Näherungsformel

Bei großem Abstand kann man vereinfacht mit guter Näherung folgende Formeln anwenden: Der Abstand ${\displaystyle s}$ ist bei gegebener Höhe ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle s\approx {\frac {h}{2}}\cdot \cot {\frac {\alpha }{2}}}$

oder

${\displaystyle s\approx h\cdot \cot \alpha }$

oder

${\displaystyle s\approx {\frac {h}{2\cdot \tan {\frac {\alpha }{2}}}}}$

oder

${\displaystyle s\approx {\frac {h}{\tan \alpha }}}$

Die Höhe ${\displaystyle h}$ ist bei gegebenem Abstand ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle h\approx 2s\cdot \tan {\frac {\alpha }{2}}}$

oder

${\displaystyle h\approx s\cdot \tan \alpha }$

Methode von Apian

Der Mathematiker Philipp Apian (1531–1589) beschrieb eine Methode, um mit dem Jakobsstab die Höhe des Gegenstandes zu bestimmen. Nach ihm müsse man den Jakobsstab so an das Auge halten, dass das obere Ende des Läufers am oberen Ende des Gegenstandes zu sehen ist und das Untere entsprechend am unteren Ende des Gegenstands. Dann berechnet man nach Apian die Höhe ${\displaystyle h}$ des Gegenstands mit folgender Formel:

${\displaystyle h\approx {\frac {s\cdot b}{a}}}$

Bei dieser Rechnung benutzt Philipp Apian den 2. Strahlensatz. Die Bedingungen für diesen Satz sind hier jedoch nicht immer erfüllt, denn der Läufer ist nicht unbedingt parallel zum Gegenstand. Auf große Entfernungen wirkt sich dieser Fehler jedoch nur gering aus.

Genaue Bestimmung (Läufer parallel zum Gegenstand)

Zur genauen Bestimmung der Höhe gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste ist die einfachere, sie basiert auf dem Strahlensatz und benötigt keine Winkelfunktionen. Dabei muss man den Jakobsstab so halten, dass der Läufer parallel zum Gegenstand ist und man das obere Ende des Läufers wieder am oberen Ende des Gegenstandes sieht. Dann lautet die Formel zur Berechnung der Höhe ${\displaystyle h}$:

${\displaystyle h=h_{a}+{\frac {s\cdot b}{2a}}}$

Genaue Bestimmung (allgemeiner Fall)

Die zweite Methode ist etwas komplizierter, da Winkelfunktionen benutzt werden. Der Jakobsstab muss wieder gehalten werden, wie es Philipp Apian beschrieb. Auch hier wird die Augenhöhe ${\displaystyle h_{a}}$ benötigt.

Lösung über ${\displaystyle \arctan }$

${\displaystyle h=h_{a}+s\cdot \tan \left({2\cdot \arctan {\frac {b}{2a}}+\arctan {\frac {s}{h_{a}}}-90^{\circ }}\right)}$

Lösung über ${\displaystyle \arccos }$

${\displaystyle h=h_{a}+s\cdot \tan \left({2\cdot \arccos {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}}}+\arccos {\frac {h_{a}}{\sqrt {s^{2}+h_{a}^{2}}}}-90^{\circ }}\right)}$

Der Vorteil der zweiten Methode ist, dass man nicht darauf achten muss, ob der Läufer parallel zum Gegenstand, und der Jakobsstab somit parallel zum Boden ist. Dafür ist diese Formel schwer auswendig zu lernen.