Pythagoras

• Die Beziehung zwischen den Längen der Katheten und der Hypotenuse beschreibt der Satz des Pythagoras, der auch als Hypotenusensatz bezeichnet wird. (Der Satz lautet: Sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die Seitenlängen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und ist ${\displaystyle c}$ die Seitenlänge der Hypotenuse, so gilt die Gleichung ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$). Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes. Der Kosinus von ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ist 0, wodurch sich die Formel deutlich vereinfacht.

• Anders formuliert besagt der Satz des Pythagoras, dass die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist. Aus dieser Tatsache folgen der Kathetensatz und der Höhensatz (siehe auch Satzgruppe des Pythagoras). Die Höhe ${\displaystyle h=h_{c}}$ eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Teile ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$, sodass die beiden Teildreiecke mit den Seiten ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle b}$ wiederum rechtwinklig sind. Bei Kenntnis zweier der sechs Angaben (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle h}$) lassen sich die fehlenden vier anderen Werte aus den in folgender Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.

Satz des Pythagoras	${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$
Kathetensatz	${\displaystyle a^{2}=c\cdot p}$
	${\displaystyle b^{2}=c\cdot q}$
Höhensatz	${\displaystyle h^{2}=p\cdot q}$

Thales

• Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck am Halbkreisbogen ein rechtwinkliges Dreieck ist. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist das Zentrum des Thaleskreises, des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks.

Höhensatz, Kathetensatz und trigonometrische Funktion

• Der Fußpunkt der Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte. Der Kathetensatz und der Höhensatz machen Aussagen über die Längen dieser Teilstrecken.

• Die trigonometrischen Funktionen beschreiben die rechnerischen Zusammenhänge zwischen den Winkeln und den Seitenverhältnissen.

Satz von Eddy

Der Satz wurde erst im Jahr 1991 formuliert, „ist aber sicher schon sehr viel älter“.

Es sei ein beliebiges Dreieck ${\displaystyle ABC}$ mit der Hypotenuse ${\displaystyle c,}$ dem Hypotenusenquadrat ${\displaystyle c^{2}}$ und mit der Winkelhalbierenden ${\displaystyle wh}$ des rechten Winkels am Scheitel ${\displaystyle C.}$ Die Winkelhalbierende ${\displaystyle wh}$ schneidet im Punkt ${\displaystyle F}$ sowie im Punkt ${\displaystyle G}$ das Hypotenusenquadrat ${\displaystyle c^{2}}$ in zwei Vierecke ${\displaystyle ADGF}$ und ${\displaystyle GEBF.}$

Beweise

A) Beweis durch Symmetrie, Bild 1, gleichermaßen der Geometrischer Beweis durch Ergänzung für den Satz des Pythagoras.

B) Ansatz für einen alternativen Beweis, Bild 2:

• Die beiden Dreiecke ${\displaystyle IFM}$ und ${\displaystyle IGJ}$ müssen kongruent sein.
• Dies trifft nur zu, wenn die Winkelhalbierende ${\displaystyle wh}$ durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates ${\displaystyle c^{2}}$ verläuft.

Zuerst wird der Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ der Hypotenuse ${\displaystyle c}$ bestimmt, anschließend der Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {MB}}}$ um ${\displaystyle M}$ eingezeichnet und die Mittelsenkrechte des Durchmessers ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ mit den soeben erzeugten Schnittpunkten ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ eingetragen. Der Schnittpunkt ${\displaystyle I}$ entspricht dem Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates ${\displaystyle c^{2}.}$ Abschließend noch den Punkt ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle I}$ verbinden.

Das einbeschriebene Dreieck ${\displaystyle AIC}$ hat am Scheitel ${\displaystyle M}$ den Zentriwinkel mit der Winkelweite gleich ${\displaystyle 90^{\circ }.}$ Nach dem Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz) hat der Winkel ${\displaystyle ACI}$ folglich die Winkelweite ${\displaystyle 45^{\circ },}$ damit verläuft die Winkelhalbierende ${\displaystyle wh}$ ebenfalls durch den Mittelpunkt ${\displaystyle I}$ des Hypotenusenquadrates ${\displaystyle c^{2}.}$

Somit bestätigt sich, die beiden Dreiecke ${\displaystyle IFM}$ und ${\displaystyle IGJ}$ sind kongruent, demzufolge haben auch die Vierecke ${\displaystyle ADGF}$ und ${\displaystyle GEBF}$ gleiche Flächeninhalte.

Weitere Sätze

• In dem rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle ABC}$ schneiden die Kreise um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit den Radien ${\displaystyle {\overline {AC}}}$, bzw. ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ die Hypotenuse ${\displaystyle AB}$ in den Punkten ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle E}$.

Dann hat die Strecke ${\displaystyle DE}$ dieselbe Länge wie der Durchmesser des Inkreises (Figuren 1 und 2).

Beweis:

Die Differenz aus der Summe der Kathetenlängen und der Hypotenusenlänge beträgt ${\displaystyle (x+r)+(y+r)-(x+y)=2r}$ (Figur 2).

Somit hat die Überlappung der bis zur Hypotenuse gedrehten Katheten die Länge ${\displaystyle 2r={\overline {DE}}}$ (Figuren 1 und 2).

• In dem rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle ABC}$ ist die Summe der Inkreisradien ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ der Dreiecke ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle ADC}$ und ${\displaystyle DBC}$ gleich der Länge der Höhe ${\displaystyle CD}$ (Figuren 2, 3 und 4).

Beweis:

${\displaystyle 2r+2r_{1}+2r_{2}=({\overline {AC}}+{\overline {BC}}-{\overline {AB}})+({\overline {AD}}+{\overline {CD}}-{\overline {AC}})+({\overline {BD}}+{\overline {CD}}-{\overline {BC}})=2{\overline {CD}}}$ (Figuren 2, 3 und 4).

Hieraus folgt die Behauptung, nämlich ${\displaystyle r+r_{1}+r_{2}={\overline {CD}}}$

• Figur 1
• Figur 2
• Figur 3
• Figur 4

• In einem rechtwinkligen Dreieck halbiert die Winkelhalbierende des rechten Winkels auch den von der Höhe und der Seitenhalbierenden auf der Hypotenuse eingeschlossenen Winkel (Figur 5).

Beweis:

In dem gelben rechtwinkligen Dreieck sind ${\displaystyle CD}$ die Winkelhalbierende, ${\displaystyle CH}$ die Höhe und ${\displaystyle CM}$ die Seitenhalbierende des rechten Winkels. Es ist zu zeigen, dass ${\displaystyle CD}$ auch den Winkel ${\displaystyle \angle MCH}$ halbiert.

Das Dreieck ist dargestellt als Teil eines Quadrats mit der Seitenlänge ${\displaystyle b}$. Die Strecken ${\displaystyle CH}$, ${\displaystyle CD}$ und ${\displaystyle CM}$ sind bis zu ihren jeweiligen Schnittpunkten ${\displaystyle Q}$ bzw. ${\displaystyle R}$ bzw. ${\displaystyle S}$ mit den Quadratseiten verlängert. Die Behauptung folgt dann aus der paarweisen Kongruenz der rechtwinkligen Dreiecke ${\displaystyle ABC}$, ${\displaystyle CQP}$ und ${\displaystyle CAS}$ (Übereinstimmung in ihren Kathetenlängen a und b und dem eingeschlossenen rechten Winkel) sowie der daraus resultierenden Kongruenz der Dreiecke ${\displaystyle CRQ}$ und ${\displaystyle CSR}$, aus denen sich das zu der Diagonalen ${\displaystyle CR}$ symmetrische (Drachen-)Viereck ${\displaystyle CSRQ}$ zusammensetzt.

• Verbindet man in einem rechtwinkligen Dreieck die Kathetenmittelpunkte mit dem Höhenfußpunkt auf der Hypotenuse, so hat das aus den beiden Verbindungsstrecken und den beiden jeweils halben Katheten gebildete Viereck einen rechten Innenwinkel beim Höhenfußpunkt (Figur 6).

Beweis:

${\displaystyle HK}$ ist die Seitenhalbierende von ${\displaystyle CA}$ im rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle CAH}$ und ${\displaystyle HL}$ die Seitenhalbierende von ${\displaystyle CB}$ im rechtwinkligen Dreieck ${\displaystyle BCH}$. Deshalb ist ${\displaystyle {\overline {HK}}}$ Thaleskreisradius von ${\displaystyle CAH}$ und ${\displaystyle HL}$ Thaleskreisradius von ${\displaystyle BCH}$. Daraus folgt, dass das Dreieck ${\displaystyle AHK}$ gleichschenklig mit der Schenkellänge ${\displaystyle {\tfrac {b}{2}}}$ und den Basiswinkeln ${\displaystyle \angle HAK}$ und ${\displaystyle \angle KAH}$ und das Dreieck ${\displaystyle HBL}$ gleichschenklig mit der Schenkellänge ${\displaystyle {\tfrac {a}{2}}}$ und den Basiswinkeln ${\displaystyle \angle BHL}$ und ${\displaystyle \angle LBH}$ ist. Da die Winkel ${\displaystyle \angle HAK}$ und ${\displaystyle \angle KHA}$ bzw. ${\displaystyle \angle LBH}$ und ${\displaystyle \angle BHL}$ jeweils dieselben Weiten haben und das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ rechtwinklig ist, addieren sich die Winkelweiten von ${\displaystyle \angle KHA}$ und ${\displaystyle \angle BHL}$ zu ${\displaystyle 90^{\circ }}$. Damit hat auch der Winkel ${\displaystyle \angle LHK}$ die Weite ${\displaystyle 90^{\circ }}$, woraus die Behauptung folgt.

Folgerung:

Wegen der Längengleichheit der Strecken ${\displaystyle CL}$ und ${\displaystyle LH}$ sowie der Strecken ${\displaystyle CK}$ und ${\displaystyle KH}$ ist das grüne Viereck ${\displaystyle CKHL}$ ein spezielles Drachenviereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln. Seine diagonale Symmetrieachse ${\displaystyle LK}$ teilt es in die rechtwinkligen Dreiecke ${\displaystyle KLC}$ und ${\displaystyle LKH}$, die einen gemeinsamen Thaleskreis besitzen. Hieraus folgt, dass das Drachenviereck ${\displaystyle CKHL}$ auch ein Sehnenviereck ist.

• Der Inkreisradius r eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen a und b und der Hypotenusenlänge c ist auf zwei Arten in Abhängigkeit von den drei Seitenlängen darstellbar (Figur 7):

${\displaystyle r={\frac {ab}{a+b+c}}}$

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}}$

Der Beweis basiert auf den Eigenschaften des Inkreises im rechtwinkligen Dreieck. Mit Hilfe von Figur 7 ergibt sich

${\displaystyle ab=r(a+b+c)}$,

woraus unmittelbar die erste Behauptung folgt.

In Figur 8 lässt sich

${\displaystyle c=(a-r)+(b-r)}$

ablesen. Durch einfache Umformung erhält man sofort die zweite Behauptung.