Lösung mittels Tabelle

Die Lösung lässt sich mit folgender Tabelle ermitteln. Weil die Mutter jedes ihrer beiden Kinder nennen kann, gibt es insgesamt acht Möglichkeiten:

	1. Kind	2. Kind	Wahl der Mutter	Antwort der Mutter	Anderes Kind ist…
1	Junge	Junge	1. Kind	„Junge“	Junge
2	Junge	Junge	2. Kind	„Junge“	Junge
3	Junge	Mädchen	1. Kind	„Junge“	Mädchen
4	Junge	Mädchen	2. Kind	„Mädchen“	Junge
5	Mädchen	Junge	1. Kind	„Mädchen“	Junge
6	Mädchen	Junge	2. Kind	„Junge“	Mädchen
7	Mädchen	Mädchen	1. Kind	„Mädchen“	Mädchen
8	Mädchen	Mädchen	2. Kind	„Mädchen“	Mädchen

Da es keinen Grund für die Annahme einer Präferenz der Mutter bei der Nennung des Geschlechts eines ihrer Kinder gibt, ist es sinnvoll, zu unterstellen, dass die Mutter das genannte Kind zufällig gewählt hat (diskrete Gleichverteilung). Daher sind alle acht Möglichkeiten gleich wahrscheinlich. Da man weiß, dass die Mutter geantwortet hat, dass eines ihrer Kinder ein Mädchen ist, beschränken sich die möglichen Konstellationen auf die Nummern 4, 5, 7 und 8. Sie bilden die Bedingung. In der Hälfte dieser Fälle, nämlich in den Fällen 7 und 8, ist das andere Kind ebenfalls ein Mädchen. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist also ¹⁄₂.

Lösung mittels Urnenmodell

Gegeben sind vier Urnen, eine mit zwei schwarzen Kugeln ${\displaystyle U_{ss}}$, eine mit zwei weißen Kugeln ${\displaystyle U_{ww}}$ und zwei gemischte mit je einer schwarzen und einer weißen Kugel: ${\displaystyle U_{sw}}$ und ${\displaystyle U_{ws}}$. (Dies entspricht der Annahme der Gleichverteilung der Geschlechter bei zwei Kindern.) Aus einer zufällig ausgewählten Urne (es wird eine zufällig ausgewählte Mutter von zwei Kindern befragt) wird eine Kugel gezogen (die Mutter nennt das Geschlecht eines zufälligen ihrer beiden Kinder), die Kugel ist weiß (${\displaystyle K_{1}=W}$) . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Kugel in dieser Urne ebenfalls weiß ist?

Gesucht wird also die bedingte Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(K_{2}=W\mid K_{1}=W)}$.

Die zweite Kugel kann nur dann ebenfalls weiß sein, wenn die erste Kugel aus der Urne mit den beiden weißen Kugeln gezogen wurde. Da alle vier Urnen a priori gleich wahrscheinlich sind, ist ${\displaystyle P(U_{ww})=1/4}$. Da zudem alle Urnen gleich viele Kugeln enthalten, ist die Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, für alle Kugeln gleich groß; die totale Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(K_{1}=W)}$, eine weiße Kugel zu ziehen, ist daher gleich dem Anteil der weißen Kugeln an allen Kugeln und beträgt ${\displaystyle 4/8=1/2}$. Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes für die gesuchte Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(K_{2}=W\mid K_{1}=W)=P(U_{ww}\mid K_{1}=W)={\frac {P(K_{1}=W\mid U_{ww})\cdot P(U_{ww})}{P(K_{1}=W)}}={{1\cdot {1 \over 4}} \over {1 \over 2}}={1 \over 2}.}$

Gegenprobe: Die andere Kugel in der Urne ist genau dann schwarz, wenn die weiße Kugel aus einer der beiden gemischten Urnen stammt. Da die Bedingung durch unabhängige Ereignisse erfüllt werden kann, müssen die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse addiert werden. In diesem Fall, wo zwei gleich wahrscheinliche Urnen die Bedingung erfüllen, ist die Wahrscheinlichkeit folglich zwei Mal die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne der beiden gemischten Urnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die andere Kugel in der Urne schwarz ist, ist daher

${\displaystyle P(K_{2}=S\mid K_{1}=W)=P(U_{sw}\mid K_{1}=W)+P(U_{ws}\mid K_{1}=W)=2\;P(U_{sw}\mid K_{1}=W)}$

${\displaystyle =2\;{\frac {P(K_{1}=W\mid U_{sw})\cdot P(U_{sw})}{P(K_{1}=W)}}=2\cdot {{{1 \over 2}\cdot {1 \over 4}} \over {1 \over 2}}={1 \over 2}.}$

Eine Modellierung der Fragestellung mit einem Urnenmodell führt daher zum gleichen Ergebnis wie die Wahrscheinlichkeitstabelle.