achse. Siehe hierzu den Abschnitt Zyklide durch 4 Punkte auf der x-Achse.

Parabolische Zykliden

Eine parabolische Zyklide lässt sich durch die folgende Parameterdarstellung beschreiben (siehe Abschnitt Zyklide als Kanalfläche):

${\displaystyle x={\frac {p}{2}}\,{\frac {2v^{2}+k(1-u^{2}-v^{2})}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y=pu\,{\frac {v^{2}+k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle z=pv\,{\frac {1+u^{2}-k}{1+u^{2}+v^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle -\infty <u,v<\infty \ .}$

Dabei bestimmt ${\displaystyle p}$ die Form der beiden Parabeln (Fokalkegelschnitte):

${\displaystyle y^{2}=p^{2}-2px,\ z=0\ }$ (im Bild rot) und

${\displaystyle z^{2}=2px,\ y=0\ }$ (blau).

(Zur geometrischen Bedeutung von ${\displaystyle p}$: siehe Parabel). Der Formparameter ${\displaystyle k}$ legt den Durchmesser des horizontalen Loches in Vielfachen von ${\displaystyle p/2}$ fest. Für ${\displaystyle k=0{,}5}$ haben beide Löcher denselben Durchmesser. Im Bild ist ${\displaystyle k=0{,}7}$.

Eine zugehörige implizite Darstellung ist

${\displaystyle \left(x+\left({\frac {k}{2}}-1\right)p\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-{\frac {k^{2}p^{2}}{4}}\right)+pz^{2}=0\ .}$

parabolische Dupinsche Zykliden für Designparameter p=1, k
${\displaystyle k=0{,}5}$	${\displaystyle k=1}$	${\displaystyle k=1{,}5}$
Ringzyklide	Einhornzyklide	Zweihornzyklide

Bemerkung: Die Lücken bei der Darstellung der Kreise entstehen durch die notwendige Beschränkung der Parameter ${\displaystyle u,v}$.

Ellipse als Leitkurve

In der x-y-Ebene ist die Ellipse mit der Gleichung

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ z=0}$

mit ${\displaystyle a>b}$ als Leitkurve gegeben. Sie hat die Parameterdarstellung

${\displaystyle \ x=a\cos \varphi \;,\ y=b\sin \varphi \;,\ z=0\ .}$

Dabei ist ${\displaystyle a}$ die große und ${\displaystyle b}$ die kleine Halbachse der Ellipse. Im Folgenden ist ${\displaystyle c}$ die lineare Exzentrizität der Ellipse, d. h. es ist ${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$. Die Radien der erzeugenden Kugeln sind

${\displaystyle r(\varphi )=d-c\cos \varphi \ .}$

${\displaystyle d}$ ist ein Formparameter. Man kann ihn als einen mittleren Kugelradius ansehen. Im Fall ${\displaystyle c=0}$ ist die Ellipse ein Kreis und die Zyklide ein Rotationstorus mit kleinem Radius ${\displaystyle d}$.

Im Bild ist ${\displaystyle \;a=1,\;b=0{,}99,\ d=0{,}25\;}$.

Eigenschaft von Maxwell

Die folgende einfache Beziehung zwischen dem jeweiligen Kugelmittelpunkt (Ellipsenpunkt) und dem zugehörigen Kugelradius geht auf Maxwell zurück:

• Die Summe aus Kugelradius und Abstand des Kugelmittelpunktes (Ellipsenpunkt) von einem der beiden, aber fest gewählten, Brennpunkte der Leitellipse ist konstant.

Nachweis

Die Brennpunkte der obigen Ellipse ${\displaystyle \ E=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\ }$ sind ${\displaystyle \ F_{i}=(\pm c,0,0)\ }$. Wählt man ${\displaystyle \ F_{1}=(c,0,0)\ }$ aus und berechnet den Abstand ${\displaystyle \ |EF_{1}|\ }$, so ergibt sich ${\displaystyle \ |EF_{1}|=a-c\cos \varphi \ }$. Mit dem obigen Kugelradius ist ${\displaystyle \ |EF_{1}|-r=a-d\ }$.

Wählt man den anderen Brennpunkt aus, ergibt sich ${\displaystyle \ |EF_{2}|+r=a+d\ .}$

D. h.: In der x-y-Ebene sind die Einhüllenden der Kugelkreise zwei Kreise mit den Brennpunkten der Leitellipse als Mittelpunkte und den Radien ${\displaystyle a\pm d}$ (siehe Bild).

Zyklide durch 4 Punkte auf der x-Achse

Die Maxwell-Eigenschaft erlaubt es, eine zur x-z-Ebene und x-y-Ebene symmetrische Ring-Zyklide durch die Vorgabe ihrer Schnittpunkte auf der x-Achse festzulegen:

Gegeben: Vier Punkte ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ auf der x-Achse (s. Bild).

Gesucht: Mittelpunkt ${\displaystyle m_{0}}$, Halbachsen ${\displaystyle a,b}$, lineare Exzentrizität ${\displaystyle c}$ und Brennpunkte der Leitellipse sowie der mittlere Radius ${\displaystyle d}$ der Ringzyklide.

Aus den Maxwell-Eigenschaften ergibt sich zunächst

${\displaystyle 2(a+d)=x_{1}-x_{4}\;,\quad \ 2(a-d)=x_{2}-x_{3}\ }$

und daraus

${\displaystyle a={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\right),\quad }$ ${\displaystyle d={\frac {1}{4}}\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\ .}$

Die Lage der Brennpunkte (auf der x-Achse) ist

${\displaystyle f_{1}={\frac {1}{2}}(x_{2}+x_{3}),\quad f_{2}={\frac {1}{2}}(x_{1}+x_{4})}$ und damit

${\displaystyle c={\frac {1}{4}}\left(-x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)\;,\quad \ b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}\ }$

Der Mittelpunkt der Fokal-Kegelschnitte liegt bei

${\displaystyle m_{0}={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\ .}$

Bei Verwendung der obigen Parameterdarstellung muss man den hier verschobenen Mittelpunkt berücksichtigen!

Bedeutung der Anordnung von ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

(H) Vertauscht man im Beispiel ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, entsteht eine Hornzyklide.
(S) Vertauscht man ${\displaystyle x_{2},x_{3}}$, ergibt sich eine Spindelzyklide.
(E) Setzt man ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=2}$ entsteht eine Einhornzyklide.
(R) Setzt man ${\displaystyle x_{2}=x_{3}=0}$, erhält man eine sich im Nullpunkt berührende Ringzyklide.

Parallelflächen

Vergrößert oder verkleinert man den Parameter ${\displaystyle d}$ so, dass keine neuen Typen (Hornzykliden …) entstehen, so erhält man (analog zu Parallelkurven) parallele Flächen, die wieder Zykliden sind (siehe Bild).

Hyperbel als Leitkurve

In dem Buch wird auch die zweite Erzeugung der Zyklide als Kanalfläche mit den Mittelpunkten auf der zur obigen Ellipse gehörigen Fokalhyperbel beschrieben. Die Gleichung der Hyperbel ist

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\ y=0\ .}$

In diesem Fall berühren die Kugeln die Zyklide von außen in der zweiten Schar von Kreisen. Zu jedem Ast der Hyperbel gehört eine Teilschar von Kugeln. Die Kugeln der einen Schar umschließen die Zyklide (im Bild: lila Kugel). Die andere Schar wird von der Zyklide von außen berührt (im Bild: blau).

Die Hyperbel hat die Parameterdarstellung

${\displaystyle (\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\ .}$

Die Radien der zugehörigen Kugeln sind

${\displaystyle R(\psi )=a\cosh \psi \mp d\ .}$

Im Torusfall (${\displaystyle c=0}$) artet die Hyperbel in die Torusachse aus.

Maxwell-Eigenschaft für Hyperbel

Die Brennpunkte der Hyperbel ${\displaystyle \;H_{\pm }(\psi )=(\pm c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$ sind ${\displaystyle \;F_{i}=(\pm a,0,0)\;}$. Für den Abstand des Hyperbelpunktes ${\displaystyle \;H_{+}(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )\;}$ vom Brennpunkt ${\displaystyle F_{1}}$ ergibt sich ${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|=a\cosh \psi -c\;}$ und mit dem Kugelradius ${\displaystyle R_{+}(\psi )=a\cosh \psi -d}$ schließlich ${\displaystyle \;|H_{+}F_{1}|-R_{+}=d-c\;}$. Analog ergibt sich ${\displaystyle \;|H_{+}F_{2}|-R_{+}=d+c\;}$ . Für einen Punkt auf dem zweiten Ast erhält man: ${\displaystyle \;R_{-}-|H_{-}F_{1}|=d-c\;,\ R_{-}-|H_{-}F_{2}|=d+c\;.}$

D.h.: In der x-z-Ebene hüllen die Kreise (Schnitte der Kugeln mit der x-z-Ebene) mit den Mittelpunkten ${\displaystyle H_{\pm }(\psi )}$ und Radien ${\displaystyle R_{\pm }(\psi )}$ die beiden Kreise (im Bild grau) mit Mittelpunkte ${\displaystyle F_{1/2}=(\pm a,0,0)}$ und Radien ${\displaystyle d\mp c}$ ein.

Herleitung der Parameterdarstellung