Beweis des Höhensatzes

Der Beweis des Höhensatzes kann mit dem Satz des Pythagoras ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ und der Binomischen Formel ${\displaystyle (p+q)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}}$ geführt werden.

Im Diagramm erkennt man drei rechtwinklige Dreiecke, eines mit den Seiten ${\displaystyle a,b,c}$, dann noch jeweils eines mit ${\displaystyle h,p,a}$ und ${\displaystyle h,q,b}$. Für jedes dieser Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

${\displaystyle h^{2}+p^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle h^{2}+q^{2}=b^{2}}$

Außerdem gilt ${\displaystyle p+q=c}$. Das Quadrat ist also:

${\displaystyle (p+q)^{2}=c^{2}}$.

Nach der ersten binomischen Formel ist dies

${\displaystyle p^{2}+2pq+q^{2}=c^{2}}$.

Setzt man dies für ${\displaystyle c^{2}}$ in die erste Formel ein und für ${\displaystyle a^{2}}$ und ${\displaystyle b^{2}}$ den jeweiligen linken Teil der zweiten und dritten Formel, so erhält man:

${\displaystyle h^{2}+p^{2}+h^{2}+q^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}}$

und damit ${\displaystyle 2h^{2}=2pq}$. Nach Division durch zwei folgt der zu beweisende Höhensatz:

${\displaystyle h^{2}=pq}$.

Beweis des Kathetensatzes

Dieser Beweis verläuft analog zum Beweis des Höhensatzes mithilfe obiger vier Formeln: Es ist

${\displaystyle a^{2}=c^{2}-b^{2}=p^{2}+2pq+q^{2}-(q^{2}+h^{2})=p^{2}+2pq+q^{2}-q^{2}-a^{2}+p^{2}=2p^{2}+2pq-a^{2}}$

und damit

${\displaystyle 2a^{2}=2p(p+q)=2pc}$

${\displaystyle a^{2}=pc}$

analog gilt dann

${\displaystyle b^{2}=qc}$.

Beweis des Kathetensatzes mit Hilfe des Höhensatzes

Bezogen auf die Grafik beim Beweis des Höhensatzes:

${\displaystyle a^{2}=p^{2}+h^{2}}$

${\displaystyle a^{2}=p^{2}+pq}$

${\displaystyle a^{2}=p(p+q)}$

${\displaystyle a^{2}=pc}$

${\displaystyle b^{2}=q^{2}+h^{2}}$

${\displaystyle b^{2}=q^{2}+pq}$

${\displaystyle b^{2}=q(q+p)}$

${\displaystyle b^{2}=qc}$

Ergänzungsbeweis des Höhensatzes

Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, falls die Katheten gleich sind (der eingeschlossene Winkel ist ja auch gleich).

Teilt man ein rechtwinkliges Dreieck an der Höhe ${\displaystyle h}$ in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle h}$ bzw. ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle h}$ (gelbes und rotes Dreieck im Diagramm), so kann man diese an ein Quadrat mit der Seitenlänge ${\displaystyle h}$ (im Diagramm unten links) und an ein Rechteck mit den Seiten ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ anlegen (im Diagramm unten rechts).

(Man kann dies tun, weil das gelbe und das rote Dreieck die gleichen Winkel haben. Dies ist der Fall, weil jeweils ein Kathetenwinkel identisch mit dem von Ausgangsdreieck ist - und damit auch der Andere.)

In beiden Fällen entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten ${\displaystyle p+h}$ und ${\displaystyle q+h}$. Das rechte und linke Dreieck sind also kongruent. Das erste besteht aber aus dem gelben und roten Dreieck und dem Quadrat ${\displaystyle h^{2}}$, das zweite aus den beiden Dreiecken und dem Rechteck ${\displaystyle pq}$. Die Fläche des Quadrats muss daher gleich der Fläche des Rechtecks sein, also ${\displaystyle h^{2}=pq}$.

Scherungsbeweis

Schert man ein Rechteck zu einem Parallelogramm, so bleibt die Fläche erhalten. Damit lässt sich der Höhensatz auch beweisen. Die Animation veranschaulicht den Beweis:

Mit Hilfe der Kongruenzsätze für Dreiecke muss man noch beweisen, dass die neue Höhe ${\displaystyle q}$ tatsächlich dem Hypotenusenabschnitt entspricht. Darauf wird hier verzichtet.

Scherungsbeweis des Kathetensatzes

Der Scherungsbeweis des Satzes des Pythagoras beweist zugleich den Kathetensatz.

Beweis der kompletten Satzgruppe über ähnliche Dreiecke

Die Seitenverhältnisse der ähnlichen Dreiecke liefern sofort die beiden Kathetensätze und den Höhensatz. Der Satz des Pythagoras ergibt sich dann direkt aus der Addition der beiden Kathetensätze.

Beweis der kompletten Satzgruppe als Spezialfall des Sehnen- bzw. des Tangenten-Sekanten-Satzes

Wie im Artikel Höhensatz ausgeführt, lässt sich der Höhensatz auch als Spezialfall des Sehnensatzes auffassen.

Ebenso lässt sich der Kathetensatz als Spezialfall des Sekanten-Tangenten-Satzes auffassen, indem man einen Kreis mit einer Kathete als Durchmesser betrachtet. Sei ${\displaystyle M_{b}}$ der Mittelpunkt der Kathete ${\displaystyle b}$. Für den Kreis ${\displaystyle k}$ um ${\displaystyle M_{b}}$ mit Radius ${\displaystyle AM_{b}=DM_{b}=CM_{b}}$ ist ${\displaystyle (BC)}$ eine (senkrecht auf dem Berührradius ${\displaystyle CM_{b}}$ stehende) Tangente, ${\displaystyle (AB)}$ eine Sekante in der Voraussetzung des Sekanten-Tangenten-Satzes. Mit letzterem ist:

${\displaystyle BC^{2}=BA\cdot BD\;\Leftrightarrow \;a^{2}=cp}$.

Entsprechend lässt sich ${\displaystyle b^{2}=cq}$ ausgehend von der Mittelsenkrechten von ${\displaystyle DB}$ beweisen.

Der Satz des Pythagoras folgt (wie im hier vorangehenden Abschnitt) aus der Addition der beiden Kathetensätze.

Alternativ lässt sich auch der Satz des Pythagoras (direkt) als Spezialfall des Sekanten-Tangenten-Satzes auffassen, indem man einen Kreis mit einer Kathete als Radius betrachtet. In nebenstehendem Dreieck teilt der Kreis ${\displaystyle k'}$ um ${\displaystyle B}$ mit Radius ${\displaystyle a}$ die Strecke ${\displaystyle AB}$ im Punkt ${\displaystyle T_{1}}$ von innen, im Punkt ${\displaystyle T_{2}}$ von außen. Für ${\displaystyle k'}$ ist ${\displaystyle (AC)}$ eine (senkrecht auf dem Berührradius ${\displaystyle CB}$ stehende) Tangente, ${\displaystyle (AB)}$ eine Sekante in der Voraussetzung des Sekanten-Tangenten-Satzes. Also ist mit der dritten binomischen Formel:

${\displaystyle AC^{2}=AT_{1}\cdot AT_{2}\;\Leftrightarrow \;b^{2}=(c-a)\cdot (c+a)=c^{2}-a^{2}\;\Leftrightarrow \;a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.