Senkrechter Kreiszylinder

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=a^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)^{T}}$

${\displaystyle ={\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {blue}(0,0,1)^{T}}}$

${\displaystyle =(1-v)\;{\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {green}(a\cos u,a\sin u,1)^{T}}\ .}$

Hierbei ist ${\displaystyle \quad \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0)^{T}\ ,\quad \mathbf {r} (u)=(0,0,1)^{T}\ ,\quad \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1)^{T}\ .}$

Senkrechter Kreiskegel

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=z^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)={\color {red}(\cos u,\sin u,1)^{T}}\;+\;v\;{\color {blue}(\cos u,\sin u,1)^{T}}}$

${\displaystyle =(1-v)\;{\color {red}(\cos u,\sin u,1)^{T}}\;+\;v\;{\color {green}(2\cos u,2\sin u,2)^{T}}.}$

Hier ist ${\displaystyle \quad \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;=\;\mathbf {r} (u)\ ,\quad \mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2)^{T}\ .}$
Man hätte auch als Leitkurve ${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,0)^{T}\ }$, also die Spitze des Kegels, und als Richtungsfeld ${\displaystyle \ \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\ }$ wählen können. Bei allen Kegeln kann man als Leitkurve die Spitze wählen.

Wendelfläche

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\;(v\cos u,v\sin u,ku)^{T}\;}$

${\displaystyle =\;{\color {red}(0,0,ku)^{T}}\;+\;v\;{\color {blue}(\cos u,\sin u,0)^{T}}\ }$

${\displaystyle =\;(1-v)\;{\color {red}(0,0,ku)^{T}}\;+\;v\;{\color {green}(\cos u,\sin u,ku)^{T}}\ .}$

Die Leitkurve ${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)^{T}\;}$ ist die z-Achse, das Richtungsfeld ${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\ (\cos u,\sin u,0)^{T}\;}$ und die zweite Leitkurve ${\displaystyle \ \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ }$ ist eine Schraublinie.

Zylinder, Kegel und Hyperboloide

Die Parameterdarstellung

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;{\color {red}(\cos(u-\varphi )\;,\;\sin(u-\varphi )\;,\;-1)^{T}}\;+\;v\;{\color {green}(\cos(u+\varphi )\;,\;\sin(u+\varphi )\;,\;1)^{T}}}$

besitzt zwei horizontale Einheitskreise als Leitkurven. Der zusätzliche Parameter ${\displaystyle \varphi }$ erlaubt es, die Parameterdarstellungen der Kreise zu variieren. Für

${\displaystyle \varphi =0\ }$ erhält man den Zylinder ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$, für

${\displaystyle \varphi =\pi /2\ }$ erhält man den Kegel ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ und für

${\displaystyle 0<\varphi <\pi /2\ }$ erhält man ein einschaliges Hyperboloid mit der Gleichung ${\displaystyle \ {\tfrac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ }$ und den Halbachsen ${\displaystyle \ a=\cos \varphi \;,\;c=\cot \varphi }$.

Hyperbolisches Paraboloid

Falls die Leitlinien in (CD) die Geraden

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}$

sind, erhält man

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}\ +\ v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}\ }$.

Dies ist das hyperbolische Paraboloid, das die 4 Punkte ${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1},\;\mathbf {a} _{2},\;\mathbf {b} _{1},\;\mathbf {b} _{2}\ }$ bilinear interpoliert. Für das Beispiel der Zeichnung ist

${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1}=(0,0,0)^{T},\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0)^{T},\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0)^{T},\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1)^{T}\ }$.

und das hyperbolische Paraboloid hat die Gleichung ${\displaystyle z=xy}$.

Möbiusband

Die Regelfläche

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

mit

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)^{T}\ }$ (die Leitkurve ist ein Kreis),

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)^{T}\ ,\quad 0\leq u<\pi \ ,}$

enthält ein Möbiusband.

Die Zeichnung zeigt das Möbiusband für ${\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}$.

Man rechnet leicht nach, dass ${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0)\;,\;\mathbf {\dot {r}} (0)\;,\;\mathbf {r} (0))\;\neq \;0\ }$ ist (s. nächsten Abschnitt). D. h. diese Realisierung eines Möbiusbandes ist nicht abwickelbar. Es gibt allerdings auch abwickelbare Möbiusbänder.

Weitere Beispiele

1. Die Einhüllende einer einparametrigen Ebenenschar
2. Oloid
3. Catalansche Fläche
4. Konoid
5. Regelschraubflächen

Definition

Bei einer zylindrischen Regelfläche sind alle Erzeugenden parallel, d. h. alle Richtungsvektoren ${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$ sind parallel und damit ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}(u)=\mathbf {0} \ .}$ Bei zwei parallelen Geraden haben alle Punkte der einen Gerade denselben Abstand zur anderen Gerade.

Bei einer nichtzylindrischen Regelfläche sind benachbarte Erzeugenden windschief und es existiert ein Punkt auf der einen Gerade, der minimalen Abstand zu der anderen Gerade hat. In diesem Fall ist ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}(u)\neq \mathbf {0} \ .}$ Solch einen Punkt nennt man Zentralpunkt. Die Gesamtheit der Zentralpunkte bilden eine Kurve, die Striktionslinie oder Kehllinie oder auch Taille. Letztere Bezeichnung beschreibt sehr anschaulich die Striktionslinie eines einschaligen Rotations-Hyperboloids (s. u.).

• In dem Zentralpunkt einer Erzeugenden nimmt der Betrag der Gausskrümmung ein Maximum an.

Eine zylindrische Fläche besitzt keine Zentralpunkte und damit keine Striktionslinie, oder anschaulich: keine Taille. Bei einer (allgemeinen) Kegelfläche entartet die Striktionslinie/Taille zu einem Punkt, die Kegelspitze.

Parameterdarstellung

In den folgenden Überlegungen wird vorausgesetzt, dass die Regelfläche

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

nicht zylindrisch und genügend differenzierbar ist, genauer:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}(u)\neq \mathbf {0} \quad }$ und der Einfachheit halber ${\displaystyle \quad |\mathbf {r} (u)|=1\ }$ ist.

Die letzte Eigenschaft hat den Vorteil, dass ${\displaystyle \quad \mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}=0\quad }$ ist, was Rechnungen stark vereinfacht. Bei konkreten Beispielen ist diese Eigenschaft meist zunächst nicht erfüllt. Was sich aber durch Normierung korrigieren lässt.

Zwei benachbarte Erzeugenden

${\displaystyle \mathbf {x} (v_{1})=\mathbf {c} (u)+v_{1}\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \mathbf {x} (v_{2})=\mathbf {c} (u+\Delta u)+v_{2}\;\mathbf {r} (u+\Delta u)}$

Am Ende der Überlegungen geht dann ${\displaystyle \Delta u\to 0}$. Deshalb sind die folgenden linearen Approximationen (man ersetzt die Kurve in der näheren Umgebung durch ihre Tangente) sinnvoll:

${\displaystyle \mathbf {c} (u+\Delta u)\approx \mathbf {c} (u)+\Delta u\;{\dot {\mathbf {c} }}(u)}$

${\displaystyle \mathbf {r} (u+\Delta u)\approx \mathbf {r} (u)+\Delta u\;{\dot {\mathbf {r} }}(u)}$.

Abstandsquadrat

Das Quadrat des Abstandes zweier Punkte der Geraden

${\displaystyle \mathbf {l} _{1}(v_{1})=\mathbf {c} +v_{1}\;\mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {l} _{2}(v_{2})=\mathbf {c} +\Delta u\;{\dot {\mathbf {c} }}+v_{2}\;(\mathbf {r} +\Delta u\;{\dot {\mathbf {r} }})\quad }$ ist

${\displaystyle D(v_{1},v_{2})={\Big (}(v_{2}-v_{1})\;\mathbf {r} +\Delta u({\dot {\mathbf {c} }}+v_{2}\;{\dot {\mathbf {r} }}){\Big )}^{2}\ .}$

Parameter des Zentralpunktes

Der Abstand wird minimal, wenn die Funktion ${\displaystyle D(v_{1},v_{2})}$ minimal wird. Und dies ist der Fall, wenn die 1. partiellen Ableitungen Null sind:

${\displaystyle D_{v_{1}}=-2{\Big (}(v_{2}-v_{1})\;\mathbf {r} +\Delta u({\dot {\mathbf {c} }}+v_{2}\;{\dot {\mathbf {r} }}){\Big )}\cdot \mathbf {r} }$

${\displaystyle \ =-2{\color {magenta}(v_{2}-v_{1}+\Delta u\;{\dot {\mathbf {c} }}\cdot \mathbf {r} )}=0\ ,}$

${\displaystyle D_{v_{2}}=2{\Big (}(v_{2}-v_{1})\;\mathbf {r} +\Delta u({\dot {\mathbf {c} }}+v_{2}\;{\dot {\mathbf {r} }}){\Big )}\cdot (\mathbf {r} +\Delta u\;{\dot {\mathbf {r} }})}$

${\displaystyle \ =2{\Big (}{\color {magenta}v_{2}-v_{1}+\Delta u\;{\dot {\mathbf {c} }}\cdot \mathbf {r} }+{\Delta u}^{2}({\dot {\mathbf {c} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}+v_{2}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}){\Big )}=0\ .}$

Aus diesem Gleichungssystem für ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ folgt für ${\displaystyle \Delta u\to 0\ }$:

• ${\displaystyle \quad v_{1}=v_{2}=-{\frac {{\dot {\mathbf {c} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}}{{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}}\ .}$

Parameterdarstellung

Die Parameterdarstellung der Striktionslinie ist also

• ${\displaystyle \mathbf {x} (u)=\mathbf {c} (u)-{\frac {{\dot {\mathbf {c} }}(u)\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(u)}{{\dot {\mathbf {r} }}^{2}(u)}}\;\mathbf {r} (u)\ .}$

Doppelte Regelflächen

Sowohl auf dem einschaligen Hyperboloid als auch auf dem hyperbolischen Paraboloid liegen zwei Scharen von Geraden. Zu jeder Schar gehört eine Striktionslinie. Beim einschaligen Rotations-Hyperbolod fallen die zwei Striktionslinien zusammen.

Beispiele

1) Einschaliges Rotations-Hyperboloid

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)={\begin{pmatrix}\cos u\\\sin u\\0\end{pmatrix}}+v\cdot {\begin{pmatrix}-\sin u\\\cos u\\k\end{pmatrix}}\ ,\ }$

Die Zentralpunkte haben alle den Parameter ${\displaystyle v=0}$, d. h. die Striktionslinie ist der Einheitskreis in der x-y-Ebene.

2) Gerades Konoid

Bei einem geraden Konoid ist die Achse das gemeinsame Lot aller Erzeugenden. (Es gilt allgemein: Ein Punktepaar zweier windschiefer Geraden hat den kürzesten Abstand, wenn seine Verbindung das gemeinsame Lot der Geraden ist.) Also gilt für gerade Konoide

Die Achse eines geraden Konoids ist auch seine Striktionslinie.

Beispiele von geraden Konoiden sind das hyperbolische Paraboloid ${\displaystyle z=xy}$ und die Wendelfläche.

3) Torse

Jede vom allgemeinen Zylinder und Kegel verschiedene abwickelbare Regelfläche (Torse) ist eine Tangentenfläche, d. h. die Gesamtheit der Erzeugenden der Regelfläche besteht aus der Schar der Tangenten einer vorgegebenen Kurve ${\displaystyle \gamma }$. (Im Bild ist die Kurve eine Schraublinie. Dadurch entsteht eine Schraubtorse.) Allgemein gilt

Die Striktionslinie einer durch eine Kurve ${\displaystyle \gamma }$ erzeugte Tangentenfläche ist die Kurve ${\displaystyle \gamma }$ selbst.

4) Möbiusband

Für die oben angegebene Beschreibung eines Möbiusbandes ist

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)^{T}\ }$ ,

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)^{T}\ .}$

(Zum Bild: Damit die Striktionslinie völlig auf der dargestellten Fläche liegt, wurde das Band verbreitert.) Der Richtungsvektor ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ist in diesem Fall schon ein Einheitsvektor, was die Rechnung wesentlich vereinfacht.

Für den Parameter des jeweiligen Zentralpunktes ergibt sich ${\displaystyle v={\frac {4\cos u}{1+4\cos ^{2}u}}}$ und schließlich die Parameterdarstellung der Striktionslinie

${\displaystyle \mathbf {x} (u)={\frac {1}{1+4\cos ^{2}u}}\;{\big (}\cos(2u),\sin(2u),-2\sin(2u){\big )}\ .}$

Man erkennt leicht, dass diese Kurve in der Ebene ${\displaystyle 2y+z=0}$ liegt. Um zu zeigen, dass diese ebene Kurve sogar

eine Ellipse mit Mittelpunkt ${\displaystyle (-{\tfrac {2}{5}},0,0)}$ und den Halbachsen ${\displaystyle a=1,b={\tfrac {3}{5}}}$ ist,

zeigt man, dass die x- und y-Koordinaten die Gleichung ${\displaystyle \ {\tfrac {(x+{\tfrac {2}{5}})^{2}}{({\tfrac {3}{5}})^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{\tfrac {1}{5}}}=1\ }$ erfüllen. Also ist der Grundriss der Striktionslinie eine Ellipse und damit die Striktionslinie als Parallelprojektion auch.

Die Striktionslinie lässt sich einfacher durch die Parameterdarstellung

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t\ }$ mit

${\displaystyle \mathbf {f} _{0}=(-{\tfrac {2}{5}},0,0)^{T},\ \mathbf {f} _{1}=({\tfrac {3}{5}},0,0)^{T},\ \mathbf {f} _{2}=(0,-{\tfrac {1}{\sqrt {5}}},{\tfrac {2}{\sqrt {5}}})^{T}}$

beschreiben (s. Ellipse).