In der Topologie ist eine Homotopie (von griechisch ὁμός homos ‚gleich‘ und τόπος tópos ‚Ort‘, ‚Platz‘) eine stetige Deformation zwischen zwei Abbildungen von einem topologischen Raum in einen anderen, beispielsweise die Deformation einer Kurve in eine andere Kurve. Eine Anwendung von Homotopie ist die Definition der Homotopiegruppen, welche wichtige Invarianten in der algebraischen Topologie sind.

Der Begriff „Homotopie“ bezeichnet sowohl die Eigenschaft zweier Abbildungen, zueinander homotop (präferiert) zu sein, als auch die Abbildung („stetige Deformation“), die diese Eigenschaft vermittelt.

Definition

Eine Homotopie zwischen zwei stetigen Abbildungen ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ist eine stetige Abbildung

${\displaystyle H\colon X\times {[0,1]}\to Y}$

mit der Eigenschaft für alle ${\displaystyle x\in X}$ gilt

${\displaystyle H(x,0)=f(x)\quad }$ und ${\displaystyle \quad H(x,1)=g(x)}$

wobei ${\displaystyle [0,1]}$ das Einheitsintervall ist.

Der erste Parameter entspricht also dem der ursprünglichen Abbildungen und der zweite gibt den Grad der Deformation an. Eine Homotopie definiert eine ein-parametrige Familie ${\displaystyle (H_{t}(x))_{0\leq t\leq 1}}$ mit ${\displaystyle H_{t}(x):=H(x,t)}$, so dass ${\displaystyle H_{0}(x)=f(x)}$ und ${\displaystyle H_{1}(x)=g(x)}$. Besonders anschaulich wird die Definition, wenn man sich den zweiten Parameter als „Zeit“ vorstellt (vgl. Bild).

Äquivalent kann man eine Homotopie definieren als einen (stetigen) Weg von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle g}$ im Raum der stetigen Funktionen ${\displaystyle C(X,Y)}$ mit der kompakt-offenen Topologie.

Man sagt, ${\displaystyle f}$ sei homotop zu ${\displaystyle g}$ und schreibt ${\displaystyle f\sim g}$. Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Abbildungen ${\displaystyle X\to Y}$, die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Homotopieklassen, die Menge dieser Äquivalenzklassen wird häufig mit ${\displaystyle [X,Y]}$ bezeichnet.

Eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ heißt nullhomotop, wenn sie homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Beispiel

Sei ${\displaystyle X=S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ der Einheitskreis in der Ebene und ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{2}}$ die ganze Ebene. Die Abbildung ${\displaystyle f}$ sei die Einbettung von ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle Y}$, und ${\displaystyle g}$ sei die Abbildung, die ganz ${\displaystyle X}$ auf den Ursprung abbildet, also

${\displaystyle f\colon X\to Y}$, ${\displaystyle f(x)=x}$ und ${\displaystyle g\colon X\to Y}$, ${\displaystyle g(x)=0}$.

Dann sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ zueinander homotop. Denn

${\displaystyle H\colon X\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle H(x,t)=(1-t)\cdot f(x)}$

ist stetig und erfüllt ${\displaystyle H(x,0)=1\cdot f(x)=f(x)}$ und ${\displaystyle H(x,1)=0\cdot f(x)=0=g(x)}$.

Relative Homotopie

Ist ${\displaystyle E}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle X}$, und stimmen zwei stetige Abbildungen ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ auf ${\displaystyle E}$ überein, so heißen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ homotop relativ zu ${\displaystyle E}$, wenn es eine Homotopie ${\displaystyle H\colon f\sim g}$ gibt, für die ${\displaystyle H(e,t)}$ für jedes ${\displaystyle e\in E}$ unabhängig von ${\displaystyle t}$ ist.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Homotopie von Wegen relativ der Endpunkte: Ein Weg ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$; dabei ist ${\displaystyle [0,1]}$ das Einheitsintervall. Zwei Wege heißen homotop relativ der Endpunkte, wenn sie homotop relativ ${\displaystyle \{0,1\}}$ sind, d. h. wenn die Homotopie die Anfangs- und Endpunkte festhält. (Sonst wären Wege in der gleichen Wegzusammenhangskomponente immer homotop.) Sind also ${\displaystyle \gamma _{0}}$ und ${\displaystyle \gamma _{1}}$ zwei Wege in ${\displaystyle Y}$ mit ${\displaystyle \gamma _{0}(0)=\gamma _{1}(0)=x}$ und ${\displaystyle \gamma _{0}(1)=\gamma _{1}(1)=y}$, so ist eine Homotopie relativ der Endpunkte zwischen ihnen eine stetige Abbildung

${\displaystyle H:[0,1]\times [0,1]\to Y}$

mit ${\displaystyle H(t,0)=\gamma _{0}(t)}$, ${\displaystyle H(t,1)=\gamma _{1}(t)}$, ${\displaystyle H(0,s)=x}$ und ${\displaystyle H(1,s)=y}$.

Ein Weg heißt nullhomotop genau dann, wenn er homotop zum konstanten Weg ${\displaystyle \gamma (t)=x_{0}}$ ist.

Der andere häufig auftretende Fall ist die Homotopie von Abbildungen zwischen punktierten Räumen. Sind ${\displaystyle (X,x_{0})}$ und ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ punktierte Räume, so sind zwei stetige Abbildungen ${\displaystyle f,g\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$ homotop als Abbildungen von punktierten Räumen, wenn sie relativ ${\displaystyle x_{0}}$ homotop sind.

Homotopieäquivalenz

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei topologische Räume und sind ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ und ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ stetige Abbildungen. Dann sind die Verknüpfungen ${\displaystyle g\circ f}$ und ${\displaystyle f\circ g}$ jeweils stetige Abbildungen von ${\displaystyle X}$ bzw. ${\displaystyle Y}$ auf sich selbst, und man kann versuchen, diese zur Identität auf X bzw. Y zu homotopieren.

Falls es solche ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ gibt, dass ${\displaystyle g\circ f}$ homotop zu ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ und ${\displaystyle f\circ g}$ homotop zu ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$ ist, so nennt man ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ homotopieäquivalent oder vom gleichen Homotopietyp. Die Abbildungen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ heißen dann Homotopieäquivalenzen.

Homotopieäquivalente Räume haben die meisten topologischen Eigenschaften gemeinsam. Falls ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ homotopieäquivalent sind, so gilt

• falls ${\displaystyle X}$ wegzusammenhängend, so auch ${\displaystyle Y}$.
• falls ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ wegzusammenhängend, so sind die Fundamentalgruppen und die höheren Homotopiegruppen isomorph.
• die Homologie- und Kohomologiegruppen von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sind gleich.
• ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sind Deformationsretrakte eines topologischen Raums ${\displaystyle Z}$.

Isotopie

Kettenhomotopie

Zwei Kettenhomomorphismen

${\displaystyle f_{\bullet },g_{\bullet }\colon (A_{\bullet },d_{A,\bullet })\to (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

zwischen Kettenkomplexen ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$ und ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$ heißen kettenhomotop, wenn es einen Homomorphismus

${\displaystyle K_{\bullet }\colon (A_{\bullet })\to (B_{\bullet +1})}$

mit

${\displaystyle d_{B,{\bullet +1}}K_{\bullet }+K_{\bullet -1}d_{A,{\bullet }}=f_{\bullet }-g_{\bullet }}$

gibt.

Wenn ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ homotope Abbildungen zwischen topologischen Räumen sind, dann sind die induzierten Abbildungen der singulären Kettenkomplexe

${\displaystyle f_{\bullet },g_{\bullet }\colon (C_{\bullet }(X),d_{\bullet })\to (C_{\bullet }(Y),d_{\bullet })}$

kettenhomotop.

Punktierte Homotopie

Zwei punktierte Abbildungen

${\displaystyle f,g\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$

heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung ${\displaystyle H\colon X\times \left[0,1\right]\to Y}$ mit

${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$ und ${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle H(x_{0},t)=y_{0}}$ für alle ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$

gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit ${\displaystyle \left[X,Y\right]}$ bezeichnet.

Literatur

• Brayton Gray: Homotopy theory. An introduction to algebraic topology (= Pure and Applied Mathematics. Nr. 64). Academic Press, New York u. a. 1975, ISBN 0-12-296050-5. 
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79540-0 (cornell.edu). 
• John McCleary (Hrsg.): Higher Homotopy Structures in Topology and Mathematical Physics. Proceedings of an international Conference, June 13 – 15, 1996 at Vassar College, Poughkeepsie, New York, to Honor the sixtieth Birthday of Jim Stasheff (= Contemporary Mathematics. Band 227). American Mathematical Society, Providence RI 1999, ISBN 0-8218-0913-X. 
• George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory. Corrected 3rd Printing (= Graduate Texts in Mathematics. Band 61). Springer, New York u. a. 1995, ISBN 0-387-90336-4. 
• M. Sielemann, F. Casella, M. Otter, C. Claus, J. Eborn, S. E. Mattsson, H. Olsson: Robust Initialization of Differential-Algebraic Equations Using Homotopy. International Modelica Conference, Dresden 2011, ISBN 978-91-7393-096-3. 

Einzelnachweise

1. ↑ John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Hrsg.: Springer. 2. Auflage. S. 74–75. 
2. ↑ Tammo tom Dieck: Topologie. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 2000, ISBN 3-11-016236-9, S. 277.