Wahrheitstafeln

Schema: Wahrheitstafel für einen zweistelligen Junktor einer zweiwertigen Logik ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P\circ Q}$ w w ${\displaystyle WHW(P\circ Q)}$, für ${\displaystyle WHW(P)=}$w und ${\displaystyle WHW(Q)=}$w w f ${\displaystyle WHW(P\circ Q)}$, für ${\displaystyle WHW(P)=}$w und ${\displaystyle WHW(Q)=}$f f w ${\displaystyle WHW(P\circ Q)}$, für ${\displaystyle WHW(P)=}$f und ${\displaystyle WHW(Q)=}$w f f ${\displaystyle WHW(P\circ Q)}$, für ${\displaystyle WHW(P)=}$f und ${\displaystyle WHW(Q)=}$f

„${\displaystyle P}$“ und „${\displaystyle Q}$“ sind zwei beliebige Aussagen, „${\displaystyle \circ }$“ steht für die Verknüpfung als logische Operation, „${\displaystyle WHW}$“ für Wahrheitswert, „w“ für den Wahrheitswert „Das Wahre“, „f“ für den Wahrheitswert „Das Falsche“.

Eine Methode, den Wahrheitswertverlauf extensionaler Junktoren in einer Logik mit endlich vielen Wahrheitswerten übersichtlich darzustellen, sind die sogenannten Wahrheitstafeln. Bei diesen wird in jeder Zeile für eine mittels des Junktors aus Einzelaussagen gebildete zusammengesetzte Gesamtaussage für jede mögliche Zuordnung von Wahrheitswerten zu den Einzelaussagen der Wahrheitswert der Gesamtaussage angegeben. Für einen zweistelligen Junktor einer zweistelligen Logik könnte eine Wahrheitstafel wie in der Tabelle rechts aussehen:

Mögliche Junktoren

Die Anzahl der Aussagen, die (beziehungsweise mit denen sich) ein Operator zu einer neuen Aussage verknüpft, nennt man seine Stelligkeit: Ein einstelliger Operator verbindet sich mit einer einzigen Aussage zu einer neuen Aussage, zweistellige Junktoren verbinden sich mit zwei Aussagen zu einer neuen Aussage und so weiter. Allgemein verbindet ein n-stelliger Junktor sich mit n Aussagen zu einer neuen.

Die Stelligkeit ist nicht zu verwechseln mit der Wertigkeit, d. h. mit der Frage, wie viele Wahrheitswerte zugelassen werden (vgl. Bivalenzprinzip).

In der klassischen Logik ist der wichtigste einstellige Junktor die Negation. Wichtige zweistellige Junktoren sind die Konjunktion und die Disjunktion (oft werden nur diese beiden verwendet). Ebenso lassen sich klassische drei- und mehrstellige Junktoren auf Kombinationen ein- und zweistelliger Junktoren zurückführen.

Allgemein gibt es für eine ${\displaystyle m}$-wertige Logik, d. h. für eine Logik mit endlich vielen Wahrheitswerten, deren Anzahl m ist, ${\displaystyle m^{m^{n}}}$ ${\displaystyle n}$-stellige wahrheitsfunktionale Junktoren. Für die zweiwertige Aussagenlogik gibt es also ${\displaystyle 2^{2^{1}}=4}$ einstellige Junktoren und ${\displaystyle 2^{2^{2}}=16}$ zweistellige Junktoren. Schon für die dreiwertige Aussagenlogik gibt es ${\displaystyle 3^{3^{1}}=27}$ einstellige und ${\displaystyle 3^{3^{2}}=19\,683}$ zweistellige Junktoren.

Die sechzehn zweistelligen Junktoren der zweiwertigen Logik sind in nachfolgender Tabelle dargestellt.

Tafel der zweistelligen Junktoren einer zweiwertigen Logik

Namen	Wahrheitswerte				Symbole	Formel
	${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ w w	${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ w f	${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ f w	${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ f f
Kontradiktion	f	f	f	f	${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle P~\land ~\neg P}$
Konjunktion	w	f	f	f	${\displaystyle \wedge }$	${\displaystyle P~\land ~Q}$
Postsektion, Nur P	f	w	f	f	${\displaystyle \not \rightarrow }$, ${\displaystyle \not \supset }$	${\displaystyle P~\land ~\neg Q}$
Präpendenz, Identität von P	w	w	f	f	${\displaystyle \rfloor }$	${\displaystyle P}$
Präsektion, Nur Q	f	f	w	f	${\displaystyle \not \leftarrow }$, ${\displaystyle \not \subset }$	${\displaystyle ~\neg P~\land ~Q}$
Postpendenz, Identität von Q	w	f	w	f	${\displaystyle \lfloor }$	${\displaystyle Q}$
Kontravalenz, ausschließende Disjunktion, XOR	f	w	w	f	${\displaystyle \not \leftrightarrow }$, ${\displaystyle \not \equiv }$, ${\displaystyle \veebar }$, ${\displaystyle {\dot {\vee }}}$, ${\displaystyle \oplus }$	${\displaystyle \neg (P~\leftrightarrow ~Q)}$
Disjunktion, Adjunktion	w	w	w	f	${\displaystyle \vee }$	${\displaystyle P~\lor ~Q}$
Peirce-Funktion, NOR, Nihilition, Rejektion	f	f	f	w	${\displaystyle \downarrow }$, ${\displaystyle {\overline {\vee }}}$	${\displaystyle ~\neg P~\land ~\neg Q}$
Bikonditional, Bijunktion, Äquivalenz	w	f	f	w	${\displaystyle \leftrightarrow }$, ${\displaystyle \equiv }$	${\displaystyle P~\leftrightarrow ~Q}$
Postnonpendenz, Negation von Q	f	w	f	w	${\displaystyle \lceil }$	${\displaystyle \neg Q}$
Replikation	w	w	f	w	${\displaystyle \leftarrow }$, ${\displaystyle \subset }$	${\displaystyle P~\leftarrow ~Q}$
Pränonpendenz, Negation von P	f	f	w	w	${\displaystyle \rceil }$	${\displaystyle \neg P}$
Subjunktion, Implikation, Konditional	w	f	w	w	${\displaystyle \rightarrow }$, ${\displaystyle \supset }$	${\displaystyle P~\rightarrow ~Q}$
Sheffer-Funktion, NAND, Exklusion	f	w	w	w	${\displaystyle \mid }$, ${\displaystyle \uparrow }$, ${\displaystyle \barwedge }$	${\displaystyle ~\neg P~\lor ~\neg Q}$
Tautologie	w	w	w	w	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle P~\lor ~\neg P}$

Um die enge Verbindung von Aussagenlogik und Mengenlehre zu betonen, können Wahrheitstafeln auch Eulerdiagramm-ähnlich dargestellt werden (siehe folgende Beispiele).

w	${\displaystyle \wedge }$	w	w	${\displaystyle \wedge }$	f
f	${\displaystyle \wedge }$	w	f	${\displaystyle \wedge }$	f
Konjunktion

w	${\displaystyle \vee }$	w	w	${\displaystyle \vee }$	f
f	${\displaystyle \vee }$	w	f	${\displaystyle \vee }$	f
Disjunktion

w	${\displaystyle \rightarrow }$	w	w	${\displaystyle \rightarrow }$	f
f	${\displaystyle \rightarrow }$	w	f	${\displaystyle \rightarrow }$	f
Subjunktion

w	${\displaystyle \leftrightarrow }$	w	w	${\displaystyle \leftrightarrow }$	f
f	${\displaystyle \leftrightarrow }$	w	f	${\displaystyle \leftrightarrow }$	f
Bikonditional

Die Terme in Fettschrift sind wahr, die in Normalschrift falsch.

Reduzierbarkeit und funktionale Vollständigkeit

Es ist möglich, einzelne Verknüpfungen durch andere auszudrücken; zum Beispiel lässt sich die Konjunktion ${\displaystyle A\land B}$ durch Disjunktion und Negation als ${\displaystyle \neg (\neg A\lor \neg B)}$ oder Konditional ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ durch die Disjunktion ${\displaystyle \neg P\vee Q}$ ausdrücken. Allgemein heißt eine Menge von Junktoren bezogen auf ein logisches System funktional vollständig oder semantisch vollständig, wenn mit Hilfe der betroffenen Konnektive alle anderen Konnektive des logischen Systems ausgedrückt werden können. Für die klassische Aussagenlogik sind zum Beispiel die Junktorenmengen ${\displaystyle \{{\neg },{\land }\}}$, ${\displaystyle \{{\neg },{\lor }\}}$ und ${\displaystyle \{{\neg },{\rightarrow }\}}$ funktional vollständig. Das bedeutet, dass sich alle Junktoren der klassischen Aussagenlogik wahlweise auf Negation und Konjunktion, auf Negation und Disjunktion oder auf Negation und Konditional zurückführen lassen. Häufig verwendete Junktorenmengen sind ${\displaystyle \{{\neg },{\land },{\lor }\}}$, ${\displaystyle \{{\neg },{\land }\}}$, ${\displaystyle \{{\neg },{\lor }\}}$.

Tatsächlich ist es möglich, alle Verknüpfungen allein mit Hilfe einer einzigen Verknüpfung darzustellen, und zwar mit der Shefferfunktion (NAND), aber auch mit der Peirce-Funktion (NOR).

Sheffer-Operatoren

Wenn sich mit einem Junktor allein, d. h. ganz ohne Hinzunahme weiterer Junktoren alle anderen Junktoren ausdrücken lassen, dann wird dieser Junktor Sheffer-Operator oder Shefferfunktion (nach Henry Maurice Sheffer) genannt. Für die klassische Aussagenlogik gibt es genau zwei Sheffer-Operatoren: den Shefferstrich, auch NAND genannt (${\displaystyle \uparrow }$ oder ${\displaystyle \vert }$) und den Peirce-Operator, auch NOR genannt ${\displaystyle \downarrow }$.