Kumulative Inzidenz

Die kumulative Inzidenz (englisch cumulative incidence, daher oft mit CI abgekürzt; hier vereinfacht mit C), auch Inzidenzanteil einer Krankheit in einer Bevölkerung, gibt den Anteil der Menschen an, die in einer definierten Zeitspanne ${\displaystyle \Delta t}$ mindestens einmal an der Krankheit erkranken. Sie kann auch personenbezogen als die Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, mit der eine Person aus der betrachteten Bevölkerung in der definierten Zeitspanne mindestens einmal an der betrachteten Krankheit erkrankt. Die kumulative Inzidenz wird deshalb auch Inzidenzrisiko (oder einfach Risiko) genannt.

${\displaystyle {\text{kumulative Inzidenz}}=C={\frac {N_{\text{I}}}{N_{0}}}}$

Hierbei sind

• ${\displaystyle N_{\text{I}}}$: die Anzahl der Personen (Individuen), die innerhalb der Zeitspanne ${\displaystyle \Delta t}$ neu erkranken, und
• ${\displaystyle N_{0}}$: die Anzahl der gesunden Personen zu Beobachtungsbeginn.

Die kumulative Inzidenz ist ein Anteil und nimmt entsprechend einen Wert zwischen 0 und 1 an; sie trägt keine Einheit (insbesondere nicht die Einheit pro Jahr) und ist damit dimensionslos. Die Angabe einer kumulativen Inzidenz ohne Nennung eines Zeitraums ist sinnlos, da die kumulative Inzidenz mit der Zeit wächst. So ist die kumulative Inzidenz für sehr kurze Zeiträume, unabhängig von der Krankheit, nahe Null und strebt mit zunehmender Beobachtungsdauer gegen 1. Wenn kein Zeitraum angegeben ist, ist meistens ein Zeitraum von einem Jahr gemeint. Diese Zeitspanne hat den Vorteil, dass jahreszeitliche Schwankungen sich weitgehend ausmitteln.

Inzidenzdichte

Die Inzidenzdichte (abgekürzt mit I, im Englischen auch force of morbidity, deutsch etwa Krankheitsstärke), auch Morbiditätsdichte oder Personenzeit-Inzidenzrate genannt, ist ein Maß für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Krankheit. Die Definition erfolgt mittels der sogenannten Risikozeit. Als Risikozeit ist die Zeit definiert, in der ein Individuum aus der Bevölkerung gesund ist, also dem Risiko der Erkrankung unterliegt. Die individuellen Risikozeiten werden zur sogenannten Personenzeit unter Risiko der betrachteten Bevölkerung im betrachteten Zeitraum addiert. Die Inzidenzdichte stellt somit keine Anforderungen an die Beobachtungsdauer der Studienteilnehmer; es kann genauso gut eine Person zwei Jahre lang wie zwei Personen ein Jahr lang nachverfolgt werden. Bei Tieren würde man nicht von Personenzeit, sondern von Bestandszeit sprechen. Die Inzidenzdichte ist definiert als Anzahl der Erkrankungsfälle dividiert durch die Personenzeit unter Risiko:

${\displaystyle {\text{Inzidenzdichte}}=I={\frac {n}{T}}={\frac {\text{Anzahl der Erkrankungsfälle}}{\text{Personenzeit unter Risiko}}}}$

Das Ergebnis einer solchen Berechnung ist eine Zahl zwischen 0 und ∞ pro Tag/pro Woche/pro x Jahre, wobei die verwendete Einheit mathematisch austauschbar ist und nichts über das Studiendesign aussagt. Die Inzidenzdichte ist im Gegensatz zur kumulativen Inzidenz von der Länge des Beobachtungszeitraums unabhängig, sofern sich die Dynamik der Erkrankungen nicht verändert. Sie ist eine Beziehungszahl und kann daher nicht als eine Wahrscheinlichkeit interpretiert werden.

Mehrmalige Erkrankungen derselben Person im Untersuchungszeitraum gehen anders als bei der kumulativen Inzidenz mehrfach in die Berechnung ein. Personen, die zu Beobachtungsbeginn bereits erkrankt waren, können in die Untersuchung eingeschlossen werden, da sie nach Genesung wieder Personenzeit unter Risiko oder sogar neue Erkrankungen beisteuern können. Bei Krankheiten, deren erstes Auftreten spätere Erkrankungen derselben Person wesentlich wahrscheinlicher (z. B. Herzinfarkt, Schlaganfall) oder unwahrscheinlicher (Immunität nach Infektionskrankheit) macht, ist es zweckmäßig, nur die erste Erkrankung zu untersuchen; Personen scheiden dann mit erstmaliger Erkrankung aus der Beobachtung aus, da sie auch keine Zeit unter dem Risiko einer Ersterkrankung mehr verbringen können.

Beispiel:

In Stadt X ereigneten sich 1973 unter den 40–44-jährigen Männern (41.532 Personenjahre) 29 Herzinfarkte. Damit betrug die Inzidenzdichte I = ²⁹⁄₄₁₅₃₂ = 0,00071/Jahr.

Inzidenzrate

Die Inzidenzrate gibt die Anzahl der Neuerkrankungen (z. B. von Infektionskrankheiten) innerhalb einer definierten Population – beispielsweise den Einwohnern (EW) einer Stadt, eines Landes oder einer Region – in einem bestimmten Zeitraum an. Um diese Kennzahl bei Vergleichen heranziehen zu können, wird sie auf einen als Bezugsgröße gewählten Teil der gesamten zu untersuchenden Population (z. B. 100.000 EW) bezogen. Oft wird die Zahl der Neuerkrankungen / pro 100.000 EW im Zeitraum eines Jahres betrachtet (Jahresinzidenz). Dabei ist zu berücksichtigen, dass innerhalb des betrachteten Untersuchungszeitraums in der betrachteten Bevölkerung Ab- und Zuwanderung, Sterbefälle und Geburten auftreten. Teilt man die Anzahl der Neuerkrankungen innerhalb einer definierten Population (Inzidenzfälle) durch die mittlere Populationsgröße im definierten Beobachtungszeitraum, ergibt sich die Inzidenzrate:

${\displaystyle {\text{Inzidenzrate}}=R={\frac {n}{\overline {N}}}={\frac {\text{Anzahl der Inzidenzfälle}}{\text{zeitliches Mittel der Populationsgröße}}}}$

Die Inzidenzrate ist eng mit der Inzidenzdichte verwandt und wird von manchen Autoren mit dieser gleichgesetzt. Grund dafür ist, dass das Produkt aus zeitlichem Mittel der Populationsgröße und der Länge des Beobachtungszeitraums unter Vernachlässigung der krank verbrachten Zeiten gleich der Personenzeit unter Risiko ist. Weitere Bezeichnungen für die Inzidenzrate, die immer auf einen bestimmten Zeitraum bezogen ist (häufig ein Jahr), sind (Neu-)Infektionsrate, Neuerkrankungsrate, Zugangsrate, Ereignisrate.

Die unbearbeitete Inzidenzrate der Gesamtbevölkerung wird auch rohe Rate bzw. rohe Inzidenz genannt. Anhand der rohen Rate kann man erkennen, ob in einer Region im Vergleich zu einer anderen eine Krankheit häufiger auftritt. Unterscheiden sich rohe Raten zwischen zwei Regionen, lassen sich die Unterschiede oft auf Unterschiede in der Sozialstruktur zurückführen. Hohe Krebs­erkrankungsraten können beispielsweise schlicht Ausdruck einer zu höherem Alter verschobenen Altersverteilung sein. Möchte man diese Unterschiede herausrechnen, um veränderliche Risikofaktoren zu identifizieren, können Subgruppen verglichen werden (z. B. gebildet nach Geschlecht, Beruf, Wohnort oder Alter). Alternativ können die Inzidenzfälle so gewichtet werden, dass sich eine Inzidenzrate für eine theoretische Bevölkerung mit definierter Sozialstruktur ergibt. Mit einer altersstandardisierten Inzidenzrate (englisch age-adjusted incidence rate) kann z. B. eine Region mit vielen alten Menschen mit einer Region mit vielen jungen Menschen verglichen werden.

Ausführliches Beispiel

Die folgende Tabelle zeigt die Fallzahlen für das Land Bremen zum 16. Dezember 2021, aufgeschlüsselt nach Berichts- und Meldedaten. Meldetag ist der Tag des Eingangs bei der zuständigen Landesbehörde; Berichtstag ist der Tag der Publikation durch das RKI (= Übermittlungstag + 1).

7-Tage-Inzidenz pro 100000 Einwohner:

Land Bremen: 1570 : 680130 * 100000 = 230,84

– Stadt Bremen: 1355 : 566573 * 100000 = 239,16 (laut Landesbehörde +1 = 239,33)

– Stadt Bremerhaven: 215 : 113557 * 100000 = 189,33 (laut Landesbehörde +2 = 191,09)

Erläuterung: Beispielsweise wurden dem RKI am 9. Dezember in der Summe (rechts) 215 Fälle übermittelt, die am 10. Dezember berichtet wurden und von denen 176 das Meldedatum 9. Dezember betrafen. Die negativen Zahlen beziehen sich auf Fälle, die aufgrund von Datenqualitätsprüfungen im Nachhinein gelöscht wurden. Insgesamt stieg die RKI-Fallzahl an den 7 Berichtstagen von 41628 auf 43232 um 1604 Fälle, wovon 1570 in den maßgeblichen 7-Meldetage-Zeitraum fielen. Hieraus ergibt sich unter Berücksichtigung der Einwohnerzahl von 680130 eine Inzidenz von 230,8. Zu erkennen ist beispielsweise auch, dass die zuständige Landesbehörde am 11. Dezember zwar 155 Fälle auswies, es aber zu keiner Übermittlung an das RKI kam, weshalb diese Fälle erst im Berichtstag 13. Dezember enthalten sind.

Hospitalisierung

Seit dem 19. Juli 2021 wird vom Robert Koch-Institut (RKI) im Situationsbericht zusätzlich zur 7-Tage-Inzidenz der Neuinfizierten auch eine 7-Tage-Inzidenz der Hospitalisierten, die Hospitalisierungsinzidenz, veröffentlicht.

Todesfälle

In die Statistik des RKI gehen auch die Todesfälle ein, bei denen ein laborbestätigter Nachweis von SARS-CoV-2 (direkter Erreger­nachweis) vorliegt und die in Bezug auf diese Infektion verstorben sind. Es liegt im Ermessen des Gesundheitsamtes, ob ein Fall als „verstorben an“ bzw. „mit“ COVID-19 an das RKI übermittelt wird oder nicht. In fast allen Bundesländern wird der vertrauliche Teil der Todesbescheinigung, in dem die Todesursache angegeben wird, an das Gesundheitsamt gesendet. Verstorbene, die zu Lebzeiten nicht auf COVID-19 getestet wurden, aber in Verdacht stehen, an COVID-19 verstorben zu sein, können post mortem auf das Virus untersucht werden. Eine Obduktion findet aber in der Regel nicht statt, da auch tote Infizierte als ansteckend gelten.

Bundesrecht

Die in den Landkreisen, Bezirken oder kreisfreien Städten auftretenden Inzidenzen sind insbesondere Maßstab für die zu ergreifenden besonderen Schutzmaßnahmen für die Dauer der Feststellung einer epidemischen Lage von nationaler Tragweite, um die Verbreitung der Coronavirus-Krankheit-2019 (COVID-19) zu verhindern (§ 28aAbs. 1, Abs. 3 IfSG). Bei einer landes- bzw. bundesweiten Überschreitung eines Schwellenwertes von über 50 Neuinfektionen je 100.000 Einwohner innerhalb von sieben Tagen sind landes- bzw. bundesweit abgestimmte umfassende, auf eine effektive Eindämmung des Infektionsgeschehens abzielende Schutzmaßnahmen anzustreben (§ 28a Abs. 3 Satz 9 und 10 IfSG). Aber auch schon vor dem Überschreiten eines Schwellenwertes sind die in Bezug auf den jeweiligen Schwellenwert genannten Schutzmaßnahmen zulässig, „wenn die Infektionsdynamik eine Überschreitung des jeweiligen Schwellenwertes in absehbarer Zeit wahrscheinlich macht“ (§ 28a Abs. 3 Satz 8 IfSG). Bei Überschreitung eines Schwellenwertes von über 35 Neuinfektionen sind breit angelegte Schutzmaßnahmen zu ergreifen, die eine schnelle Abschwächung des Infektionsgeschehens erwarten lassen. Unterhalb eines Schwellenwertes von 35 Neuinfektionen kommen insbesondere Schutzmaßnahmen in Betracht, die die Kontrolle des Infektionsgeschehens unterstützen (§ 28a Abs. 3 Satz 5 bis 7 IfSG).

Für die Einstufung als ausländisches Risikogebiet im Sinne des § 2 Nr. 17 des Infektionsschutzgesetzes (IfSG) wird zunächst festgestellt, in welchen Staaten/Regionen es in den letzten sieben Tagen mehr als 50 Neuinfizierte pro 100.000 Einwohner gab. In einem zweiten Schritt wird nach qualitativen und weiteren Kriterien festgestellt, ob z. B. für Staaten/Regionen, die den genannten Grenzwert nominell über – oder unterschreiten, dennoch die Gefahr eines nicht erhöhten oder eines erhöhten Infektionsrisikos vorliegt.

Landesrecht

Das von der Landesregierung von Rheinland-Pfalz beschlossene dreistufige Corona-Warnsystem empfiehlt den Kommunen, die Bevölkerung ab einer 7-Tages-Inzidenz von 20 (Corona-Warnstufe 1 Gelb) auf die „AHA-Regeln“ und eine konsequente Lüftung in baulichen Einrichtungen hinzuweisen.

Kritik

Die für den Vergleich und zur Festlegung von Schwellenwerten herangezogene sogenannte 7-Tage-Inzidenz ist nicht gleichzusetzen mit einer epidemiologischen Inzidenz, die auf repräsentativen Stichproben basiert. Die Testprävalenzen werden auf die Gesamtbevölkerung oder Region umgerechnet, ohne die Dunkelziffer in der nicht-getesteten Bevölkerung zu berücksichtigen. Ohne Bezug zu einer bekannten Grundgesamtheit (Nenner) fehlt der Fallzahl die epidemiologische Aussagekraft und damit die Eignung als Begründung für seuchenpolitische Maßnahmen. Die Reduktion der Lageeinschätzung auf die 7-Tages-Inzidenz sei epidemiologisch nicht begründbar und entspreche nicht dem Stand der verfügbaren wissenschaftlichen Evidenz.

Auch Politik und Justiz sehen allein die 7-Tage-Inzidenz zur Begründung von Grundrechtseinschränkungen als unzureichend an. Zusätzlich müssten auch andere Indikatoren einbezogen werden, etwa die Zahl der freien Intensivbetten, die Altersverteilung der Erkrankten oder welche Berufsgruppen betroffen seien.

Zusammenhang zwischen Inzidenzdichte und Prävalenz

Die Inzidenzdichte und die Prävalenz stehen über die durchschnittliche Erkrankungsdauer ${\displaystyle {\overline {D}}_{\text{krank}}}$ miteinander in Beziehung. Der hier hergeleitete Zusammenhang gilt unter der Annahme, dass die Populationsgröße ${\displaystyle N}$, die Inzidenzdichte ${\displaystyle I}$ und die Genesungsdichte ${\displaystyle G}$ konstant sind. Dann stellt sich ein Fließgleichgewicht ein, in dem die Anzahl der Kranken ${\displaystyle M}$, die Anzahl der Gesunden ${\displaystyle N-M}$ und damit auch der Anteil der Kranken an der Gesamtbevölkerung, die Prävalenz ${\displaystyle P={\frac {M}{N}}}$, konstant sind. Das Fließgleichgewicht besteht darin, dass im zeitlichen Mittel die Frequenz der Erkrankungen gleich der Frequenz der Genesungen (inklusive Mortalität der Kranken) ist:

${\displaystyle I\cdot \underbrace {(N-M)} _{\text{Anzahl der gesunden Menschen}}=G\cdot \underbrace {M} _{\text{Anzahl der kranken Menschen}}}$		(1)

Durch Quotientenbildung mit nachfolgender Kürzung des Bruches mit ${\displaystyle N}$ ergibt sich aus Gleichung (1)

${\displaystyle {\frac {I}{G}}={\frac {M}{N-M}}}$

${\displaystyle {\frac {I}{G}}={\frac {P}{1-P}}}$.		(2)

Durch Umstellung der Gleichung (2) ergeben sich

${\displaystyle I=G\cdot {\frac {P}{1-P}}}$,

${\displaystyle G=I\cdot {\frac {1-P}{P}}\quad }$ und

${\displaystyle P={\frac {I}{I+G}}}$.		(3)

Wenn die Voraussetzungen für ein Fließgleichgewicht gegeben sind, die gegenwärtige Prävalenz aber nicht Gleichung (3) entspricht, entwickelt sich die Prävalenz automatisch in Richtung des Fließgleichgewichts. Bei ${\displaystyle P>{\frac {I}{I+G}}}$ wird die Prävalenz also sinken, bei ${\displaystyle P<{\frac {I}{I+G}}}$ steigen.

An Gleichung (3) lässt sich außerdem ablesen, dass eine Krankheit sowohl durch eine hohe Inzidenzdichte (z. B. hochansteckender Keim) als auch durch eine niedrige Genesungsdichte (z. B. chronische Krankheiten) eine hohe Prävalenz erlangen kann. Schnelle Heilung oder rascher Tod führen dagegen über eine hohe Genesungsdichte zu einer niedrigen Prävalenz. Dies zeigt, dass die restriktiv erscheinende Annahme eines Populationsgleichgewichts bzw. eines Fließgleichgewichts im Rahmen einer Pandemie­eindämmung Aussagen über den Erfolg von gesundheitspolitischen Maßnahmen zulässt.

Gleichung (2) lässt sich wegen ${\displaystyle {\frac {1}{G}}={\overline {D}}_{\text{krank}}}$ auch darstellen als

${\displaystyle I\cdot {\overline {D}}_{\text{krank}}={\frac {P}{1-P}}}$.		(4)

Wenn die Prävalenz sehr klein ist (z. B. < 1 %), kann ${\displaystyle P}$ im Nenner von Gleichung (4) vernachlässigt werden. So ergibt sich die Näherung

${\displaystyle \underbrace {P} _{\text{Prävalenz}}\approx \underbrace {I} _{\text{Inzidenzdichte}}\cdot \underbrace {{\overline {D}}_{\text{krank}}} _{\text{durchschnittliche Krankheitsdauer}}}$.		(5)

Das Produkt aus Inzidenzdichte ${\displaystyle I}$ und durchschnittlicher Krankheitsdauer ${\displaystyle {\overline {D}}_{\text{krank}}}$ kann als der „Anteil des Krankenstandes“ in einer Bevölkerung auf gesunde Personen bezogen (z. B. auf 100.000) interpretiert werden. Die für diese Näherung notwendige Annahme einer sehr kleinen Prävalenz wird auch als Voraussetzung einer seltenen Krankheit (englisch rare disease assumption) bezeichnet und wird in der Epidemiologie auch für weitere Approximationen verwendet.

Statistische Beziehungen

Verteilung der Anzahl der Erkrankungen

Die Anzahl der Erkrankungen während der Personenzeit ${\displaystyle T}$ ist Poisson-verteilt (${\displaystyle T\sim {\mathcal {P}}(\lambda )}$) mit dem Verteilungsparameter ${\displaystyle \lambda =I\cdot T}$ (Ereignisrate). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet somit

${\displaystyle f(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,\exp(-\lambda ),\quad k=0,1,2,\ldots }$.		(6)

Bei einer Poisson-Verteilung ist Erwartungswert (die erwartete Anzahl der Erkrankungen) zugleich die Varianz, also ${\displaystyle \operatorname {E} (T)=\operatorname {Var} (T)=\lambda =I\cdot T}$.

Verteilung der Personenzeit bis zur ersten Erkrankung

Die Personenzeit ${\displaystyle T}$ bis zur ersten Erkrankung oder zwischen zwei Erkrankungen ist exponentialverteilt mit dem Verteilungsparameter ${\displaystyle \lambda =I}$. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz Dichte) lautet somit

${\displaystyle f(t)=\lambda \exp(-\lambda t),\quad t\geq 0}$.		(7)

Wenn die Personenzeit diese Dichte besitzt, dann schreibt man auch ${\displaystyle T\sim {\mathcal {E}}(\lambda )}$ oder ${\displaystyle T\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$. Erwartungswert und Standardabweichung betragen damit ${\displaystyle 1/I}$.

Berechnung der kumulativen Inzidenz aus der Inzidenzdichte

Durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung ((Gleichung (7)) erhält man die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung; diese liefert für jeden Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Individuum bis dahin mindestens einmal erkrankt ist. Dies ist nichts anderes als die kumulative Inzidenz C, die sich somit aus der Inzidenzdichte berechnen lässt:

${\displaystyle C=1-\exp \left(-I\cdot \Delta t\right)}$.		(8)

Beispiel:

Bei einer Inzidenzdichte von 0,008/Jahr ergibt sich für die Erkrankungswahrscheinlichkeit innerhalb von 3 Jahren

${\displaystyle C=1-\exp \left(-0{,}008/{\text{Jahr}}\cdot 3\ {\text{Jahre}}\right)=0{,}024}$.

Da sich die Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp(x)}$ für kleine ${\displaystyle x}$ durch ${\displaystyle (1+x)}$ annähern lässt (Taylorreihe), kann die Formel vereinfacht werden, wenn das Produkt aus Inzidenzdichte und Beobachtungszeitraum klein ist (z. B. ${\displaystyle I\cdot \Delta t<0{,}1}$). In diesem Fall folgt näherungsweise die wichtige Beziehung

${\displaystyle C\approx I\cdot \Delta t}$.		(9)

Die Zahlenwerte von kumulativen Inzidenzen (angegeben als Anteil in einem Jahr) unterscheiden sich deshalb bei manchen Krankheiten kaum von Inzidenzdichten (angegeben als Zahl pro Jahr).

Das Produkt ${\displaystyle I\cdot \Delta t}$ entspricht der kumulativen Hazardfunktion aus der Überlebenszeitanalyse. Bei nicht konstanter Inzidenzdichte kann die kumulative Hazardfunktion durch Integration der Inzidenzdichte nach der Zeit bestimmt werden. Gleichung (8) lässt sich so verallgemeinern zu

${\displaystyle C=1-\exp \left(-\int _{t_{1}}^{t_{2}}I(t)\ \mathrm {d} t\right)}$.		(10)

Relatives Risiko

Das Verhältnis der kumulativen Inzidenz Exponierter zur kumulativen Inzidenz Nichtexponierter heißt relatives Risiko (die Differenz dieses Quotienten zu 1 relative Risikoreduktion bzw. -steigerung):

${\displaystyle {\text{relatives Risiko}}={\frac {C_{\text{exponiert}}}{C_{\text{nicht exponiert}}}}}$

Hierbei stellt ${\displaystyle C_{\text{exponiert}}}$ die kumulative Inzidenz unter den Exponierten und ${\displaystyle C_{\text{nicht exponiert}}}$ die kumulative Inzidenz unter den nicht Exponierten dar. Ist das relative Risiko größer 1, vergrößert die Exposition das Erkrankungsrisiko. Ist das relative Risiko kleiner 1, verkleinert die Exposition das Erkrankungsrisiko. Je stärker sich das relative Risiko von 1 unterscheidet, desto stärker ist der Zusammenhang zwischen Erkrankung und Exposition und desto eher ist von einem kausalen Effekt auszugehen.

Inzidenzdichteverhältnis

Analog zum relativen Risiko lässt sich das Inzidenzdichteverhältnis (englisch Incidence Density Ratio, IDR) als Quotient zweier Inzidenzraten ⁠^a) definieren:

${\displaystyle {\text{Inzidenzdichteverhältnis}}={\frac {I_{\text{exponiert}}}{I_{\text{nicht exponiert}}}}}$

Hierbei stellt ${\displaystyle I_{\text{exponiert}}}$ die Inzidenrate unter den Exponierten und ${\displaystyle I_{\text{nicht exponiert}}}$ die Inzidenzrate unter den nicht Exponierten dar. Solange der Zusammenhang ${\displaystyle C\approx I\cdot \Delta t}$ gilt (→ Gleichung [9] im Abschnitt: »Berechnung der kumulativen Inzidenz aus der Inzidenzdichte«), haben beide Maßzahlen annähernd denselben Wert, sodass relative Raten wie relative Risiken interpretiert werden können.

Beispiel:

Liegen 10 Fälle in 2.935 Personen-Jahren (341 Fälle pro 100 000 P-J) und 239 Fälle in 135.130 Personen-Jahren (177 Fälle pro 100 000 P-J) vor, so folgt bei einem Vergleich ein Inzidenzdichteverhältnis von IDV = 1,926. Da IDV > 1 geht man hier von einem Schadeffekt aus.

Kumulative Inzidenzfunktion

Statt den Kaplan-Meier-Schätzer benutzt man die sogenannte kumulative Inzidenzfunktion. Dafür definiert man zunächst sogenannte ursachenspezifische Hazardfunktionen (englisch cause-specific hazard function), die die „augenblickliche Hazardrate“ für Ursache ${\displaystyle j}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ in Gegenwart aller anderen Risiken darstellt:

${\displaystyle h_{j}\,\mathrm {d} t=P\left(t\in \mathrm {d} t,X_{j}\mid T\geq t\right),\;\,j=1,2}$.

Aufgrund der ursachenspezifischen Hazardfunktion ist die kumulative ursachenspezifische Hazardfunktion dann gegeben durch:

${\displaystyle H_{j}(t)=\int _{0}^{t}h_{j}(u)\,\mathrm {d} u,\;\,j=1,2}$.

Da sich die ursachenspezifischen Hazardfunktionen zur ursachenglobale Hazardfunktion (englisch all-cause hazard function) addieren ${\displaystyle h(t)\,\mathrm {d} t=P\left(T\in \mathrm {d} t\mid T\geq t\right)=\left(h_{1}+h_{2}\right)\,\mathrm {d} t}$, lässt sich für die kumulative ursachenglobale Hazardfunktion schreiben

.${\displaystyle H(t)=\int _{0}^{t}h(u)\,\mathrm {d} u=H_{1}(t)+H_{2}(t)}$.

Des Weiteren bezeichnet ${\displaystyle S(t)=P\left(T>t\right)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,\mathrm {d} u\right)}$ die Überlebensfunktion im Ausgangszustand ${\displaystyle 0}$. Die kumulative Inzidenzfunktion ist der erwartete Anteil von Personen, die im Laufe der Zeit ein bestimmtes konkurrierendes Ereignis erleben:

${\displaystyle F_{j}(t)=P\left(T\leq t,X_{T}=j\right)=\int _{0}^{t}P(T>u^{-})h_{j}(u)\,\mathrm {d} u,\;\,j=1,2}$,

wobei ${\displaystyle P\left(T>u^{-}\right)}$ den Wert der Überlebensfunktion unmittelbar vor ${\displaystyle u}$ bezeichnet.

Schätzung der kumulativen Inzidenzfunktion

Sei ${\displaystyle n_{i}}$ die Anzahl der lebenden und unzensierten Individuen unmittelbar bevor ${\displaystyle t_{i}}$ und sei weiterhin ${\displaystyle d_{ij}}$ die Anzahl der Todesfälle aufgrund Ursache ${\displaystyle j}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{i}}$. Die ursachenspezifische kumulative Inzidenzfunktion kann dann konsistent geschätzt werden durch

${\displaystyle {\hat {F}}_{j}(t)=\sum _{t_{i}\leq t}{\frac {d_{ij}}{n_{i}}}{\hat {S}}(t_{i-1})=\sum _{t_{i}\leq t}{\hat {I}}_{j}(t_{i})}$,

wobei ${\displaystyle S(t)}$ die globale Überlebensfunktion darstellt. Das Verhältnis ${\displaystyle d_{ij}/n_{i}}$ ist ein Schätzer für ursachenspezifische Hazardfunktion für Ursache ${\displaystyle j}$ zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{i}}$. Eine mathematisch günstige Eigenschaft dieses Schätzers der kumulativen Inzidenzfunktion ist, dass ${\displaystyle {\hat {S}}(t)+\sum \nolimits _{j}{\hat {F}}_{j}(t)=1}$. Dies besagt, dass zu jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ die Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisarten addiert mit der Wahrscheinlichkeit keines Ereignisses eins ergibt.