Die jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Benannt wurde sie nach Marie Ennemond Camille Jordan, der sie 1870 für endliche Körper und 1871 im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme für komplexe Matrizen herleitete, die aber auch schon 1868 Karl Weierstraß in seiner Behandlung bilinearer Formen im Komplexen bekannt war. Die jordansche Normalform ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren Matrix ähnlichen Matrizen. Die Trigonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit, dass das charakteristische Polynom der Matrix vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Matrizen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind immer trigonalisierbar und daher immer ähnlich einer jordanschen Normalform.

Für jede lineare Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums, deren charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, kann eine Vektorraumbasis gewählt werden, so dass die Abbildungsmatrix, die die Abbildung bezüglich dieser Basis beschreibt, jordansche Normalform hat. Dies gilt insbesondere für jede nilpotente Matrix.

Für jede beliebige, auch nicht trigonalisierbare Matrix liefert die rationale Normalform oder Frobenius-Normalform einen standardisierten Repräsentanten der Ähnlichkeitsklasse dieser Matrix.

Definition

Die jordansche Normalform zu einer quadratischen ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$ über den komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist eine Matrix ${\displaystyle J}$ in der folgenden Blockdiagonalform:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=Q^{-1}AQ.}$

Die Matrix ${\displaystyle Q}$ ist die Matrix der Eigenvektoren und Hauptvektoren, aus denen sie spaltenweise besteht. ${\displaystyle Q^{-1}}$ bezeichnet dabei die inverse Matrix von ${\displaystyle Q}$. Die Darstellung von ${\displaystyle A}$ als

${\displaystyle A=QJQ^{-1}}$

wird als Jordanzerlegung (engl. jordan decomposition) von ${\displaystyle A}$ bezeichnet. Die Matrizen ${\displaystyle J_{j}}$ heißen Jordanblöcke oder Jordankästchen; sie sind Bidiagonalmatrizen der folgenden Form:

${\displaystyle J_{j}={\begin{pmatrix}\lambda _{j}&1&&&0\\&\lambda _{j}&1&&\\&&\ddots {}&\ddots {}\\&&&\lambda _{j}&1\\0&&&&\lambda _{j}\end{pmatrix}}\in \mathbb {C} ^{s_{j}\times s_{j}}.}$

Die ${\displaystyle \lambda _{j}}$ sind dabei die Eigenwerte von ${\displaystyle A}$. Zu jedem Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{j}}$ gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordanblöcke. Die geometrische Vielfachheit ist dabei die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{j}}$. Die Gesamtdimension aller Jordanblöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d. h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom.

In einem Jordanblock sind die sogenannten Jordanketten „gespeichert“ (siehe Hauptvektor). Bestehe ${\displaystyle A}$ z. B. nur aus einem Jordanblock mit Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ und bezeichne ${\displaystyle v_{l}}$ einen Hauptvektor ${\displaystyle l}$-ter Stufe, das heißt, ${\displaystyle v_{1}}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ und es gilt ${\displaystyle (A-\lambda E)v_{1}=0}$ und ${\displaystyle (A-\lambda E)v_{l}=v_{l-1}}$ für ${\displaystyle l=2,\dots ,n}$, dann gelten ${\displaystyle Av_{1}=\lambda v_{1}}$ und ${\displaystyle Av_{l}=v_{l-1}+\lambda v_{l}}$ für ${\displaystyle l=2,\dots ,n}$, das heißt, die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis ${\displaystyle (v_{1},\dotsc ,v_{n})}$ ist tatsächlich ein Jordanblock.

Es existiert noch die alternative Darstellung der Jordanblöcke mit 1 in der unteren Nebendiagonalen.

Im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix ist die jordansche Normalform eine Diagonalmatrix.

Algorithmus zur Bestimmung einer komplexen jordanschen Normalform

Für die jordansche Normalform eines Endomorphismus ${\displaystyle u\colon V\to V}$ eines ${\displaystyle n}$-dimensionalen ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraums ${\displaystyle V}$ wählt man eine Basis ${\displaystyle B=(b_{1},\ldots ,b_{n})}$ des Vektorraums ${\displaystyle V}$ und berechnet die jordansche Normalform der Abbildungsmatrix ${\displaystyle A=M_{B}(u)}$ von ${\displaystyle u}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle B}$.

Im Folgenden wird daher ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ gesetzt und die komplexe jordansche Normalform einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ bestimmt. Die Einheitsmatrix wird mit ${\displaystyle E_{n}}$ bezeichnet.

Bestimmung einer Basistransformation zur komplexen jordanschen Normalform

Nun soll eine Basistransformationsmatrix ${\displaystyle P\in {\rm {GL}}(n;\mathbb {C} )}$ bestimmt werden, die

${\displaystyle J=P^{-1}AP}$

erfüllt. Sie ist durch diese Gleichung bekanntlich nicht eindeutig bestimmt. Das Standard-Verfahren verwendet die vorherige Kenntnis der komplexen jordanschen Normalform ${\displaystyle J}$.

Jordansche Normalform nilpotenter Matrizen

Eine nilpotente Matrix hat ausschließlich den Eigenwert null, weswegen die Hauptdiagonale ihrer jordanschen Normalform aus Nullen besteht. Sei ${\displaystyle N_{p}}$ der Jordanblock der Größe ${\displaystyle p}$ zum Eigenwert null. Dann ist jede nilpotente n×n-Matrix ähnlich zu einer eindeutig bestimmten Blockdiagonalmatrix

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}N_{p_{1}}\\&N_{p_{2}}\\&&\ddots \\&&&N_{p_{k}}\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle p_{1}+p_{2}+\dots +p_{k}=n}$   und   ${\displaystyle p_{1}\geq p_{2}\geq \dots \geq p_{k}}$

Die Partitionsfunktion ${\displaystyle P(n)}$ gibt die Anzahl der Äquivalenzklassen für nilpotente n×n-Matrizen an.

Mit jeder Potenz von ${\displaystyle J}$ entfernen sich die Einsen um einen Schritt von der Hauptdiagonalen. In ${\displaystyle J=J^{1}}$ ist der Abstand per definitionem eins, in ${\displaystyle J^{2}}$ zwei, in ${\displaystyle J^{k}}$ ist der Abstand ${\displaystyle k}$. Das heißt, ${\displaystyle J}$ ist nilpotent mit einem Nilpotenzgrad kleiner oder gleich ${\displaystyle n}$.

Sei ${\displaystyle D}$ die Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonale dieselbe ist wie die der jordanschen Normalform ${\displaystyle J}$ einer trigonalisierbaren Matrix, und ${\displaystyle N}$ sei die Matrix, die aus ${\displaystyle J}$ entsteht, indem die Hauptdiagonale mit Nullen belegt wird. Dann liegt die Summenzerlegung

${\displaystyle J=D+N}$ mit ${\displaystyle DN=ND}$

vor. Somit lässt sich jede trigonalisierbare Matrix in eine diagonalisierbare und eine nilpotente Matrix additiv zerlegen. Siehe auch Schursche Normalform und Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus.

Reelle jordansche Normalform

Betrachtet man reelle Matrizen, so zerfällt deren charakteristisches Polynom im Allgemeinen nicht mehr vollständig in Linearfaktoren, sondern nur noch in irreduzible Faktoren, die in diesem Fall stets lineare oder quadratische Faktoren sind. Es stellt sich nun die Frage nach einer Normalform, wenn man ausschließlich reelle Basistransformationen zulässt.

Zu einem quadratischen irreduziblen Faktor ${\displaystyle (\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}}$ mit ${\displaystyle b_{j}>0}$ definiert man als Jordanblock

${\displaystyle J_{j}={\begin{pmatrix}a_{j}&b_{j}&1&0&&&&0\\-b_{j}&a_{j}&0&1&&&&\\&&a_{j}&b_{j}&1&0&&\\&&-b_{j}&a_{j}&0&1&&\\&&&\ddots {}&\ddots {}&\ddots {}&1&0\\&&&&\ddots {}&\ddots {}&0&1\\&&&&&\ddots {}&a_{j}&b_{j}\\0&&&&&&-b_{j}&a_{j}\\\end{pmatrix}}.}$

Wir nennen die Anzahl der Zeilen (bzw. Spalten) die Größe dieses Blocks. Dann bezeichnet man

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}J_{1}&&0\\&\ddots {}&\\0&&J_{k}\end{pmatrix}}=P^{-1}AP}$

als reelle jordansche Normalform. Um sie und eine geeignete reelle Matrix ${\displaystyle P\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen:

• Bestimme das charakteristische Polynom und faktorisiere es in irreduzible Faktoren. Es ergibt sich

${\displaystyle \chi (\lambda )=\prod _{j=1}^{k}\left(\lambda -\lambda _{j}\right)^{\mu _{j}}\cdot \prod _{j=1}^{l}\left(\left(\lambda -a_{j}\right)^{2}+b_{j}^{2}\right)^{\nu _{j}}}$,

wobei ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R} }$ paarweise verschiedene Eigenwerte mit Vielfachheit ${\displaystyle \mu _{j}\in \mathbb {N} }$ bezeichnen. Weiter seien darin ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{l}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{l}>0}$, ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{l}\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle (a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{l},b_{l})}$ paarweise verschieden.

• Für jedes ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,k\}}$ bestimme man

${\displaystyle K_{j,m}:=\operatorname {Kern} _{\mathbb {R} }(A-\lambda _{j}E)^{m}}$ für ${\displaystyle m=1,2,\ldots ,m_{j}}$,

worin ${\displaystyle m_{j}\leq \mu _{j}}$ die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle m}$ ist mit ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }K_{j,m}=\dim _{\mathbb {R} }K_{j,m+1}}$. Analog bestimme man für jedes ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,l\}}$

${\displaystyle K^{j,m}:=\operatorname {Kern} _{\mathbb {R} }\left(\left(A-a_{j}E\right)^{2}+b_{j}^{2}E\right)^{m}}$ für ${\displaystyle m=1,2,\ldots ,n_{j}}$,

worin ${\displaystyle n_{j}\leq \nu _{j}}$ die kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle m}$ ist mit ${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }K^{j,m}=\dim _{\mathbb {R} }K^{j,m+1}}$.

Zudem setzen wir ${\displaystyle K_{j,0}:=K^{j,0}:=\{0\}}$.

• Nun stelle man die jordansche Normalform auf. Es gilt hierbei
  • ${\displaystyle \ \dim _{\mathbb {R} }K_{j,m}-\dim _{\mathbb {R} }K_{j,m-1}}$ ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{j}}$, deren Größe größer oder gleich ${\displaystyle m}$ ist.
  • ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\dim _{\mathbb {R} }K^{j,m}-\dim _{\mathbb {R} }K^{j,m-1})}$ ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Faktor ${\displaystyle (\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}}$, deren Größe größer oder gleich ${\displaystyle 2m}$ ist.

Außerdem ist ${\displaystyle \mu _{j}}$ die Summe der Jordanblockgrößen zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{j}}$ und ${\displaystyle 2\nu _{j}}$ die Summe der Jordanblockgrößen zum Faktor ${\displaystyle (\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}}$. Aus diesen Angaben kann man eindeutig die jordansche Normalform ${\displaystyle J}$ bestimmen.

• Danach bestimme man die Basistransformationsmatrix ${\displaystyle P}$, das heißt, man sucht eine reelle invertierbare Matrix ${\displaystyle P\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$, so dass ${\displaystyle J=P^{-1}AP}$.

Ein Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende:

• Man arbeite die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben irreduziblen Faktor stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht. Zu jedem Block der Größe ${\displaystyle t}$ werden ${\displaystyle t}$ Spalten der Basistransformationsmatrix ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{t}}$ nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in ${\displaystyle J}$ die Spalten ${\displaystyle m,\ldots ,m+t-1}$ belegt, so werden die Vektoren ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{t}}$ in ${\displaystyle P}$ ebenso (von links nach rechts) in die Spalten ${\displaystyle m,\ldots ,m+t-1}$ eingefügt. Die Vektoren ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{t}}$ werden nun wie folgt bestimmt:
  • Zu einem Jordanblock der Größe ${\displaystyle m}$ zum Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{j}}$ wähle man ${\displaystyle v^{m}\in K_{j,m}\setminus \operatorname {Span} _{\mathbb {R} }(K_{j,m-1}\cup M)}$ beliebig, worin ${\displaystyle M}$ die Menge der zuvor berechneten Spalten (das heißt Basisvektoren) der Stufe ${\displaystyle m}$ aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert ${\displaystyle \lambda _{j}}$ (sofern vorhanden) bezeichnet. Anschließend setze man sukzessiv ${\displaystyle v^{t-1}:=(A-\lambda _{j}E)v^{t}}$ für alle ${\displaystyle t=m,\ldots ,2}$.
  • Zu einem Jordanblock der Größe ${\displaystyle 2m}$ zum irreduziblen Faktor ${\displaystyle (\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}}$ wähle man einen Vektor ${\displaystyle v^{2m}\in K^{j,m}\setminus \operatorname {Span} _{\mathbb {R} }(K^{j,m-1}\cup M)}$, wobei ${\displaystyle M}$ aus den bereits berechneten Hauptvektoren der Stufen ${\displaystyle 2m,2m-1}$ zum selben irreduziblen Faktor ${\displaystyle (\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}}$ besteht.

Dann setze man für ${\displaystyle t=2m,\ldots ,2}$ sukzessiv ${\displaystyle v^{t-1}:={\begin{cases}{\frac {1}{b_{j}}}(A-a_{j}E)v^{t},&{\text{falls }}t{\text{ gerade,}}\\(A-a_{j}E)v^{t}+b_{j}v^{t+1},&{\text{falls }}t{\text{ ungerade.}}\end{cases}}}$

Schließlich setzt man ${\displaystyle P}$ wie gehabt aus den Vektoren ${\displaystyle v^{1},\ldots ,v^{2m}}$ zusammen.

• Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, werden am Ende alle Spalten von ${\displaystyle P}$ aufgefüllt. Es gilt: Die Matrix ${\displaystyle P}$ ist regulär und erfüllt ${\displaystyle P^{-1}AP=J}$, und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich deren ${\displaystyle A}$ die Darstellung ${\displaystyle J}$ besitzt.

Jordansche Normalform in allgemeinen Körpern

Die jordansche Normalform kann noch weiter verallgemeinert werden auf allgemeine Körper. In diesem Zusammenhang wird sie häufig auch als Weierstraß-Normalform (bzw. Frobenius-Normalform) bezeichnet. Dies erlaubt eine eindeutige Matrixdarstellung von Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorräumen, bei der sich alle ähnlichen Endomorphismen durch eine eindeutige Matrix darstellen lassen. So können ähnliche lineare Abbildungen identifiziert werden. Das Lemma von Frobenius charakterisiert zueinander ähnliche Matrizen durch die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen und liefert die Frobenius-Normalform als Normalform des Vektorraums unter der Operation eines Polynomrings.

Durch die Darstellung in der Weierstraß-Normalform ist der Aufbau des Minimalpolynoms sofort erkennbar und das charakteristische Polynom leicht zu berechnen.

Anwendung bei linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Gegeben sei ein lineares Differentialgleichungssystem (von ${\displaystyle n}$ Gleichungen) erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

${\displaystyle y'=A\cdot y+g(x)}$

durch eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ und eine stetige Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} ^{n}}$. Es ist bekannt, dass die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems

${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$

gegeben ist durch

${\displaystyle y(x)=e^{(x-x_{0})A}\cdot y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}e^{(x-t)A}g(t){\rm {d}}t\ }$,

worin

${\displaystyle \exp(B):=e^{B}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}B^{k}}$ für ${\displaystyle B\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

die Matrixexponentialfunktion bezeichnet. Man beachte:

• Die Matrixexponentialfunktion von einem komplexen Jordanblock kann explizit ausgerechnet werden:

${\displaystyle \exp \left(t\cdot {\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}\right)=e^{t\lambda }\cdot {\begin{pmatrix}1&{\frac {t^{1}}{1!}}&{\frac {t^{2}}{2!}}&\cdots &{\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}\\0&1&{\frac {t^{1}}{1!}}&\cdots &{\frac {t^{n-2}}{(n-2)!}}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&{\frac {t^{1}}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}}$.

• Die Matrixexponentialfunktion von einer komplexen Jordannormalform ${\displaystyle J={\rm {diag}}(J_{1},\ldots ,J_{m})}$ kann explizit berechnet werden mittels:

${\displaystyle \exp(t\cdot {\rm {diag}}(J_{1},\ldots ,J_{m}))={\rm {diag}}(\exp(tJ_{1}),\ldots ,\exp(tJ_{m}))}$.

• Die Matrixexponentialfunktion einer Matrix ${\displaystyle A}$, deren komplexe Jordannormalform ${\displaystyle J}$ zusammen mit einer Basistransformationsmatrix ${\displaystyle P\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ bekannt ist, das heißt ${\displaystyle A=PJP^{-1}}$, kann explizit berechnet werden mittels:

${\displaystyle \exp(tA)=\exp(t\cdot PJP^{-1})=P\cdot \exp(tJ)\cdot P^{-1}}$.

Mit anderen Worten: Kennt man eine Darstellung ${\displaystyle A=PJP^{-1}}$ mit der komplexen jordanschen Normalform ${\displaystyle J}$, so kann man ${\displaystyle \exp(tA)}$ für jedes ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ explizit ausrechnen, so dass zum Bestimmen von

${\displaystyle y(x)=e^{(x-x_{0})A}\cdot y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}e^{(x-t)A}g(t){\rm {d}}t\ }$

nur noch das Integrationsproblem zu lösen ist, welches im homogenen Fall ${\displaystyle g=0}$ völlig entfällt.

Siehe auch

• Diagonalisierung ist ein Spezialfall der jordanschen Normalform.
• Die jordansche Normalform ist ein Spezialfall der Weierstraß-Normalform.
• Die Existenz der jordanschen Normalform liefert die Existenz der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus.
• Da für die Existenz einer jordanschen Normalform die Existenz von Nullstellen des charakteristischen Polynoms ausschlaggebend ist, kann die reelle Normalform wie hier beschrieben allgemeiner für affine Selbstabbildungen des zweidimensionalen affinen Raumes über einem euklidischen und eines affinen Raumes mit beliebiger, endlicher Dimension über einem reell abgeschlossenen Körper bestimmt werden.

Weblinks

• Daniel Winkler: Kochen mit Jordan. (PDF-Datei; 264 kB)
• Jordan matrix. In: Encyclopaedia of Mathematics. (englisch)
• Jordan canonical form theorem. In: PlanetMath. (englisch)
• The Real Jordan Form. In: Number Theory Web. (englisch; PDF-Datei; 110 kB)
• Das Gelbe Rechenbuch / Zusätze: Jordanform von Matrizen (PDF-Datei; 81 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ Wilhelm von Alten u. a., 4000 Jahre Algebra, Springer 2008, S. 409
2. ↑ E. Brieskorn: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band II. Vieweg, 1985, ISBN 3-528-08562-2, S. 20. 

Literatur

• Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0. 
• Gilbert Strang: Lineare Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-540-43949-8.  (Literatur zu Eigenwerten und Eigenvektoren sowie Matrizen-Rechnung).