Mit der Janssen-Gleichung (nach H. A. Janssen, 1895) können die Spannungen in einem Silo beschrieben werden. Sie beschreibt das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung und ist ein Spezialfall der allgemeinen Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts unter Berücksichtigung der Silowand.

Für ein scheibenförmiges Volumelement (Radius r) der Höhe dz, das den gesamten Querschnitt ${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$ des Silos mit Umfang ${\displaystyle U=2\cdot \pi \cdot r}$ überspannt, gilt

${\displaystyle A\cdot \sigma _{v}+\rho _{b}\cdot g\cdot A\cdot dz=A\left(\sigma _{v}+d\sigma _{v}\right)+\tau _{w}\cdot U\cdot dz}$,

wobei

• ${\displaystyle \sigma _{v}}$ die vertikale Spannung
• ${\displaystyle \rho _{\rm {b}}}$ die mittlere Dichte des Schüttgutes
• g die Fallbeschleunigung
• ${\displaystyle \tau _{\rm {w}}}$ die Wandschubspannung
• z die Tiefe ab Oberkante des Schüttgutes bezeichnen.

Die Gewichtskraft ${\displaystyle \rho _{b}\cdot g\cdot A\cdot dz}$ des Schüttgutes in der Scheibe wirkt

• dem Unterschied der Spannungen (Druckgradient) auf der Ober- und Unterseite der Scheibe (die ersten Terme auf beiden Seiten) sowie
• der durch die Silowand ausgeübte Schubkraft ${\displaystyle \tau _{w}\cdot U\cdot dz}$ entgegen.

Die Janssen-Gleichung kann in eine gewöhnliche Differentialgleichung umgeformt werden:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\Leftrightarrow \rho _{b}\cdot g\cdot A\cdot dz&=A\cdot d\sigma _{v}&&+\tau _{w}\cdot U\cdot dz\\\Leftrightarrow \rho _{b}\cdot g\cdot dz&=d\sigma _{v}&&+\tau _{w}\cdot {\frac {U}{A}}\cdot dz\\\Leftrightarrow d\sigma _{v}&=(\rho _{b}\cdot g&&-\tau _{w}\cdot {\frac {U}{A}})\cdot dz\\\Leftrightarrow {\frac {d\sigma _{v}}{dz}}&=\rho _{b}\cdot g&&-\tau _{w}\cdot {\frac {2}{r}}\end{alignedat}}}$

Die Lösung ${\displaystyle \sigma _{v}(z)}$ der Dgl. kann durch Wahl geeigneter Rand- und Anfangsbedingungen gefunden werden.

Literatur

1. ↑ Janssen, H. A.: Versuche über Getreidedruck in Silozellen. In: Z. Ver. Dt. Ing. Band 39, 1895, S. 1045–1049 (duke.edu [PDF] Scan des Artikels (Memento im Webarchive vom 30. Oktober 2011)).  Versuche über Getreidedruck in Silozellen (Memento des Originals vom 3. März 2011 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.phy.duke.edu

Weblinks

• Berechnung von Spannungen in Silos (Janssen-Gleichung)